Espaces affines

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Espaces affines Dedou Octobre 2009

  • µv ?

  • systemes inhomogenes

  • combinaisons barycentriques

  • propriete essentielle des systemes lineaires quelconques


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
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Espaces affines
D´edou
Octobre 2009
Unepropri´et´eessentielledessyste`meslin´eaireshomoge`nes
Proposition L’ensemble des solutionsSunsyst`deriaomohlemee´nieng`stee stableparcombinaisonlin´eaire autrementditilve´rielacondition
u,vS,λ, µR, λu+µvS autrement dit c’est un sous-espace vectoriel.
Cenestplusvraipourlessyst`emesinhomoge`nes. Exo 2 Donnez deux solutions dansRtalueq´noeidx+y= 1 dont la sommenestpassolutiondecettee´quation.
Combinaisonsline´airessimplesetg´ene´rales
Lesdeuxconditionssuivantessonte´quivalentes: Toutecombinaisonline´airede´le´mentsdeSest encore dansS, 1 autrement dit : nN,u1, ...,unS,λ1, ..., λnR, λ1u1+∙ ∙ ∙+λnunS
Toutecombinaisonline´airededeuxe´le´mentsdeSest encore 2 dansS, autrement dit : u,vS,λ, µR, λu+µvS.
Etc¸asede´montre!
Uneproprie´te´essentielledessyst`emeslin´eairesquelconques
Proposition L’ensemble des solutionsSean´eqirlcuequondysnue`tsilemeets stableparcombinaisonbarycentriqueencesensquilve´riela condition
u,vS,λ, µR, λ+µ= 1λu+µvS
Combinaisonsbarycentriquessimplesetge´n´erales
Lesdeuxconditionssuivantessont´equivalentes: 1 Toutbarycentrededeuxe´le´mentsdeSest encore dansS, i.e. : u,vS,λ, µR, λ+µ= 1λu+µvS ou encore u,vS,λR, λu+ (1λ)vS Toutbarycentrede´le´mentsdeSest encore dansS, i.e. : 2
nN,u1, ...,unS,λ1, ..., λnR, λ1+∙ ∙ ∙+λn= 1λ1u1+∙ ∙ ∙+λnunS.
Exoa`faireentd Montrezces´equivalences.
Sous-espaces affines
D´enition On dit qu’une partieSd’un espace vectoriel est un sous-espace affine si elle est stable par combinaison barycentrique, autrement ditsiellev´erielacondition
u,vS,λR, λu+ (1λ)vS.
n Caract´erisationdessous-espacesanesdeR
Rappel n Une partie deRest un sous-espace vectoriel ssi c’est l’ensemble dessolutionsdunsyst`emed´equationslin´eaireshomoge`ne(s).
Proposition n Une partie deRest un sous-espace affine ssi c’est l’ensemble des solutionsdunsyst`emed´equationsline´aires.
Exemples d’espaces affines
Comme pour les espaces vectoriels, on ne va pas se presser de donnerunede´nitiondesespacesanes. On va d’abord insister sur lesexemplesdespacesanesquinousinte´ressent:les espaces vectoriels et leurs sous-espaces affines, ce qu’on sait faire dans les espaces affines : les combinaisons barycentriques.
D´enitiondespaceane
De´nitionincomple`te Un espace affine est un ensembleAmuni d’une notion de combinaison barycentrique :
CB:R×A×AA (u,v,a)7→au+ (1a)v v´eriantnotammentuneconditiondassociativit´e.
Exo Proposezuneformulationdecetteconditiondassociativite´,et,le cas´eche´ant,expliquezpourquoivotresolutionnevoussemblepas tre`sbonne.
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