Dilatations

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Dilatations Dedou Novembre 2009

  • homothetie

  • unique application

  • homotheties vectorielles

  • differente de l'identite

  • equation du centre


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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Dilatations
D´edou
Novembre 2009
Homoth´etieslin´eaires
De´nition Lhomothe´tie(vectorielle)derapportkdans l’espace vectorielE estlapplicationline´airehk:EE:=v7→kv.
Le rapportkrtnetueˆep´etimotheshoul.Lofselleirotcevsentuenrm sous-espace vectoriel de dimension 1 de l’espace vectorielLin(E,E) desapplicationslin´eairesdeEˆm-iulsnda.eme Exo 2 Ecrivezlhomoth´etiederapport3deR.
Homothe´tiesanes
De´nition Lhomoth´etiederapportket de centreCdans l’espace affineE, note´ehC,k, est l’unique application affine deEdansEenvoyantC ~ ~ surCaltnodteede(irean´liiertpaEdansEe)tsltiehomoth´e (vectorielle) de rapportk.
Exemple 2 Lhomoth´etiedecentre(1,2) et de rapport 3 dansRest l’application (x,y)7→(3x2,3y4).
Le´quationducentre
Proposition Le centreCtietdh´ehomounehsteet´tienldietedreneid´caracte´rise´parle´quationaucentre:
h(C) =C.
Exemple Lescoordonne´escetdteeito´hucdtreneledomh (x,y)7→(3x+ 6,3y8) ve´rientc= 3c+ 6 etd= 3d8, donc ce centre est (3,4).
Exo Calculerlecentredelhomoth´etie(x,y)7→(4x6,4y+ 9).
Le´quationdelhomothe´tie
Proposition Lhomothe´tiehde centreCet de rapportktransforme tout point 0 Men un pointMtomote´h:ei´vreinatl´equationdelh −−→0 0 CM=kCMautrement ditM=C+kCM.
Exemple Lhomoth´etiehde centre (1,2) et de rapport 4 transforme tout 0 pointMenM:= (1,2) + 4CM. C’est donc (x,y)7→(1 + 4(x1),2 + 4(y2)) autrement dit (x,y)7→(4x3,4y6).
Exo Calculerlhomothe´tiedecentre(2,3) et de rapport2.
Combinaisonsline´airesdhomothe´ties
Leshomoth´etiesdeEne forment pas un sous-espace vectoriel de Aff(E,E). Exemple Soitg:= (x,y)7→(x,yedte0ertneceth´etied)lhomo rapport1 eth:= (x,y)7→(2x1,2y) celle de centre (1,0) et de rapport 2. Leur somme est (x,y)7→(x1,y) qui est la translation de vecteur (1,0).
Exo Donnezdeuxhomoth´etiesdeRdont la somme n’est pas une homothe´tie.
Dilatation=homothe´tie+translation
D´enition On appelle dilatation d’un espace affineEtoute application affine deEdansEerseutenlenie´iatlapartidon.eiro)elle(tictvemoho´eth Le rapport de la dilatation est celui de sa partie vectorielle.
Proposition Les dilatations d’un espace vectorielEsont les applications de la formev7→kv+c. Celles de rapport 1 sont les translations et les autressontdeshomoth´eties.
Exo Quel est le rapport de la dilatation (x,y,z)7→(4x,4y,4z) ?
Espace vectoriel des dilatations
Proposition Les dilatations d’un espace vectorielEde dimensionnforment un sous-espace vectoriel de dimensionnde+ 1 Aff(E,E).
Exemple 2 Une base de dilatations pourRsectnotsti´ueeed (x,y)7→(x,y),(x,y)7→(1,0) et (x,y)7→(0,1).
Exo D´ecomposez(x,y)7→(3x2,3ydans cette base.+ 5)
Exo 3 Donnez une base de l’espace des dilatations deR.
Dilatations du plan complexe
2 Le plan complexe, c’estR, avec la multiplicaztion complexe en plus.
Comme pour n’importe quel espace vectoriel, les dilatations du plan complexeCsont les applications deCdansCde la forme v7→kv+cceirre´eaerc¸s,cacensf`´epronas,ad,euqfuz7→kz+c. Bien voir qu’on n’utilise pas la multiplication complexe, mais seulement la multiplication externe. Question Que se passe-t-il si on accepte queksoit ”imaginaire” ?
Onverralar´eponseplusloin.
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