Examen mathématique du 12 juin Duree 2h Sujet A

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Examen du 12 juin 2006 - Duree 2h - Sujet A Aucun document ni instrument de calcul n'est autorise. Exercice II (7 points) Les reponses aux questions qui suivent doivent etre completement justifiees. II-1. Soient F et G deux sous-espaces d'un espace E. L'implication suivante est-elle vraie ? dim(F ) + dim(G) = dim(E) =? F ? G = E Reponse. Non. Prendre F = G une droite de R2. II-2. La matrice M = ? ? 1 ? √ 2 0 0 1 √ 2 0 0 1 ? ? est-elle diagonalisable ? Reponse. Non. N'ayant que 1 pour valeur propre, si M etait diagonalisable, elle serait semblable a I 3 . Ce qui conduit a : M = P?1.I 3 .P = I 3 . II-3. Est-il vrai qu'une matrice inversible reelle est trigonalisable ? Reponse. Non, il su?t de trouver une matrice inversible dont le polynome caracteristique n'est pas scinde. Par exemple : ( 0 1 ?1 0 ) . Remarque. Cette matrice represente dans la base canonique la rotation r definie par r(e 1 ) = ?e 2 , r(e 2 ) = e 1 .

  • matrice complexe de polynome caracteristique ?

  • matrice represente dans la base canonique

  • polynome caracteristique

  • egalite precedente


Publié le : jeudi 1 juin 2006
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Source : math.unice.fr
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Examendu12juin2006-Dur´ee2h-SujetA
Aucundocumentniinstrumentdecalculnestautorise´.
Exercice II (7 points) Lesr´eponsesauxquestionsquisuiventdoiventˆetrecompl`etementjustie´es. II1. SoientFetGdeux sousespaces d’un espaceE. L’implicationsuivante estelle vraie ? dim(F) + dim(G) = dim(E) =FG=E
2 Re´ponse.Non. PrendreF=Gune droite deR.   12 0   II2. LamatriceM1 2= 0estelle diagonalisable ? 0 01 Re´ponse.Non. N’ayantque 1 pour valeur propre, siMraitet´e,elleseanilaslbiadtaiog 1 semblablea`I3:`aitduonciuqeC.M=P .I3.P=I3. II3.Estilvraiquunematriceinversibler´eelleesttrigonalisable? R´eponse.Nusli,novuortedtomnˆarect´aciseruqiteerunematriceinvesrbielodtnelopyl   0 1 nestpasscinde´.Parexemple:. 1 0 Remarque.Cettematricerepre´sentedanslabasecanoniquelarotationreniepard´ r(e1) =e2,r(e2) =e1. Ils’agit d’une application bijective.SiMerttiate´alisigon,ellable 2 poss`ederaitunvecteurpropre.OraucunvecteurnonnuldeRperaaloratitnonestenvoy´rsur la droite qu’il dirige. II4. SoitMecarnˆompolyxedepmelecoctairnumeuqite´tcasireχM(X)est 3 X4X. La matriceMestelle inversible ?Diagonalisable ? R´eponse.XdiviseχM, donc 0 est valeur propre et doncMlicaeappasunntepitnorperese´en injective. Ona :χM(X) =X(X2)(XLes trois valeurs propres de+ 2).Msont distinctes, doncMest diagonalisable. 3 II5.Mˆemesquestionsquepr´ec´edemmentavecχM(X) =X+ 4X. Re´ponse.XdiviseχM, donc 0 est valeur propre et doncMerene´rpacitnouneapplisentepas injective. Ona :χM(X) =X(X2i)(X+ 2i). Lestrois valeurs propres deMsont distinctes, doncMest diagonalisable surC. EnrevancheMn’est pas diagonalisable surR, puisqu’en tant 3 quematricer´eelleSpec(M) ={0}et queMn’est pas la matrice nulle (sinonχM(X) =X). II6.Lesmatricescomplexessuivantessontellesdesmatricesquirepre´sententle 3 3 mˆemeendomorphismedeC(chacune sur une certaine base deC) ?    π π ei π1πsine    A=cos(ln(π)) 2ietB= 12icos(ln(π)) lnπ e e e π πi2e πi Re´ponse.Nayaaptnˆesmtrmee,acsdce.selbalbmessapntsoneesriatxmeu II7. Deuxmatrices2×2tearˆmmeoitnuqremegnatnanˆmteetd´mier,mcemeˆe sontelles semblables ?    1 11 0 R´eponse.Non, par exemple :et 0 10 1
Exercice III (7 points)   3 1 Onconsid`erelamatriceA=, 1 3 III1.V´erierleth´eor`emedeCayleyHamiltonsurA. 2 2 Re´ponse.χA(X) =Xtr(A)X+ det(X) =X6X:euqr8+I.gitdlsarieev´e 2 A6A+ 8I2= 0. 2 III2. Trouver unebase deRform´eeousprsrrppoeredevtcueA. R´eponse.Spec(A) ={2,4}. Ayantdeux valeurs propres distinctes,Aest diagonalisable. 2 2 Supposons queAoromisphmerperese´uetndnenfdeRdans la base canoniqueCdeR. Siuest   x un vecteur propre def, on a :f(u) = 2uouf(u) = 4uoordlesceesdonn´.oSeeitnudans la y base canonique.      x xx x Onre´soudM.= 2., ce qui donnex=yetM.= 4.donnex=y. On y yy y 2 poseu= (1,1) etv= (1,1),B=(u, v) est une base deRe´deofmretruvecepresspro. III3. Trouverdeux matricesPetQinverses l’une de l’autre, et telles queP.A.Q soit diagonale. 1 Re´ponse.SoitPantlsentpr´ecerecee´vatntiiedamlriatBaetrtpa´eudCaal`.ee´virrP   2 0 1 repr´esentealorslidentite´avecCadue´rtpaetBaalivrr`.ee´:anOP .A.P=Δu=`oΔ. 0 4 n n III4. Calculerla trace deA, pour tout entiernN, sans calculerA. n1n n1n n1 Re´ponse.On a :A= (P.Δ.P) =P.Δ.Pu.D`otr(A) =tr(P.Δ.P) =   n 2 0 1n nn nn n tr(P .P.Δ )=tr(Δ ). OrΔ =. Finalementtr(A) = 2+ 4. n 0 4 nIII5. CalculerApour tout entiernN. n n1 R´eponse.On calculeA=P.Δ.P.
Exercice IV (6 points)
IV1. OnposeF={(un)NE|∀nN, un+2=un+1+ 2un}. MontrerqueFest un sousespace vectoriel deE. Re´ponse.0Ee.llnuteuiastlesIlsagitbiendune´´lmenedteF. SiuF, on a : un+2=un+1+ 2unpour toutnet donc quel que soitλR,λun+2=λun+1+ 2λun. Comme 2u= (2un)nNe´l,pe´tilage2detnuqtice´rede´uFemmˆnmeoDe.nortqeeuu+Evest dansF lorsqueu, vF.
2 IV2. Onnotef:FRndioaticplaplreiape´nf((un)nN) = (u0, u1). Montrer quefnadtledamineisnond´eduireunmajoreerijnititceE.evedelistean´F. Re´ponse.On a :λ.u+v= (λ.u0+v0, λ.u1+v1,∙ ∙ ∙u`,do)f(λ.u+v) = (λ.u0+v0, λ.u1+v1) = λ.f(u) +f(v). ker(f) ={uF;u0=u1= 0}si. Oru0=u1= 0 etuFe,rpcnera´rceru un= 0,nN, ieu= 0F, et doncF´edeejnivitctsectjeitivDee.inlfondeitqu´edu 2 dim(F)dim(R) = 2.
IV3. Endiagonalisant une certaine matrice2×2,calclurelxerpseisnoeng´ra´ele dun´ele´mentdeFen fonction deu0, u1etn.      un+21 2un+11 2 R´eponse.Soit= .On aA= .Spec(A) ={−1,2} un+11 0un1 0    1 01 2 11 DiagonalisonsAa :. OnA=P.Δ.P,`oΔu=P= etP= 0 21 1
     12unu1u1 n1n1 1/=D’autre part :3 .A=P.Δ.PL.erpae`imilerengde 1 1un1u0u0   nu1 1 la matriceP.Δ.Pfournit ainsi une expression deundu type :un=an.u0+bn.u1. Ce u0 quid´ecrittouteslessuitesdeF.
IV4. Donnerune base deF. Re´ponse.En faisantu0= 1, u1pressiondanslexeled,0=´gnee´aruiostueaqale`´euvtorn pre´ce´dente,onobtientquelasuitedeF1(ranaptnec¸ocmm,0) est (an) et en faisantu0= 0, u1= 1, danslexpressiong´en´eraledeuee´vuortseuqala`´eprontiteenedc´tbeio,onlesatnuqdeuiteF commen¸cantpar(0,1) est (bndeux suites forment une famille libre de). CesF, car (an) et (bn) sontnonproportionnelles(ellesnelesontpassurleursdeuxpremierstermes).Dapre`slaquestion I V.2 il s’agit bien d’une base deF.
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