Encadrer avec les accroissements finis

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Encadrer avec IAF Dedou Fevrier 2011

  • dessin indispensable

  • abord c¸a


Publié le : mardi 1 février 2011
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Encadrer avec IAF
D´edou
F´evrier2011
Leprobl`eme
On nous donne une fonction ”abstraite”fetnreavllbavire´dilrusel I:= [1,7] avec
f(1) = 2,f(7) = 3 et
Que peut-on dire des bornes def?
Dabordc¸asedessine.
0 1f3.
On majore
On prendxdans [1,7] et on applique IAF sur [1,x].
f(b)f(a) +M(ba) devient
f(x)2 + 3(x1) = 3x1.
EnsuiteonappliqueIAFa`reculonssur[x,7] :
f(a)f(b)m(ba) devient
f(x)3 + 7x= 10x.
Do`ulamajoration(dessinindispensable)
f(x)min(3x1,10x).
Leminetlemaxdedeuxfonctionslin´eaires
Maintenant je veux mieux comprendre la fonction majorante x7→min(3x1,10xelenc)uq´euvJe.aejroitqe´aviuesbolevr
4 3x110xx. 11 4 Donc pourx, min(3plus petit que x1,10x) vaut 3x1 et 11 pourxplus grand, min(3x1,10x) vaut 10x. Autrement dit notre fonction majorante est la fonction (dessin)
x7→
six11/4 alors 3x1 sinon 10x.
Leminetlemaxdedeuxfonctionsline´aires
Maintenant je veux mieux comprendre la fonction majorante x7→min(3x1,10xvuortiaboJ.ee´´elrvselevauieqcnequej)
4 3x110xx. 11 4 Donc pourx, min(3plus petit que x1,10x) vaut 3x1 et 11 pourxplus grand, min(3x1,10x) vaut 10x. Autrement dit notre fonction majorante est la fonction (dessin)
x7→
six11/4 alors 3x1 sinon 10x.
Exo 1 Calculer la fonctionx7→max(2x+ 1,5x2).
Lemaxdumindedeuxfonctionslin´eaires
Le max de cette fonction majorante :
x7→six11/4 alors 3x1 sinon 10x est atteint pourx= 11/4 et c’est 29/nO.4latie´itlegn´d´enuied
ou encore
f29/4 surI.
supf29/4.
Lemaxdumindedeuxfonctionsline´aires
Le max de cette fonction majorante :
x7→six11/4 alors 3x1 sinon 10x est atteint pourx= 11/4 et c’est 29/4e´endne.Oniltiud´tilage´
ou encore
f29/4 surI.
supf29/4.
Exo 2 Calculer le max de la fonctionx7→min(2x+ 1,7x).
Qui dit mieux ?
supf29/4. Est-cequonpeutfairemieuxquec¸a? Oui, un tout petit peu : on peut montrer
supf<29/4. En effetfne peut pas atteindre la valeur 29/4. Si elle l’atteignait, c¸anepourraiteˆtrequen11/obligera4,et¸catif`aere´agel`ˆateg (parall´elogrammesaplatis). Comme par ailleursfatteint son maximum (comme toute fonction continuesurunintervalleferme´born´e),ona
supf= maxf<29/4.
Pas mieux !
La majoration
supf<29/4 est la meilleure possible. En effet, on peut trouver des fonctionsfavec un max arbitrairement proche de 29/4 (faire monter une petite bulle le plushautpossibledansleparalle´logrammeetcontournerla bulle),maislexpliquerrigoureusementestassezcomplique´.
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