Developpements limites et Taylor meme combat

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Developpements limites et Taylor, meme combat Dedou Avril 2011

  • propriete caracteristique

  • besoin de preciser

  • lieu d'ecrire


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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D´eveloppementslimit´esetTaylor,mˆemecombat
De´dou
Avril 2011
DL et Taylor
Vocabulaire Sifenofcnitseutnimentd´onind´esnadninuvireelbarvteleal autour deappmeevoldne´,oslor´e`aimitentlerdnenan’est autre quesonpolynˆomedeTaylordordrenena.
Onpeutd´enirund´eveloppementlimite´(DL)pourdesfonctions plusge´ne´rales,maiscetteextensionnenousconcernepasici.On introduitdoncseulementunnouveaunompourunenotiond´ej`a connue. Exo 1 QuelestleDL`alordre4delafonctionexponentielleen0?
DLetpre´ponde´rance
Lapropri´ete´caract´eristique Soitfune bonne fonction etTrerdoalL`nDsonena. Alors, quandxtend versa,ladiere´ecnf(x)T(x)eaigebltnesgl´e n devant (xa) .
Exo 2 Explicitez ce fait en termes de limite dans le cas de la fonction exponentielleetdesonDLdelexopr´ec´edent.
Exemple
1 LeDLa`lordrenen 0 def:=x7→est 1x
n T:=x7→1 +x+∙ ∙ ∙+x. n+1 x Eneet,onve´riequonaf(x)T(xqui est bien) = 1x n n´egligeabledevantxquandntend vers 0. Exo 3 1 EcrivezleDL`alordre2en0delafonctionx7→. 1+x
La notationo
Aulieude´crirequeladi´erencef(x)T(xblesent)giaee´lg n devant (xacr)it,on´e
etmeˆme
n f(x)T(x) =o((xa) )
n f(x) =T(x) +o((xa) ). Cest-a`-direquonfaitlaconventionqueo(fnd)si´eeugn innimentpetitne´gligeabledevantf, sans qu’on ait besoin de pre´ciserquiestcetinnimentpetit`achaquefois.
Lexemplerevisit´e
Quandxtend vers 0, on a, pour toutn1 :
1 n n = 1 +x+∙ ∙ ∙+x+o(x). 1x
Exo 4 EcrivezsousceformatleDLa`lordre2en0delafonction 1 x7→. 1+x
DLet´equivalence
Proposition (n) Soitfune bonne fonction avecf(a) non nul, etTDLons`a l’ordren1 ena. Alors, quandxtend versareneid´,laec n (xa) (n) f(x)T(xviuqnelae)e´ts`atef(a) . n!
Exemple On a, pour toutn1 :
n1n x x x e1− ∙ ∙ ∙ − . (n1)!n!
Exo 5 Ecrivez(sanspointsdesuspension)laformulepr´ec´edentepour n:= 3.
Warning:lecassp´ecial
(n) Soit maintenantfune bonne fonction avecf(a) = 0, etTson DL`alordren1 ena. Alors, quandxtend versanereecal,´id f(x)T(xsuuoomniˆteerlpepeutpasˆsenturlele,nmo`asdin), n (xa) (n) ´equivalente`af(a)tlfau¸a`ri,ac´mereidel.nuurPoqustie n! continuerled´eveloppement.
Exemple On prend pourfre2en0estun.soSDn`Llaodrisocnoitcnofal 2 x000 T2:=x7→1.On af(0) = 0, ce qui signifie queT2est aussi 2 (4) le DL defalo`3en0rdreriatqueeme`elemmocte´vire´daf(0) n’est pas nulle, on obtient (pourxtendant vers 0) :
2 4 x x cosx1 +. 2 24
Calculs de Taylor
PourcalculerlepolynˆomedeTaylor(ouleDL)dordrendefen aitdoulseenemaltcon,lamrnemeno,t´eiverd´esrllecuala`uqsuj(se ni-)de`emefenaMais.ivere´eal´dlureaccloprun`e-idemefena, ilfautcalculerlad´eriv´ee(ndee1-)`imefenxet pas seulement enadtdeersevuire´ocm´etrdesshodeetbjo.Litapchdu permettantdecalculerleDL(oulepolynoˆmedeTaylor)sans calculertouteslesfonctionsd´eriv´ees.Cechapitrenapportedonc rien`alalogiquedelapproximationdeTaylorsicenestquilmet en´evidencelagrandecompatibilit´edecetteapproximationavecles op´erationsstandardsurlesfonctions.
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