Espace projectif definitions

De
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Espace projectif : definitions Dedou Decembre 2010

  • e?

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  • relation d'equivalence

  • corps fini

  • point de e?


Publié le : mercredi 1 décembre 2010
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Source : math.unice.fr
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Espace
projectif
:
D´ed ou
D´ecembre
de´nitions
2010
Le
corps de base
On choisit un corps K .Onpeutpenser`a R mais pour faut un corps fini. On dira espace vectoriel pour espace vectoriel sur K .
la
crypto,
il
L’ roj ctif d’un espace vectoriel espace p e
Soit E un espace vectoriel. On note P ( E ) l’ensemble des droites vectorielles de E . On dit que P ( E )estlespaceprojectifassoci´ea` E .
Le point de vue quotient
Soit E un espace vectoriel.
Notations On pose E := E − { 0 } . On note R larelationeˆtreproportionnelssur E . C’est une relationd´equivalence. On note π la projection π quia`unpointde E associe la droite qu’il engendre.
Proposition La projection π fait de P ( E ) “le” quotient de E par R .
Exercice a) Est-ce que π est surjective ? Injective ? b)Pre´cisezetprouveztoutca. ¸
Le
cas d’un corps
Si K est
Exercice
Calculer
fini
fini et si E
le
cardinal
est
de
de
dimension
P ( E ).
finie,
P ( E )
est
fini.
Notion d’espace projectif
Exercice Donnerunebonnede´nitiondespaceprojectif.
Lage´ome´triealg´ebriquedonneunebonned´enitiondespace projectif.Cestunevarie´t´ealge´brique,ouunsche´ma...
Dimension d’un espace projectif
De´nition Si E est de dimension n , on dit que E est de dimension n 1. On peut dire droite projective au lieu d’espace projectif de dimension 1 et plan projectif au lieu d espace projectif de dimension 2.
Droites d’un espace projectif
D´enition On dit qu’une partie de P ( E ) est une droite (projective) si c’est l’ensemble des droites d’un plan de E . On dit que des points de P ( E )sontaligne´ssilssontsurunememe ˆ droite.
He´ritage Une droite de P ( E ) est aussi un espace projectif.
Exercice a) Montrer que par deux points distincts de P ( E ) passe une unique droite. b) On se donne n + 1 points de P ( E ) et on suppose que n quelconquesdentreeuxsontalign´es.Est-cequeces n + 1 points sontalign´es?
eti´ar-vussonetuseseriae´nilse´tri´es-vaesouiondestctnretuie)aoTstseesun´einreaite´ilse´suosrav-ondedeuxlar´euniri.e)biSe´il´naerexEecictieneconutretla
Attention Aveccetted´enition,unesous-varie´te´line´aireestvidessielleest de dimension 1.
H´eritage Unesous-varie´te´line´airededimension n de P ( E ) est aussi un espace projectif de dimension n .
D´enition On dit qu’une partie de P ( E )estunesous-vari´ete´lin´eairede dimension n sisare´union(avec0)estun sous espacevectoriel de dimension n + 1 de E .
?
Sous-vari´et´esline´aires
Exercice Une partie de P ( E )estunesous-varie´te´lineairessiavecdeux ´ points quelconques, elle contient la droite qui les joint.
rivas-ouinelt´´ea,eriae´nulsrol
Sous-vari´et´elin´eaireengendree ´
Proposition-d´enition Si A est une partie de
ˆ Si A est une partie de P ( E ), l’intersection A des sous-vari´ete´sline´airescontenant A est la plus petite sous-varie´t´eline´airecontenant A . On dit que c’est la sous-vari´et´elin´eaireengendr´eepar A .
Exercice a)Pre´cisezetd´emontrezca. ¸ b)Discutezladimensiondelasous-vari´ete´lin´eaireengendre´epar lare´uniondedeuxdroites,detroisdroites. c)Discutezladimensiondelasous-varie´t´elin´eaireengendr´eepar lare´uniondedeuxsous-vari´et´esline´aires.
Codimension
De´nition Onappellecodimensiondunesous-vari´et´eline´aire L dans P ( E ) la di´erenceentreladimensionde P ( E ) et celle de L .
Exercice a) Montrez que la codimension de l’intersection de deux sous-vari´et´eslin´eairesestauplus´egalea`lasommedes codimensions. b)Montrezquelintersectiondedeuxsous-varie´te´sline´airesdont lasommedesdimensionsestaumoins´egale`aladimension ambiante est non vide. c) Montrez que la codimension d une intersection quelconque de sous-varie´te´slin´eairesestauplus´egale`alasommedes codimensions.
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