Demonstrations des resultats enonces dans l'article: Etonnante precision de la methode des moindres

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Demonstrations des resultats enonces dans l'article: “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes” Stephane Junca, IUFM et Universite de Nice, Laboratoire J. A. Dieudonne, UMR CNRS 6621. Cette note comprend les demonstrations des resultats enonces dans l'article “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes”. On se reportera a l'article pour les enonces et les exemples numeriques. La numerotation des sections est la meme que celle de l'article. 1 Derivations des formules de la MMC Voici deux demonstrations pour retrouver et interpreter les formules generales de calculs des coefficients de la droite des moindres carres. On suppose que sx 6= 0, i.e. la serie des (xk)nk=1 n'est pas reduite a un point. Par un calcul algebrique : En utilisant l'identite remarquable (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, en reconnaissant les variances et covariances, en utilisant le fait que la moyenne d'une serie centree est nulle : 1n n∑ k=1 (xk?x) = 0, en reconnaissant ?2 := s2xy/(s2xs2y), on peut mener d'une seule traite le calcul suivant : Rn(a, b) = 1 n n∑ k=1 (yk ? [axk + b])2 = 1 n n∑ k=1 (

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Demonstrations des resultats enonces dans l’article:  “ Etonnante precision de la methode des moindres carres pour des series chronologiques issues de modeles lineaires fortement perturbes”
StephaneJunca,
IUFMetUniversitedeNice, LaboratoireJ.A.Dieudonne,UMRCNRS6621.
 CettenotecomprendlesdemonstrationsdesresultatsenoncesdanslarticleEtonnante precisiondelamethodedesmoindrescarrespourdesserieschronologiquesissuesdemodeles lineairesfortementperturbes.Onsereporteraalarticlepourlesenoncesetlesexemples numeriques.Lanumerotationdessectionsestlameˆmequecelledelarticle.
1 Derivationsdes formules de la MMC Voicideuxdemonstrationspourretrouveretinterpreterlesformulesgeneralesdecalculsdes n coecientsdeladroitedesmoindrescarres.Onsupposequesx6.e.isal,0=ieers(dexk) k=1 nestpasreduiteaunpoint. Paruncalculalgebrique:Enutilisantlidentiteremarquable 2 22 2 (a+b+c) =a+b+c+ 2ab+ 2bc+ 2ca, en reconnaissant les variances et covariances, en n X 1 utilisantlefaitquelamoyenneduneseriecentreeestnulle:(xkx) = 0, en reconnaissant n k=1 2 22 2 :=s /(s s), on peut mener d’une seule traite le calcul suivant : xy xy n n X X 1 1 2 2 Rn(a, b() =yk[axk+b]) =([yky]a[xkx] + [ax+by]) n n k=1k=1 2 22 2 =s+a s+ (ax+by)2asxy+ 0 + 0 y x   2 2 s sxy xy 2 22 =s+s a+ (ax+by) y x 2 2 s s x x   2 s 2 22xy2 22 =s(1) +s a+ (ax+by)s(1), y xy 2 s x sxy avecegalitequelorsquea= etax+b=y. 2 s x n Parunemethodegeometrique:SoientRalrinerodoiustacmunidupre:slima n X 1 < X,Y >:=xkykronal,ee:coieassiennclidmeeukXk=< X,X >, le vecteur II dont n k=1 touteslescomposantessontegalesa1.OnnoteP=RXRI. La somme est directe car 2 sx>0. AinsiRn(a, b) =kY(aX+bI)k, et la minimisation deRnevierevrrtuotnaZ, le e e projeteorthogonaldeYsur le planP. SoitX=XxI, alors< X,I>= 0 car< X,II>=x. e < Y,X >< Y,II> e e Ainsi,{X ,II}forme une base orthogonale dePet donc,Z=X+ II.Comme e e<I,I> < X, X> 1
2 e ee ee e X, X>=s,< Y, < Y,I>=y,<xetX >=< Y ,X >+< yI>, X=sxyqteudeiuend0,on+ sxy Z= (XxII) +yIce qui nous donneaetb. 2 s x e e Enpassant,onremarquequelecoecientdecorrelation= cos(X, Y). Donc11, 2 e ee e et=1 siet seulement siXetYisnsAis.iloctnoseriaeni'1 alorsXetYsont ”presque colineaires.DansletrianglerectangledesommetsY, Zet l’origine,Rn(a, bmeecomretpretnis) lecarredeladistancedeYaZ,cequiredonnelaformuledesresidus.
 2 Apropos des formules de la section 2 n X 1n+ 1 xstneitboomesmmcoesundmeratiiuetituqmhee:x=k= . n2 k=1 n X n(n+ 1)(2n+ 1) 2 Pour la variance, il faut savoir quekDe la formule de Koenig := . 6 k=1 2 n1 2 22 2 s=xxsncii ioatsseplimitneatrp,nobos= . x x 12 Comme la covariancesxylinestepareairtropparayet invariante par translation dey, et 2 que :y= x+ +e, on as= s ss. deKoenig pour la xy xx+sxe= x+xeDe plus, la formule  ! n X 1 covariancesecritsxy=xkykxy; ce qui permet d’obtenirsxeet de conclure pour n k=1 l’obtention des formules (8).
3 Preuvesdes resultats de la section 3 : perturbations deterministes Vociunepremiereinegaliteoptimale: j n X X n1 Lemme 1:SoitC >0,n1, simaxekC, alorskek2C. j=1 nk=1k=1 Demonstration:rCeulestetalebAdnogetni(paontiraraepptsnuitnoilactrandelamatisfor partiesdiscrete).NotonsSk:=e1+  +ekpourk1 etS0:= 0, ainsiSkSk1=ekpour n nn n1n1 X XX XX toutk1 :kek=k(SkSk1) =kSk(k+ 1)Sk=nSn1S0Sk. k=1k=1k=1k=0k=1 CommeS0nte:,o=0btnontieleagiltseiuav n n1 X X kek=nSnSk.(1) k=1k=1 Cecinestriendautrequelaformulediscretedelintegrationparpartiessuivantes: Z ZZ x xx tf(t)dt=xF(x)F(t)dtavecF(x) =f(t)dt. 1 11 n X En majorant (1), on obtient :keknC+nC= 2nC.   k=1 Enconsiderantlasuitee1=1, e2= 0, e3= 0,  , en1= 0, en= 2 avecC= 1, on obtient n  X 1 1 kek= 2ented.Sinoltuevienugenitalineepddaenn, on ne peut donc pas faire nn k=1 mieux que majorer par 2C.Un corrolaire direct du lemme 1 nous donne le lemme suivant :
2
Lemme 2:Soit(Cn)n1une suite croissante et positive, n n X X 1 si, pour toutn,ekCnalorskek2Cn.  nk=1k=1 Pourtouteslesdemonstrations,onaurabesoindesresultatssuivants: 3 Lemme 3:mm2eno:aseseudelshypothSousle|sxe| Cnet 2 n X sxe1 n+1 an =, bn =e(an ), sxe= (k1)ek(2) 2 2 s n x k=2 AinsileserreursqueloncommetenutilisantlaMMCsontexatementlescoecientsobtenus n parlaMMCsurlaserie(k, ekeslaCe.)amrontiafatuottientoeclesclcarsanetbnsont k=1 lineairesparrapportay. 2 . D DemonstrationDe la formule (8), on obtient :an =sxe/sxmeeˆemo,na:bn = 2 2 ya x = x+ +e( +s /s)x =e/s n xex(sxe x)x. Pour majorersxeve,atsanivsulsculacselte)1(etilegansllisouticSk=e1+  +ek:  ! ! n n1 X X 1n+ 11n+ 1 sxe=keke=nSnSkSn, n2n2n k=1k=1  n1 X 1 11Cnn1 3 |sxe|= 1SnSk+CnCn.2n n2n2 k=1 Onestmaintenantenmesurededemontrerletheoreme1: Demonstrationdutheoreme1aeluˆrca2nG.tcoi3,emmeselsnosilitU:seladeestligae 2 22 sest majode l’ordr xeeerr1pa,5Cn. Commesxtsoe,endneud e denet quean =sxe/sxit 2 quean est aussi de l’ordre deCn/n. Pourbn auneonrgna,lrpsunropaeceidcimsi dapreslelemme3,bn est la somme de termes d’ordreCn/n. Ceci se traduit par les calculs suivants : sxe1812 3 |an |= Cn=Cn 22 2 s n1 2n1 x Cn18n+ 1Cn9 10 |bn | |e|+|an ||x| +Cn= +CnCn.2 n n1 2n n1n1 Demonstrationdelaremarque1: Comme la covariancesxeest invariante par translation 2 /s, o de e du nombreet, que, par (2),an =sxe xrojaoitauqtimaleedunendend|an |du n+ 1 theoreme1resteparfaitementvalide.Enrevanche,(2)nousdonnebn =e(an ) . 2 C Comme la moyenneetrlaslanioatetn,siupeuqrucetpere|e| , on obtient : n 10C |bn( +)| .n1
 4 Apropos des resultats du cas probabiliste de la section 4 PourdemontrerqueSn=e1+  +enest de l’ordre dendutsuterilisli,agilnielte deBienayme-Tchebyche rerojamt[7nsOr].omcdameileslrtep,uourite1,ilfauheorem |Sn|mais aussi,|Sn1|. . ,, .et|S1|. A priori, utilisernuqdedeminieudrestceeitnefgoailiteris beaucoupleniveaudecon ance.Heureusement,ilnenestrien,grˆaceauneversionplus nede linegalitedeBienayme-Tchebyche ,(demontreeparexempledans[3],VolIp.234):
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