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Equations
aux
ante´c´edents
D´edou
Novembre
2011
Equationsre´solues
Ilyatoutessortesde´quations.Lese´quationspre´f´er´eesdesboulets sontlese´quationsr´esolues,cellesdelaforme
x = a
ou x est l’inconnue et a est la formule qui ”donne” la solution du ` probleme. ` Les´equationsre´soluessontraresetnerapportentpasgros.
Equationsauxante´ce´dents
Justederrie`relese´quationsr´esolues,onaimebienlese´quations auxant´ece´dents.Cesontcellesquisontdelaforme
f ( x ) = a
o`u x est l’inconnue, tandis que f et a sontdonn´es.Laparticularite´ des´equationsr´esoluesestdoncqueleursecondmembreestune (fonction) constante.
Lecastoutr´eel
Lecasquonmaıˆtriselemieux,cestceluio`ulinconnueet le´quationsontdetyper´eel,et f va de R dans R . Ca se dessine grave.
Exemple Si on prend
f := x 7→ x 2 5
onobtientle´quation
et
a := cos π
x 2 5 = cos π.
Exo corrig Re´soudrele´quationpre´ce´dente.
Equationsge´ne´rales
Unee´quationgene´ralepeuttoujoursseramenera`(¸caveutdire ´ estequivalente`a,alesmˆemessolutionsque)unee´quation ´ auxant´ec´edents.
Exemple L equation du nombre d’or ’´
este´quivalente`a
x 2 = x + 1
x 2 x 1 = 0
ou a `
x 2 x = 1 .
Le cas des points
Onpeutparlerde´quationauxante´c´edentsmˆemelorsque l’inconnue est de type vectoriel.
Exemple Onconside`re
f R 2 R M 7→ AM 2
o`u A est un point d ´ onne. L’ensemble des solutions de
f ( M ) = 3
estuncercle.Cestlensembledesant´ece´dentsde3par f .
Le cas des couples : exemple
Au lieu de chercher un point M , on peut chercher son couple de coordonne´es x et y .
Exemple L’ensemble des solutions de
2 x + 3 y 2 = 3
estuneparabole.Cestlensembledesant´ec´edentsde3parla fonction
( x , y ) 7→ 2 x + 3 y 2 .
Le
cas des couples : exo
Exo 1 Identifi
Identifiez { ( x , y ) R 2 | x 2 y 3 = 2 } comme ensemble dant´ec´edentsdunnombre a par une fonction f .
Equationauxante´c´edentsdetypevectoriel
Onpeutparlerd´equationauxante´ce´dentsmeˆmepourles ´ tions de type vectoriel. equa
Exemple Etant do
Etantdonne´stroispoints A , B , C de R 2 et trois nombres a , b , c l´equationauxbarycentresde A , B , C pond´er´espar a , b , c est le´quationsuivantea`linconnue G de type R 2 :
~ ~ ~ aGA + bGB + c GC = 0 .
Sessolutionssontlesant´ece´dentsde0parlapplication
~ ~ ~ f : G 7→ aGA + bGB + c GC .
Lessyste`mesline´airescommee´quationsauxant´ec´edents: exemple
Lesyst`eme
25 xx ++37 yy + 42 zz ==12
sinterpre`tecomme´equationauxant´ece´dentsde a := (1 , 2) par f := ( x , y , z ) 7→ (2 x + 3 y + 4 z , 5 x + 7 y 2 z ) .
Lessyst`emeslin´eairescomme´equationsauxante´c´edents exo
Exo 2 Traduireensyst`emelin´eairel´equationauxant´ece´dentsde(3 , 4) par ( x , y ) 7→ ( x y , 2 x 3 y ).
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