Equivalence

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Equivalence Dedou Avril 2012

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  • reste de la serie de taylor

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Publié le : dimanche 1 avril 2012
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Equivalence
D´edou
Mars 2011
De´nitiondel´equivalence
De´nition On dit que, quandxtend versaR,f(xa`iuaveltnqe´tse)g(x) (ouf(x`tnea´equival)estg(x)) si
f(x) lim = 1. g(x) xa
Onpeutnoterc¸a f(x)xag(x), ou, en sous-entendanta, fg.
L’exemple-phare
Proposition 0 Pourf´denbaelreviaavecf(a) non nul, on a
Exemple
0 f(x)f(a)xaf(a)(xa).
sinxx0x.
Exo 1 Donnezun´equivalentsimpledelnxquandln 2 xtend vers 2.
Warning
Danslesmeˆmesconditions,a-t-on
0 f(x)xaf(a) +f(a)(xa)?
Ouimaiscestde´bile,c¸aneportepaslesensquonpourraitcroire, ce n’est pas plus vrai que
0 f(x)xaf(a) + 3f(a)(xa) (sauf sif(a) = 0).
Lase´riedeTaylor
Pourcequona`afaireetdire,ilestcommodedeconside´rer,au lieudelas´eriedespolynˆomesdeTaylor,lase´riedesmonoˆmes de Taylor
n (x) (n) ...,f(a), ... n! quonappelleras´eriedeTaylordefena.
Equivalence et Taylor
Proposition Pourfavlbe´ireenmindtneie´dna, quandxtend versa, a)f(xe´tse)nelaviuqmireuptaenrmteernoundlsesae´irdee Taylor ena; b)enparticulier,aveclanotatione´vidente,f(x)Tn(x) est e´quivalentaupremiertermenonnuldurestedelase´riedeTaylor.
Exemple 2 3 x x x e1x− ∼x0. 2 6
Exo 2 Donnezun´equivalentsimple,pourxtendant vers 0 de 2 x cosx1 + . 2
Equivalenceetpre´ponde´rance
Proposition Pour quef`aentevilae´uqostig, il faut et il suffit quefgsoit ne´gligeabledevantf(ou devantg.
Exemple 2 4 Quandxtend vers 2, 3(x5(2) + x`ant2)se´tqeiuavel 2 4 3(x(cearp2)idaleuq5ecnere´x)es2gligtn´edeveaelbnat 2 3(x2) .
Exo 3 Pourxdneton,drunetvans3ereltnispm´nqeiuavlede 3 2 3(x5(3) + x2) . Justifier.
Faux Taylors
Exemple x2 3 Pourxtendant vers 0,e1xxxtirsce´2x2 3 (1/2)x+ (e1x(1/2)x)xeiebtotsuojanetna`tnat 2 (1/2)xdermesuxteileg´ngedsvebaeltlan;ouindnedu´euqtie x22 3 e1xxxest´equivalent`a(1/2)x.
Exo 4 2 Donnezune´quivalentsimplequandxtend vers 0 de sinxx+x.
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