DEUX COURBES UNE SEULE TANGENTE

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DEUX COURBES, UNE SEULE TANGENTE Objectif Soulever le problème d'une tangente commune à deux courbes, en un même point ou en deux points distincts. Outils Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. À quelles conditions deux courbes possède-t-elles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soit f et g deux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifs Df et Dg , et soit C f et C g leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère . On suppose (O; ; )? ?i j f et g dérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer que C f et C g admettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il existe un nombre réel a de Df ? Dg qui vérifie le système { ( ) ( )'( ) '( )==f a g af a g a 2. Premier exemple. a. Déterminer le réel p tel que les courbes P et H , représentations respectives des fonctions 2 2: ? +6 et f x x p g x: 6 x , admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangente T commune. b. Vérifier en représentant P , H et T sur la calculatrice.

  • tangente commune

  • π? ??

  • ?? ?π

  • équation ?

  • infinité de points communs

  • unique tangente


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
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DEUX COURBES,UNE SEULE TANGENTESoulever le problème d’une tangente commune à deux courbes, en un même point Objectif ou en deux points distincts. Dérivées. Fonction exponentielle. Fonctions trigonométriques. Outils À quelles conditions deux courbes possèdetelles une tangente commune ? A. Tangente commune à deux courbes en un point commun 1. Préliminaire Soitfetgdeux fonctions, ayant pour ensembles de définition respectifsDetD, et soitCetCf gf g → → leurs courbes représentatives dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j). On supposef etgdérivables sur leur ensemble de définition. Démontrer queCetCadmettent une tangente commune en un point commun si et seulement si il f g (a)=g(a) existe un nombre réeladeDDqui vérifie le système { f g '(a)=g'(a) 2. Premierexemple. a. Déterminerle réelpque les courbes telP etH, représentations respectives des fonctions 22 f:x6x+p etg:x6, admettent une tangente commune en un point commun. Déterminer alors une équation de la tangenteTcommune. b. Vérifieren représentantP,HetTsur la calculatrice. 3. Deuxièmeexemple a. SoitFetGles courbes représentatives des fonctionsfetgdéfinies surRpar 1212(x)=x+1 etg(x)=x+1 cosx. Démontrer queFetGont même tangente en une ⎜ ⎟ 20 20 ⎝ ⎠ infinité de points communs dont on précisera les abscisses, puis tracerF etGla sur calculatrice pour des valeurs d’abscisses et d’ordonnées comprises entre20et20. b. Généralisationde l’exemple précédent. Soitf unefonction dérivable surR, ne s’annulant pas surR, etω unnombre réel non nul quelconque. On considère la fonctiongpar définieg(x)=f(x).cos(ωx). On noteF etG les courbes représentatives respectives defet deg. Démontrer queF etGla même tangente en une infinité de points communs dont on ont précisera les abscisses.
IV  Dérivabilité
Deux courbes, une seule tangente
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B. Tangente commune à deux courbes en deux points distincts 1. Préliminaire Soitfetgdeux fonctions définies et dérivables respectivement sur les ensemblesDetDet soit f g C etCcourbes représentatives respectives. Démontrer que leursCetCune admettent fg fg tangente commune si et seulement si il existe un nombre réeladeDet un nombre réelbdeDf g f'(a)=g'(b) qui vérifient le système :. { (b)f(a)=f'(a)×(ba) 2. Premierexemple 2 Démontrer que les courbesP etH, représentations respectives des fonctionsf:x6x et 1 g:x6 ,admettent une tangente communeTdont on déterminera une équation. ReprésenterP,HetTsur une même figure. 3. Deuxièmeexemple x On considère la fonctionfsur définieR parf(x)=ela fonction etg définiesur]0;+[ par 1 g(x) =. On noteEetHleurs courbes représentatives respectives. a. Tracerces deux courbes sur la calculatrice. b. Soiraun élément deRetbun élément de]0;+[. Démontrer que la tangente àEau point d’abscisseaest confondue avec la tangente àHau a= −2 lnb point d’abscisseb.si et seulement si le système suivant est vérifié : 2b+2 lnb+1=0 c. Grâceà une étude de fonction, démontrer que la deuxième équation de ce système admet 2 une solution uniqueβ. Donner une valeur approchée deβà10près. d. Endéduire queEetHadmettent une tangente communeT.
C. Sujet d étude 1 y
1
Oπ π 6 2
1
π
x
y’ On considère les fonctionsfetgdéfinies sur l’intervalle[0;2π]parf(x)=sinxetg(x)=cosx. On noteSetCleurs courbes représentatives respectives. 1. Conjecturer,grâce au graphique, le nombre de tangentes communes à ces deux courbes. 2. Soitaetbdeux réels de l’intervalle[0;2π]. Démontrer que la tangente àSau point d’abscisseaest confondue avec la tangente àCau point d’abscissebsi et seulement si l’un des trois systèmes suivants est vérifié :
IV  Dérivabilité
Deux courbes, une seule tangente
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⎧ π b=a− +2kπ 2 ,kZ(cas 1) ⎛ π0+= −2kπcosa ⎜ ⎟ 2 3π ⎧7π b= −a+b= −a+ ⎪ ⎪ 2 2 ∈ ∈ ,kZ(cas 2),kZ(cas 3) 3π7π ⎪ ⎪ acosacosasina=0acosacosasina=0 44 3. Déterminertoutes les tangentes communes àSetTcorrespondant au cas 1. 4. Étudedu cas numéro 2. 3π ⎤ Démontrer que dans ce cas,aappartient à l’intervalle0 ;. ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ 3π ⎤3π SoitΦla fonction définie sur0 ; parΦ(a)=acosacosasina. ⎢ ⎥ 2 4 ⎣ ⎦ 3π ⎤ Calculer la dérivée deΦpuis étudier le signe deΦ’(a), pouradans0 ;. ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ Justifier chacune des indications données dans le tableau de variation suivant : 3 3 a0π4 2 21 Φ(a) 2 π 4 3Démontrer qu’il existe un unique réela de0 ; vérifiantΦ(a)=0 etdonner une valeur 2 2 approchée deaà10 près. Démontrer qu’il y a une unique tangente commune correspondant au cas numéro 2. La construire soigneusement sur le dessin, en plaçant d’abord deux de ses points. 5. Étudedu cas numéro 3 3π ⎤ a. Démontrerque, dans ce cas,aappartient à l’intervalle;. 2 3π ⎤7π b. SoitΨla fonction définie sur;πparΨ(a)=acosacosasina. ⎢ ⎥ 24 ⎣ ⎦ 3π ⎤ Calculer la dérivée deΨ, puis étudier le signe deΨ’(a) pouradans;π. ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ En déduire queΨadmet un minimum que l’on déterminera. 3π ⎤ c. Démontrerque l’équationΨ(a)=0n’a pas de solution dans;π, puis qu’il n’y a pas de ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ tangente correspondant au cas numéro 3.
D. Sujet d’étude 2 x LetEsont les représentations graphiques respectives des fonctions:x6ln(x) etg:x6e. 1. Démontrerqu'il existe une droiteTà la courbe tangenteL enun pointA, d'abscissea, et à la b= −ln(a)(1) courbeEen un pointB, d'abscisseb., si et seulement si on a : { aln(a)ln(a)a1=0(2) 2.ϕest la fonction définie sur]0;+∞[ parϕ(x)=xln(x)ln(x)x1.
IV  Dérivabilité
Deux courbes, une seule tangente
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a. Prouverqueϕest strictement monotone sur]0;1[. Prouver qu’il existe une seule valeurαde]0;1[telle queϕ(α)=0et queαsoit solution de (2). 1⎞ ϕ( )1b. Démontrerqueϕ =. En déduire queϕ(x)=0si et seulement siϕ =0. ⎜ ⎟⎜ ⎟ x x ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 3. Endéduire que l'équation (2) n'admet que les solutionsαet. α 4. Justifieralors qu'il existe deux tangentes communes àLetE: 1– (T) tangente à la courbeLau pointA(α;ln(α) ) et à la courbeEau pointBln(α) ;; 1 11⎜ ⎟ α ⎝ ⎠ 1– (T) tangente à la courbeLau pointA;ln(α)et à la courbeEau pointB(ln(α) ;α). 2 2⎜ ⎟2 α ⎝ ⎠ +1 5. a.Hest la représentation graphique de la fonctionhdéfinie surR \ {1}parh(x)=1 Montrer queHla droite ( admetD) d’équationy=x commeaxe de symétrie et queB etB1 2 sont les points d’intersection deEetH. Prouver queAetAsont les points d'intersection des courbesLetH. 1 2 b. Prouverque les pointsBetBsont les symétriques respectifs des pointsAetApar rapport 1 22 1 à la droite (D). c. Traceravec soin, et en utilisant des couleurs différentes,H,L,E et(D), placer alors les pointsA1,A,BetB, tracer enfin les droites (T) et (T). 2 12 12
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IV  Dérivabilité
Courbe de l’exercice A.3.
Deux courbes, une seule tangente
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