Ensembles inductifs

De
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Ensembles inductifs Dedou Septembre 2010

  • arites

  • reunion disjointe

  • famille d'arites

  • entier naturel


Publié le : mercredi 1 septembre 2010
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Ensembles
inductifs
De´dou
Septembre
2010
Arit´es
D´enition
Unearit´e(FO)estjusteunentiernaturel.
Exemples
Larit´edeladditionest2,larit´edelafactorielle
est
1.
Signatures
De´nition
Une signature
Exemple
( plus : 2 , mult
(FO)estjusteunefamilledarite´s.
: 2 , fact : 1) est une signature.
Ensembles
et
signatures
Tout ensemble
celle ou toutes
peut etre vu ˆ
lesarite´s
comme
sont nulles.
une
signature
R´eunion(disjointededeuxsignatures
Etantdonn´eesdeuxsignatures S et T
onpeutformerleurr´euniondisjointe S
q T .
Representation d’une signature dans un ensemble ´ ´
unerepr´esentation r de la signature ( I , a ) dans l’ensemble R est une famille ( r i ) i I avec r i : R a i R .
Exemple De´nirlarepr´esentationnaturelleetunerepre´sentationd´ebilede ( plus : 2 , mult : 2 , fact : 1) dans R .
Morphismesderepr´esentations
Soient ( X , r ) et ( Y , s )deuxrepr´esentationsdunesignature S
On appelle morphisme de r dans s toute application m : X Y compatible`a r et s .
Exercice Precisercetted´enition. ´
La
cat´egoriedesrepr´esentationsdunesignature
Aveclesmorphismesd´enisavant, lesrepre´sentationsdunesignatureformentunecat´egorie.
Exercice Pr´eciseretd´emontrercet´enonce´.
La
representation initiale ´
Etantdonne´unesignature S , l’ensemble des formules correspondantes ˆ repre´sentationde S qu’on note S .
Exercice Pre´ciseretde´montrercete´nonc´e.
constitue
une
La
proprie´te´dinitialite´
Etantdonn´eunesignature S ,etunerepre´sentation ˆ Il existe un unique morphisme de S dans r .
Exercice De´montrercetenonce. ´ ´
r
de
S
Notion d’objet initial
On dit que l’objet I delacat´egorie C est initial si il existe un unique morphisme de I vers tout objet de C .
Exemple Pour tou
ˆ Pour toute signature S , S estunobjetinitialdanslacate´goriedes repre´sentationsde S .
Exercice Sideuxobjetsdunecat´egoriesontinitiaux,ilssontisomorphes,et ce de facon unique. ¸
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