Dimension des sous espaces

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Dimension des sous-espaces Dedou Octobre 2010

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  • homogenes de rang


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Dimension des sous-espaces
De´dou
Octobre 2010
n Dimension des sous-espaces vectoriels deR
De´nition n La dimension d’un sous-espace deR, c’est le nombre minimal de vecteursdansunsyste`medeg´en´erateursdecesous-espace.
La fausse formule des dimensions
Lide´e Ladimensiondusous-espacevectorieldessolutionsdunsyst`eme dedeux´equationshomog`enes`asixinconnues,cestlenombre dinconnuessecondaires,¸cadevraiteˆtre4.
Dimension (du sev des solutions) = nombredinconnues-nombrede´quations.
Maiscestfaux!ilnefautpascompternaı¨vementlese´quations.
Exo 1 Donnezunexempledesyst`emedetrois´equationshomoge`nesa` quatre inconnues dont l’ensemble des solutions est un plan.
n Dimension des sous-espaces vectoriels deR
Bonned´enition Ladimensiondusous-espacevectorieldessolutionsdunsyste`me de´quationshomog`enesestdonne´eparlaformule:
Dimension (du sev des solutions) = nombredinconnues-rangdusyste`mede´quations.
Exo 2 Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel des solutions d’un syste`medetroise´quationshomoge`nesderang2auxinconnues x,y,z,t,u?
2 Dimension des sous-espaces vectoriels deR
2 Comme sous-espace vectoriel deR, on a en dimension 0 : {0}(qui est l’ensemble des solutions dex=y;= 0) en dimension 1 : lesdroitespassantpar0(ellesontunee´quationhomog`ene); en dimension 2 : 2 Rtout entier (qui est l’ensemble des solutions de 0 = 0).
3 Sous-espaces vectoriels deR
3 Comme sous-espace vectoriel deR, on a en dimension 0 : {0}, qui est l’ensemble des solutions dex=y=z= 0 ; en dimension 1 : lesdroitespassantpar0,quionttoutesunsyste`mededeux ´equationshomoge`nes; en dimension 2 : lesplanspassantpar0,quionttousune´equationhomoge`ne; en dimension 3 : 3 Rtout entier qui est l’ensemble des solutions de 0 = 0.
Faussedimensiondessous-espacesvectorielsengendre´s
Lide´e La dimension du sous-espace vectorielVect(e1,∙ ∙ ∙,em)engendr´e par (e1,∙ ∙ ∙,emnolereetg´derembetare´nesru)edrviaˆtm Maiscestfaux!ilnefautpascompternaı¨vementlesge´ne´rateurs.
Exo 3 4 Donnezunexempledesyst`emedetroisvecteursdeRqui n’engendrent qu’un plan.
Dimensiondessous-espacesvectorielsengendre´s
Th´eor`eme Ladimensiondusous-espacevectorielengendre´parunsyst`emede vecteursestlerangdecesyst`eme.
Exo 4 Quelleestladimensiondusous-espacevectorielengendr´eparun 4 syst`emedetroisvecteursderang2dansR?
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