Examen d'Integration et Analyse de Fourier

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Niveau: Secondaire

  • cours - matière potentielle : manuscrites


Examen d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 11 Janvier 2005 PRINCIPE D'INCERTITUDE DE HEISENBERG Le sujet est constitue de cinq parties plus ou moins liees. Les parties les plus delicates sont la fin de la partie III et la partie V. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion impor- tante du sujet pour obtenir une tres bonne note. Le principe d'incertitude de Heisenberg est un des piliers theorique de la phy- sique quantique. Son interpretation physique est un probleme non trivial, mais sa demonstration mathematique, une fois accepte le formalisme de base de la mecanique quantique, ne pose guere de difficultes. Cette demonstration sera l'occasion d'abor- der quelques points techniques interessants de la transformee de Fourier. On notera la transformee de Fourier d'une fonction f sur Rn par f?(?) = ∫ Rn f(x) e?2iπx·? dx. On pourra utiliser sans demonstration les proprietes principales de cette trans- formee : les theoremes de Plancherel, Parseval, la formule d'inversion, et l'action de la transformee de Fourier sur la convolution (incluant l'inegalite de Young). On notera ? la convolution habituelle, sur R ou Rn selon le contexte. Un multi-indice ? = (?1, . . . , ?n) etant donne, on notera ∂? = ∂|?| ∂x?11 .

  • principe d'incertitude de heisenberg

  • multi-indices ?

  • formules en remplac¸ant ? par ∂?

  • proprietes de l'espace de schwartz

  • sens de la convolution

  • transformee de fourier

  • retour sur le principe d'incertitude

  • limite ?

  • piliers theorique de la phy- sique quantique


Publié le : samedi 1 janvier 2005
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Source : math.univ-lyon1.fr
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ExamendInt´egrationetAnalysedeFourier
Ecolenormalesupe´rieuredeLyon 11 Janvier 2005
PRINCIPE D’INCERTITUDE DE HEISENBERG
Lesujetestconstitue´decinqpartiesplusoumoinslie´es.Lespartieslesplus de´licatessontlandelapartieIIIetlapartieV.Lesnotesdecoursmanuscriteset imprim´eessontautorise´es.Ilnestpasn´ecessairedetraiteruneproportionimportantedusujetpourobtenirunetr`esbonnenote.
LeprincipedincertitudedeHeisenbergestundespiliersth´eoriquedelaphysiquequantique.Soninterpre´tationphysiqueestunproble`menontrivial,maissa d´emonstrationmath´ematique,unefoisaccept´eleformalismedebasedelam´ecanique quantique,neposegue`rededicult´es.Cettede´monstrationseraloccasiondaborderquelquespointstechniquesinte´ressantsdelatransforme´edeFourier.
n Onnoteralatransforme´edeFourierdunefonctionfsurRpar Z b 2iπxξ f(ξ) =f(x)e dx. n R Onpourrautilisersansd´emonstrationlesproprie´te´sprincipalesdecettetransforme´e:lesthe´ore`mesdePlancherel,Parseval,laformuledinversion,etlaction delatransform´eedeFouriersurlaconvolution(incluantline´galit´edeYoung).On n noterala convolution habituelle, surRouRselon le contexte. |α| Un multii ndiceα= (α1, . . . , αnaerotnne´o,odnnattn)e´α=α, 1 αn ∂x .. . ∂x 1n ou`|α|=α1+. . .+αn. n Pourx, yR, on notera|x|la norme euclidienne dex, etxyle produit scalaire dexpary. n Siftuneesnoitcnofnere´idsuleabtirR, on noteraf= (1f, . . . , ∂nf) son n n vecteurgradient(cestunefonctionde´niedeRdansR). n Lamesuredinte´grationsurRsera toujours la mesure de Lebesgue.
I.La classe de Schwartz nn On noteS(R) l’ensemble des fonctionsCdeRdansRtelles que pour tout multiindiceα, et pour toutNN, N sup|αf(x)|(1 +|x|)<+. n xR n En d’autres termes,S(Rctoneftdaitfes)iluge´rse`rtsnoittoutesl`eresdone´sese´drevi tendentversz´ero`alinniplusvitequenimportequellepuissanceinversedela norme.(Onparledefonctions`ade´croissancerapide,mˆemesicesfonctionsne sontpas,strictosensu,d´ecroissantes.) I.1stna:esacivsulerespseertnbail´ttepnueelonsquusioinclseltnosselleuQ. 1n2nn n L(R),L(R),L(R),S(R) ?
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n c I.2. Soitf∈ S(R),reontrd´emofmrrealceuoludeqursxpiemerif(ξ) en fonction b b def(ξ) etξ. Trouver une fonctiongtelle quef=gbre´ne´G.esnlemuorsfceerisal rempla¸cantparα,o`uαest un multiindice arbitraire.
b I.3pmilacittnerlried.Rmo´eon:fegrableimpliqiunet´fastnalE.unitilborn´ee b questionpr´ec´edente,montrerquesifslaroble,egraint´est|ξ|f(ξe)tse.´ernbo b N Montrer que si (1+|x|)fstseni´tgearlb,elaroαfruestborn´epo|α| ≤N. Pousser le raisonnement pour montrer que b n n f∈ S(R) =f∈ S(R). Yatile´quivalence?
b n n I.4. L’applicationf7f´e,dienedS(R) dansS(R? injec), estelle surjective tive ?bijective ?
II.Principe d’incertitude II.1se donne. Onf∈ S(R). Montrer que Z Z 2f=2xf(x)f(x)dx. R R Onpourracommencerpare´tablircetteidentit´eformellement,puislajustierrigoureusementenutilisantlespropri´et´esdere´gularite´etdede´croissancedef.
II.2ofettecresilare´enG´.imensionrmuleendn, comme suit : Z Z 2 n f=2 (xf(x))∙ ∇f(x)dx. n n R R II.3une constante. Expliciteran,neendad´epedeuqtnn, telle que Z ZZ 2 2 22 fan|x|f(x)dx|∇f(x)|dx n R n pour toute fonctionf∈ S(R).
II.4une constante. Expliciterbnpe´eed,nedeuqtnadnn, telle que Z ZZ b 2 2 22 2 fbn|x|f(x)dx|ξ| |f(ξ)|dx n nn R RR n pour toute fonctionf∈ S(R).
II.5.G´en´ecttie´nrelasiree´tilagenofseda`nsioctf`adsnrseualavC.
i2πφx II.6. Quese passetil si on remplacefpar une fonction de la formee f(+y) (φetyvecteursx´es)?
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n II.7su´encnoPot:anivfetuotrunoitcnocnul.oCle´era`f∈ S(R;C), et pour tous n n x0R,ξ0R, Z ZZ 2 22b 2 2 (1)|f| ≤bn|xx0| |f(x)|dx|ξξ0| |f(ξ)|dξ. n nn R RR Cetteine´galite´estcommune´mentappel´eeprincipe d’incertitude de Heisen 2 berg. SikfkLlpqieuuqleonnpe=1,elleimirvotaeuisfola`a|f|edi(aune`ee´itn 2 b n2 mesuredeprobabilite´)tre`sconcentre´eautourdunx0R, et|f|ee´rtnecnocse`rt n autour d’unξ0R. Danslasuiteduprobl`eme,nousallonsve´rierquelleseg´en´eralise`adesfonctions quinesontpasn´ecessairementdanslaclassedeSchwartz(Nota:Ilexistedes d´emonstrationspluscourtesquecellequenousallonsconside´rer.) III.Fonctions plateaux de type positif n Unefonction plateauest ici une fonction de classeCsurRadsn,`valauesr [0,ortcompa],`asupp1a`elage´benurus1ntde,ictntmeueiqouleBR(0eta`scri)pre l’avance. Elle est ditede type positifsisartaofsnptsotivi.erm´eedeFourieres Ilexisteplusieursme´thodespourconstruiredesfonctionsplateauxpr´esentantde bonnesproprie´t´es;cellequisuitadesavantagesdanscertainesconditions. 1 Pour touta >0, on noteχ(a) = (2a) 1[a,a]tacieciroitcdninlonaf)s´eemali(nor de l’intervalle [a, a]R. d\ III.1. Calculerχ(aiuedre´dnE.)χ(a)χ(a). III.2. Dessinerl’allure deχ(a),χ(a)χ(b),χ(a)χ(b)χ(c) (on pourra supposer pour simplifier queabc). Montrer que ces fonctions sont paires et positives. Quelleestleurr´egularit´e?Plusg´ene´ralement,combiendefoispeutondie´rentier continˆumentunmultiproduitdeconvolutionχ(a1). . .χ(ak) ? III.3e)aticel(itSoitseuQ(.´dsulpnoak)kNergented´ecroissuen´sreeiocvnetnaed nombres strictement positifs. Dessiner qualitativement l’allure des fonctionsχ(N)= χ(a1)χ(a2). . .χ(aN). Montrer queχ(N)edaCcuyha`etsolopieogurpoetun pre´ciser,etquelleconvergequandN→ ∞vers une limiteχ. III.4veua.uQnt´etliedegralχ? Montrer queχestCca.tnEt`eupasrtpompco d´eduirequeχb.re`eliesttr`esr´egu III.5Qu.(cile´dsulpnoitsentl´diaEnmoate)ocsntnaleremgee`´epredc´uctrontietne, construire une fonction plateauχrunale`a1suompenies´ittg,efdiendeyitteupq intervalle [A, A]ae´xiopr.ri n III.6. Construiremaintenant une fonction plateau de type positif dansR, identi n quement´egale`a1surunebouleBRiarrortnriudeea´eiopr(oriounp()0xχ,o`u χest une fonction plateau surR). IV.gu´eRnotisarila n Soitχune fonction plateau de type positif surR´tgela`eituqmene,enida1surla bouleB1(0), identiquement nulle endehors de la bouleB2(0) (On pourra admettre lexistencedecettefonctionsilonnapastrait´elasectionpre´c´edente.)
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