Espaces vectoriels

De
Publié par

Espaces vectoriels Dedou Octobre 2009

  • commutativite dans r2

  • definition d'espace vectoriel

  • regles de calcul

  • combinaison

  • specificite des espaces vectoriels


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
Lecture(s) : 29
Tags :
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 21
Voir plus Voir moins
Espaces
vectoriels
D´edou
Octobre
2009
Nosespacesvectorielspasse´s
Onad´ej`abeaucouptravaille´aveclesespacesvectoriels R 2 et R 3 notamment. Onacomprisquelaspe´cicite´desespacesvectoriels,cest quonpeutyfairedescombinaisonslin´eaires,etquec¸ase passe bien. Onaaussiremarque´quonpeutfairedescombinaisons lin´eairesailleursquedans R n (fonctions,polynˆomes, ´equations).
Onestpeut-ˆetremuˆrpourrecevoirlad´enitiondespacevectoriel.
L’addition de R 2
Pour se donner du courage, on passe en revue notre exemple phare R 2 ,encommen¸cantparsonaddition.
Add R
2
R 2 × R 2 ( v , v 0 ) (( x , y ) , ( x 0 , y 0 ))
7→ 7→
R 2 v + v 0 ( x + x 0 , y + y 0 ) .
La
multiplication de R
2
Et maintenant la multiplication :
Multex R 2 :
R × R 2 ( λ, v ) ( λ, ( x , y ))
7
R 2 λ. v ( λ x , λ y ) .
Lacommutativit´edans R
2
Nosdeuxope´rationsv´erientuncertainnombredepropri´ete´squi sontautantder`eglesdecalcul. Lapremi`ereestlacommutativite´de Add , qui dit que quand on additionne deux vecteurs, l’ordre n’importe pas :
Proposition L’addition de R 2 est commutative, autrement dit :
( comm +) : v , w : R 2 , v + w = w + v .
Etc¸aseprouve!
Preuvedelacommutativit´edans R
2
On prouve v , w : R 2 , v + w = w + v . Soient donc v := ( v 1 , v 2 ) et w := ( w 1 , w 2 ) deux vecteurs quelconques de R 2 . On a, v + w = ( v 1 + w 1 , v 2 + w 2 )(parde´nitiondeladditionde R 2 ) = ( w 1 + v 1 , w 2 + v 2 )(parcommutativite´deladditiondans R ) = w + v (pard´enitiondeladditionde R 2 ). Cqfd.
Lassociativit´edeladditiondans R
2
Ladeuxi`emepropri´ete´importantesappellelassociativit´ede Add . Elle qui dit que pour additionner trois vecteurs, on peut commencer par la droite ou par la gauche :
Proposition L’addition de R 2 est associative, autrement dit :
( assoc +) : v , w , x : R 2 , ( v + w ) + x = v + ( w + x ) .
Exercice Prouvercetteassociativit´e.
Lassociativit´edelamultiplicationdans R
2
Pourlamultiplicationexterne,ilnyapaslieu`acommutativit´e, puisquelesdeuxargumentsdecetteope´rationnontpaslemˆeme type. En revanche il y a bien une sorte d’associativite : ´
Proposition La multiplic
La multiplication externe de R 2 est associative, autrement dit :
( assoc : × ) x , y : R , v : R 2 , x . ( y . v ) = ( xy ) . v .
Exercice Prouvercetteassociativit´e.
La
distributivite´dans R
2
Nosdeuxope´rationssontcompatiblesencesensquonpeut de´velopperlesproduits,et¸casappelleladistributivite´:
Proposition La multiplic
La multiplication externe de R 2 estdistributiveparrapporta` l’addition, autrement dit : ( distrib ) : x , y : R , u , v : R 2 , ( x + y ) . ( u + v ) = x . u + x . v + y . u + y . v .
Ici,onvientdutiliserlaconventiondepriorit´estandard,selon laquelle la multiplication (externe ou pas) est prioritaire sur l’addition (vectorielle ou pas), ce qui veut dire qu on effectue les multiplications avant d’effectuer les additions ; x . u + x . v + y . u + y . v est donc un raccourci pour ( x . u ) + ( x . v ) + ( y . u ) + ( y . v ).
Exercice Prouvercettedistributivit´e.
Les neutres dans R 2
Ilyaencoretroisr`eglespourlecomportementdesdeuxz´eroset de1.Danscetteaaire,commez´eros,onalenombrer´eelze´ro,et on a aussi l’origine (0 , 0) de R 2 aussinot´ee0. s re Voici les troi `gles.
Proposition On a
( O , 0 , 1) : u : R 2 , u + 0 = u et 0 . u = 0 et 1 . u = u .
Exo D´emontrezcestroisr`egles.
Structures
Auvingti`emesie`cle,lesmath´ematiciensontintroduitungrand nombredenouvellesstructuresreconnuesdutilit´epublique(par leurs pairs ...). On introduit une nouvelle structure pour isoler l’essence de ce quontencommundessituationsmath´ematiquesquonpercoit ¸ comme analogues. Lintroductiondelastructureade´quateestunpuissantmoyen d’abstraction, qui permet un traitement unique pour toutes les situationsconcern´ees. Dans le cas qui nous occupe, la structure d’espace vectoriel est la structureade´quatepourl´etudeduneclassefondamentale dp´erations,lescombinaisonslin´eairesetduneclasse o fondamentaledapplications,a`savoirlesapplicationsline´aires. On(re)verraplusloinenquelsenslesapplicationsline´airessont celles qui sont compatibles avec la structure d’espace vectoriel.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.