Développements limités

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Developpements limites Dedou Avril 2011

  • polynome de taylor

  • decouvrir des methodes

  • logique de l'approximation de taylor

  • besoin de preciser

  • lieu d'ecrire


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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D´eveloppements
limit´es
D´edou
Avril
2011
(suite
et
fin)
La
multiplicationdesse´riesdeTaylor
Las´eriedeTaylordunproduit, cestleproduitdesse´riesdeTaylor.
Caveutdirequoi,leproduitdedeuxs´eriesde
Taylor.
Exemple
Leproduitdedeuxpolynˆomesen x comme
(1 + x + x 2 + x 3 )(1 + 2 x + 3 x 4 ) ,
¸ ca se dessine en deux dimensions.
Exo 1 Calculer en deux dimensions
(1 x + x 3 )(1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) .
Etpourless´eries,cestpareil!
La multiplication des DL
Le DL d’un produit, cestleproduitdesDL,danslequelonne´glielˆes g es monom ne´gligeables.
Exemple Le DL 2 en x := 0 de e x cos x s’obtient en faisant le produit des deux DL
(1 + x + x 2 2 )(1 x 2 2 ) = 1 + x x 2 3 x 4 4 , puisenn´egligeantlesmonoˆmesdedegre´aumoinstrois,quon navaitdoncpasbesoindecalculer.Ler´esultatestdonc x 7→ 1 + x .
Exo 2 Calculer le DL 3 en x := 0 de s1i n xx .
DL d’un quotient
Onnedonnepasdem´ethodepourleDLdunquotient
onvadonnerunem´ethodepourleDLduninverse.Cest particulier du DL d’une puissance.
un
cas
DLou`?
Lar`eglepourleproduit
est valable pour les DL en a := 0.
Et elle est encore valable pour les DL en a quelconque.
Exo 3
e x Calculer le DL 2 en x := 1 de . x
Rappel : la feinte universelle
Y’a les DL en 0 ce sont les plus faciles.
Et y’a les DL en a 6 = 0 ce sont les moins faciles.
Le DL 2 de e x quand x tend vers 1 n’est pas du tout x 7→ 1 + x + x 2 2 .
Mais le feinte universelle, c’est si a est non nul, on fait le changement de variable h := x a et on serame`nea`faireunDLen0.
DL d’une exponentielle, ce qu’il ne faut pas faire
Exemple Calculer le DL 2 en x := 0 de e cos x . Quand u tend vers 0 j’ai bien
Jaipeut-ˆetre
u 2 e u = 1 + u + 2 + o ( u 2 )
e cos x = 1 + cos x +cos2 2 x + o (cos 2 x )
(passuˆr)maisjenaienaucuncas
e cos x = 1 + cos x +cos2 2 x + o ( x 2 ) , quisugge`releDLfaux
xEColac4ulerleDL2enx
e cos x =52 32 x 2 + o ( x 2 ) .
:=0edeocsx.
DL d’une exponentielle, ce qu’il faut faire
Le principe, c’est que pour calculer le DL de e u , on peut faire comme on a envie si u tend vers 0, c’est le cas sans feinte. Et sinon, on trouve une feinte pour se ramener au cas sans feinte.
Exemple sans feinte
Exemple Calculer le DL 2 en x := 0 de e sin x . Quand u tend vers 0 j’ai bien u 2 + o ( e u = 1 + u +2 u 2 )
et donc j’ai
2 e sin x = 1 + sin x +sin2 x + o (sin 2 x ) . Et cette fois o (sin 2 ) ’ st pareil que o ( x 2 ) parce que, quand x x , c e tend vers 0 , sin 2 x et x 2 sont´equivalents.Jaidonc
2 e sin x = 1 + x + o ( x 2 ) + x 2 + o ( x 2 ) + o ( x 2 ) ,
qui donne le DL juste e sin x = 1 + x + x 2 2 + o ( x 2 ) .
Exemple avec feinte
Exemple Calculons le DL 2 de x 7→ e e x en a := 0. On pose v := e x 1. On cherche donc le DL de ee v avec v quitendvers0,facile!One´crit
e v = 1 + v + v 2 2 + o ( v 2 )
etl`a-dedans,onremplace v par son DL 2 :
x 2 v = x +2+ o ( x 2 ) . Puisonn´egligelesmonˆomesn´egligeables,etonnoubliepasde multiplier par e .
Exo 5 Finissez ce calcul.
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