Espaces de lacets iteres et groupes symetriques

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Espaces de lacets iteres et groupes symetriques Clemens Berger Ecole d'ete, 16 juin - 4 juillet 1997, Grenoble Table des matieres 1 Reconnaıtre et reconstruire un espace de lacets itere 2 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Completion en groupe d'un H-espace associatif . . . . . . . . 5 1.3 Theoremes de detection et d'approximation . . . . . . . . . . . 8 1.4 Trois exemples : ?S,?2S2 et ?∞S∞ . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Structure cellulaire des En-operades 11 2.1 Decomposition cellulaire des espaces de configurations reels . . 11 2.2 L'operade du graphe complet colore . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Trois exemples : M(n), ES(n), J (n) . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Homologie des En-operades et algebres de Poisson . . . . . . . 18 3 Homologie du groupe symetrique infini 21 3.1 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Structure d'algebre de Hopf .

  • application ? ?

  • centrees en la configuration de points donnee pour la norme l∞

  • espace de lacets itere

  • version operadique des a∞-espaces de stasheff

  • structure precise

  • sk ?

  • operade


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Espacesdelacetsite´r´esetgroupessym´etriques
Clemens Berger Ecoled´et´e,16juin-4juillet1997,Grenoble
Tabledesmati`eres 1Reconnaıˆtreetreconstruireunespacedelacetsite´re´2 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2Compl´etionengroupedunH-espace associatif 5 . . . . . . . . 1.3Th´re`mesdede´tectionetdapproximation...........8 eo 1.4 Trois exemples : ΩSΩ2S2et ΩS 9. . . . . . . . . . . . . . 2 Structure cellulaire desEnpo-are´s1de1 2.1De´compositioncellulairedesespacesdecongurationsre´els..11 2.2Lop´eradedugraphecompletcolor´e...............13 2.3 Trois exemples :M(n) ES(n)J(n). . . . . . 15. . . . . . . . . . 2.4 Homologie desEnoiePonss.....1..8-op´erdasetela`gbeerds 3Homologiedugroupesyme´triqueinni21 3.1 Principe de scindage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2Structuredalg`ebredeHopf...................22 3.3 Les coinvariants de Dickson-Mui . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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1 Recon ˆt e et reconstruire un espace de naı r lacetsit´ere ´ 1.1 Les petits cubes de Boardman-Vogt SoitY= ΩnX= Top(Sn X) un espace de lacetsne-ofsiti´er´e.Lapuissanc knuseemtnofcnapecnel,tionet:ene`-demeteceapseescelota´erslega kfois Yk= Top(Sn X)k=Top(zSnSn}|∙ ∙ ∙ ∨Sn{ X) Ilsensuitquelacompositionde´nituneaction k k Top(SnWSn)×Top(WSn X)Top(Sn X) k k k Q(nk)×YkY (γ;y1 . . .  yk)7→(y1∨ ∙ ∙ ∙ ∨yk)γ Les´ele´mentsdeQ(kn)= Top(SnkWSnsnotdoncdesop´erati)´deinssnek-aires YkYsur tout espace de lacetsnf-ioree´is´tY. La familleQ(n)= (Q(kn))k1constitue en particulier uneeaderp´ode sorte que l’ensemble des actionsQ(nk)×YkYmunit l’espace de lacetsn-fois ite´r´eYd’une structure deQ(n)-espace. Pr´ecisonslesde´nitionsquenousadopteronsdanslasuite: De´nition1.1.rogeodeieltnjbosssettlonenesertiSoitΛlacat´seluratsn non nuls et dont les morphismesφΛ(k l) sont les applicationsinjectives φ:{1. . .  k} → {1 . . .  l}. Uneradepr´eop´eest alors un foncteur contravariantO: ΛTop. Une op´eradeedumuninerpe´utenaredpoe´esit´eun1∈ O1et d’unemultiplication µi1...ik:Ok× Oi1× ∙ ∙ ∙ × Oik→ Oi1+∙∙∙+ik (z;z1 . . .  zk)7→z(z1 . . .  zk) tellesquelesaxiomessuivantsdenaturalite´,dassociativit´eetdunitarite´ soient satisfaits :
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(a) pour (φ;φ1 . . .  φk)Λ(k l)×Λ(i1 jφ(1)) × ∙ ∙× ∙Λ(ik jφ(k)) le dia-gramme suivant commute : Ok× Oi1× ∙ ∙ ∙ × Oikµi1...ki→ Oi1+∙∙∙+ik x φ×φ1×∙∙∙×φkxφ(φ1,...,φk)Ol× Oj1× ∙ ∙ ∙ × Ojlµj1...jlOj1+∙∙∙+jl (b) pour (z zi zij)∈ Ok×Qki=1Osi×Qik=1Qjsi=1Osij: z(z1(z11 . . .  z1s1) . . .  zk(zk1 . . .  zksk)) = (z(z1 . . .  zk))(z11 . . .  z1s1 . . .  zk1 . . .  zksk) kfois (c) pourz∈ Ok: 1(z) =z=z(1z .}.|. 1{) Unp´eoaderheidrspmmr´oepsef:O → O0est une transformation na-turelle de foncteurs. Nous dirons quefest une Λencelaviuqe´-si, pour tout p, l’application induitefp:Op→ O0psenetuqu´ealivceendohomotip.eeDxu pr´eop´eradessontdit´quivalenteslliesrentsoesseapile´ustiurenedeeni ese Λ-´equivalences.Deuxop´eradessontdites´equivalentessiellessontrelie´espar unesuiteniedeΛ-e´quivalencesmultiplicatives. l k Pour toutφΛ(k ll,)aritpoe´nocontravarianteφ:WSnWSne´dein parφ(s1 ∙ ∙∨ ∙ ∨sl) = (sφ(1)∨ ∙ ∙ ∙ ∨sφ(k)) induit une Λ-structure surQ(n); lunite´1Q1(n)tdersnp´aoeneidSnet la multiplication Q(kn)×Qi(1n)× ∙ ∙ ∙ ×Q(ikn)Q(i1n+)∙∙∙+ik s’obtient comme ci-dessus par compositionγ(γ1 . . . γk) = (γ1∨ ∙ ∙ ∙ ∨γk)γ. L’actionQ(kn)×YkYp´oeldeaderQ(n)sur un espace de lacetsn-fois it´ere´Yil´t,edsaosictaivit´eetdunitar´´iveireolaeedsrxisaesomnaderatu compatibles avec (a), (b) et (c) ci-dessus. Lasuspensioned´tuniornmemdhpsiaredpoe´sQ(n)Q(n+1). Par pas-sagea`lalimiteinductive,celad´enituneop´eradequenousnoteronsQet qui o ` desespaces de lacets infinis. En particulier pere sur n n Q1= limQ1(n) Ω= limS= ΩS. −→ n n 3
Lop´eradeQ(n)la structure interne d’un espace de lacetscontient toute n-foisit´er´e,maiselleest(dansunpremiertemps)tropgrandepourdonnerdes renseignementsconcrets.Ce´taitlide´edeBoardman-VogtetdeMayquune sous-ope´raderelativementpetitedeQ(n)ieuxlessym´etrieste´ermneibtia inhe´rentesa`unespacedelacetsna-dilealecruopsnore´di-siofe´ti.e´rsnoC gramme suivant :
k SnγWSn k k k [01]n/∂[01]nγW[01]n/∂[01]n∪ ∪ `ik=γ1(]01[(ni))γ`ki=1]01[(ni) 1 L’applicationγQ(kn)nemeuqinmrete´dttuesanxutcoieparin´estrisare pre´imagesγ1(]01[(ni)) desk´tnieiredsruun-cube standard [01]n. L’poe´aredC(n)des petitsn-cubesieetgolatsdsrone´deBoardman-V ´ttlasous-ope´radedeQ(n)rm´efotouseparselγqui sontaffines comme e an enrestrictiona``ki=1γ1(]01[(ni)eagprueim´eqeeuhcqa)edostrγ1(]01[(in)) soit unpetitn-cubeinclus dans ]01[nere`peruaesell`alarspxesaceedva canonique(maisdescˆote´sdelongueur´eventuellementdi´erente).Ilsagit deve´rierquetoutelastructuredope´radedeQ(n)resesnt`atreiC(n) est. Cela imme´diatpourlaΛ-structureetlunit´e.Quant`alamultiplicationt dev´erierquepour(γ;γ1 . . .  γk)∈ Ck(n)× Ci(1n)× ∙ ∙ ∙ × Ci(kn)gials,iopliscamoitno γ(γ1 . . .  γk)Qi(1n)+∙∙∙+ikedsncola`aontiraguocdnopserri1+∙ ∙ ∙+ikpetits n-cubes dans ]01[nobtenue ensubstituantauxkpetitsn-cubes deγlesk configurationssaos`aes´eciγ1 . . .  γkitnoedltiplicaent,lamumeuqirte´moe´G. lope´radedespetitsn-cubes est donc un produit de substitution. Enchoisissantconvenablementlhom´eomorphismeSn= [01]n/∂[01]n, la suspensionQ(n)Q(n+1)induit uneinclusionC(n),→ C(n+1)associa t ` n a la configuration de petitsn-cubesγ∈ C(nk)la configuration de petits (n+ 1)-n cubesγ×id]0,1[∈ Ck( +1). Letype d’homotopieSk´-qeiuavirnaetdeC(nk)elemieux´eterminsdea` traversl´equivalenceder´pp´eosereda Ck(n)F(]01[n k) =F(Rnk) 4
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