Enroulements browniens et subordination dans les groupes de Lie

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Enroulements browniens et subordination dans les groupes de Lie Nathanael Enriquez1, Jacques Franchi2 et Yves Le Jan3 1 Laboratoire de Probabilites de Paris 6, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05. e-mail: 2 I.R.M.A., Universite Louis Pasteur, 7, rue Rene Descartes, 67084 Strasbourg. e-mail: 3 Universite Paris Sud, Mathematiques, Batiment 425, 91405 Orsay. e-mail: Resume. L'objet de ce travail est de faire apparaıtre le lien entre l'enroulement brownien et l'operation de subordination, et de montrer que ce lien peut etre etendu a des groupes de Lie non abeliens. 1 Introduction Le resultat de Spitzer [17], sur l'enroulement du mouvement brownien plan autour de l'origine, a suscite de multiples travaux (cf. par exemple [12, 15, 4]). Notre propos est d'une part, par l'emploi d'une echelle de temps adequate permettant d'obtenir des resultats non asymptotiques, de faire apparaıtre clairement le lien entre ce type de theoreme et l'operation de subordination, d'autre part de montrer qu'il est susceptible d'etre etendu a des groupes de Lie non abeliens. Dans les deux premieres sections, sont respectivement etudiees l'operation de subordination pour un mouvement brownien dans un groupe de Lie, et son application au processus d'enroulement.

  • exposant caracteristique du subordina- teur inverse du temps local en zero de la diffusion

  • enroulement

  • processus

  • integrale suivant les sauts de ? de taille superieure

  • diffusion recurrente

  • inverse

  • exposant caracteristique

  • temps local


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : proba.jussieu.fr
Nombre de pages : 23
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Enroulements browniens et subordination dans les groupes de Lie
Nathanae¨lEnriquez 1 , Jacques Franchi 2 et Yves Le Jan 3 1 LaboratoiredeProbabilite´sdeParis6,4,placeJussieu,75252Pariscedex05. e-mail: enriquez@ccr.jussieu.fr 2 I.R.M.A.,Universit´eLouisPasteur,7,rueRen´eDescartes,67084Strasbourg. e-mail: franchi@math.u-strasbg.fr 3 Universite´ParisSud,Mathe´matiques,Baˆtiment425,91405Orsay. e-mail: yves.lejan@math.u-psud.fr Re´sum´e. Lobjetdecetravailestdefaireapparaıˆtrelelienentrelenroulement brownienetlope´rationdesubordination,etdemontrerquecelienpeuteˆtre´etendu a`desgroupesdeLienonabe´liens.
1 Introduction Ler´esultatdeSpitzer[17],surlenroulementdumouvementbrownienplan autourdelorigine,asuscite´demultiplestravaux(cf.parexemple[12,15,4]). Notreproposestdunepart,parlemploidunee´chelledetempsad´equate permettantdobtenirdesr´esultatsnonasymptotiques,defaireapparaıˆtre clairementlelienentrecetypedeth´eor`emeetlope´rationdesubordination, dautrepartdemontrerquilestsusceptibledeˆtree´tendua`desgroupesdeLie nonabe´liens.Danslesdeuxpremi`eressections,sontrespectivemente´tudi´ees lop´erationdesubordinationpourunmouvementbrowniendansungroupe de Lie, et son application au processus d’enroulement. Des exemples sont pre´sente´sdanslatroisi`emesection,notammentceluidelenroulementdans despointeshyperboliquescomplexes,quiconduita`unprocessusdeL´evysur le groupe d’Heisenberg.
2 Subordination d’un mouvement brownien sur un groupe de Lie Soit ( X t ) un mouvement brownien gauche sur un groupe de Lie G ,de´ni parle´quation X 0 = Id , ( d X t ) X t 1 = d W t ,
2Nathana¨elEnriquez,JacquesFranchi,YvesLeJan o`u( W t )estunmouvementbrowniensurlalge`bredeLie G ; de sorte que les accroissements`agauche X t j +1 X t j 1 , 0 6 t 0 < . . . < t n ,sontind´ependantset h ` omogenes. Soit ( ν t ) le semi-groupe de convolution sur G donnant la loi de ( X t ). Conside´ronsunsubordinateur( Λ t )sansd´erivedemesuredeLe´vy π Λ , inde´pendantde X . Le processus ( s, Δ Λ s ) est un processus de Poisson ponctuel sur R + × R + dintensite´d x π Λ (d y ). Posons F t := σ ( Λ s , s 6 t ) σ ( W s , s 6 Λ t ), et introduisons le processus ( Y t := X Λ t ), qui est ( F t )-adapte´. Introduisons une metrique sur G et notons d la distance sur G qui lui est ´ associe´e.Soit ρ > 0 tel que exp | B (0 ) soit injective. L’image de B (0 , ρ ) par l’exponentielle est une boule de G centr´eeenlidentit´eetderayon ρ . Nouspouvonsalorsexprimerleg´en´erateurde( Y t ) comme suit, ce qui pre´cisedansnotrecontextelaformuledeLe´vyKhintchinesurlegroupe G ´etabliedans[7](Theorem5.1):lamesuredeLe´vyduprocessus( Y t )est´egale `a R 0 ν s (d g ) π Λ (d s ). Proposition 1. Soit f une fonction de G dans R , de classe C 2 `asupport compact. Alors f ( Y. ) Z . Z G × R + f ( Y u g ) f ( Y u ) − h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } 0 ν s (d g ) π Λ (d s ) d u est une ( F t ) -martingale. De´monstration. Remarquons d’abord que f ( Y t ) f (Id) = R 0 Λ t d( f X ) u , et decouponscetteinte´gralesuivantlessautsde Λ detaillesup´erieure`a ε > 0. ´ Pour cela introduisons : T := le n ie`me temps de saut de Λ detaillesup´erieurea` ε . N := Sup { n N | T 6 t } . ( N ) est un processus de Poisson sur R + dintensit´e π ε (1),ou` π ε (d x ) := 1 { x > ε } π Λ (d x ). Nous avons f ( Y t ) f (Id) = A εt + B , avec A εt : Z [0 t ] \ S { n<Ntε } [ Λ Tnε Tεn ] d( f X ) u = et B := Xf ( Y T ) f ( Y T ) . ε n<N t Le processus ( A εt ) tend vers 0 dans L 1 . En effet la semi-martingale f X sed´ecomposeenunemartingale M f etunprocessus`avariationborne´e A f . f ayantsesd´iv´born´ees,d h M f , M f i t / d t et d A tf / d t sontborn´eespardes er ees constantes, et donc
Enroulements et subordination 3 E [ | A | ] 6 O (1) × E Z R 1 [0 t ] \ S { n<Ntε } [ Λ Tnε Tεn ] ( x ) d x , quantit´equitendvers0lorsque ε tendvers0,parconvergencedomine´e. Ensuite B = C + D , avec C := Xf ( Y T ) f ( Y T ) E [ f ( Y T ) f ( Y T ) | F T ] n<N et D := X E [ f ( Y T ) f ( Y T ) | F T ] . n<N Ilapparaıˆtque( C ε ) est une martingale. En effet C s´ecritsouslaforme t C = X Z n 1 { n<N } = X Z n 1 { T <t } , n N n N ` ou Z n := f ( Y T ) f ( Y T ) E [ f ( Y T ) f ( Y T ) | F T ] ve´rie E [ Z n | F T ] = 0. Le processus ( C )estdoncunesommed´enombrable de martingales, qui converge dans L 1 (onv´erieeneetquelerestedela sommedesmomentsdordre1desvariablesajout´eessemajoreparunecon-stantefoislerestedelas´eriedes P { N > n } , qui est convergente puisque N est une variable de Poisson). Quanta` D ,ilse´crit: D = X Z R + f ( Y T ε T ) ν s (d g ) π ε (d s ) n<N Z G n g ) f ( Y π ε (1) . Si on pose H := R G × R + ( f ( Y t g ) f ( Y t )) ν s (d g ) π ε (d s ) ε (1), alors D = R 0 t H d N sede´composeparlaformuledecompensationrelativeauxproces-susdePoissoncompos´esenlasommedune( F t )-martingale et de g ) f ( Y u ) ν s (d g ) π ε (d s ) d u E := Z 0 t Z G × R + f ( Y u = Z 0 t Z G × R + f ( Y u g ) f ( Y u ) ν s (d g ) π ε (d s ) d u. Pour faire tendre ε vers 0, il convient d’ajouter un contre-terme. Notons que R G h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } ν s (d g ) est nul, car ν s est invariant par g 7→ g 1 et exp 1 ( g 1 ) = exp 1 ( g ). Donc E = Z 0 t Z G × R + f ( Y u g ) f ( Y u ) − h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } ν s (d g ) π ε (d s ) d u.
4Nathanae¨lEnriquez,JacquesFranchi,YvesLeJan Or f ( Y u g ) f ( Y u ) d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) 6 Cste × d (Id , g ) 2 et f ( Y u g ) f ( Y u ) d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) 1 { d (Id ,g ) } 6 Cste × min { d (Id , g ) 2 , 1 } , et Z G min { d (Id , g ) 2 , 1 } ν s (d g ) = E [min { d ( X s , Id) 2 , 1 } ] 6 Cste × min { s, 1 } ; donc Zf ( Y u g ) f ( Y u ) − h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } ν s (d g ) G × R + est dans L 1 P (d ω ) π Λ (d s ) 1 [0 ,t ] ( u ) d u .Lethe´or`emedeconvergence domine´edonnealorslaconvergencedans L 1 de E vers Z 0 t Z G × R + f ( Y u g ) f ( Y u ) − h d f ( Y u ) , Y u exp 1 ( g ) i 1 { d (Id ,g ) } ν s (d g ) π Λ (d s ) d u. Donc les martingales ( f ( Y t ) f (Id) A E ) convergent dans L 1 . ut
3 Processus d’enroulement dans un groupe Fixons un groupe de Lie G dalge`bredeLie G ,unsous-groupeferm´e Γ de G ,unevarie´t´eriemannienne M , et un ouvert U de M tel que U soit die´rentde M etdieomorphe`a( Γ \ G ) × R + . Notons ( x ( z ) , y ( z )) ( Γ \ G ) × ´ R + lescoordonn´eesde z U . Conside´ronsunediusionre´currente( Z t ) sur M ,dege´ne´rateur L (au sensdesproble`mesdemartingales).Lorsque( Z t )estr´ecurrentepositive,nous noterons µ samesureinvariantenormalise´e.Notons( F t ) la filtration cano-nique de ( Z t ). Faisonslhypoth`esequedans U leg´ene´rateur L sed´ecomposeenproduit semi-direct : il existe une fonction mesurable g de R + dans R ? + ,unge´ne´rateur L y sur R + ,etunge´ne´rateur L G sur G tels que L = L y + g y × L G dans U . Pre´cis´ement, L y s´ecrit L y h ( y ) = a ( y ) h 00 ( y ) + b ( y ) h 0 ( y ), pour a , b bore´liennes borne´essur R + , L G s´ecrit L G = P jr =1 Y j 2 pour certains champs de vecteurs lissesetinvariants`agauche Y 1 , . . . , Y r sur G , et enfin pour toutes fonctions de classe C 2 , f sur R + et F sur Γ \ G , nous avons dans U : L ( F x ) × ( f y ) = ( F x ) × ( L y f ) y + ( gf ) y × ( L G F ) x .
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