Exemples d'espaces vectoriels

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Exemples d'espaces vectoriels Dedou Octobre 2009

  • regle d'explicitation pour l'operation externe

  • point aux points

  • structure d'espace vectoriel

  • operation externe

  • operation interne

  • multiplication des reels


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
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Source : math.unice.fr
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Exemples
despaces
D´ed ou
Octobre
2009
vectoriels
R comme espace vectoriel
La structure standard d’espace vectoriel sur R estconstitu´ee comme suit
Comme origine, on prend 0, commeope´rationinterneonprendladditiondesre´elset commeop´erationexterneonprendlamultiplicationdesre´els (quisetrouveeˆtreinterne...).
Exo Formulezlesseptproprie´te´squiexprimentquecesingre´dients constituent bien une structure d espace vectoriel.
Une autre structure d’espace vectoriel sur R
Au lieu de prendre 0 comme origine, on va prendre 2, et on va ~ ~ ~ de´nirlasomme S de M et N par la condition OS = OM + ON , autrementdit,aveclesnotationse´videntes s 2 = m 2 + n 2 . Notre structure exotique d’espace vectoriel sur R estconstitu´ee comme suit
Comme origine, on prend 2, commeop´erationinterneonprend( m , n ) 7→ m + n 2 commeop´erationexterneonprendlamultiplicationdesre´els (qui se trouve ˆtre interne...) e .
Exo D´emontrezlesseptproprie´te´squiexprimentquecesingre´dients constituent bien une structure d’espace vectoriel.
Exemple : les fonctions
Onconside`reiciunensemble X (comme exemple, on peut penser `a R ),etlensemble,note´ R X ou encore X R , des fonctio ` ns a valeursr´eellessur X .
Cet ensemble X R est l’ensemble sous-jacent d’un espace vectoriel standard qu on va expliquer.
Ici ”standard” signifie que c’est cette structure que les math´ematicienssous-entendentquandilsparlentdecombinaisons lin´eairesetdelin´earite´`aproposduntelensembledefonctions.
La structure d’espace vectoriel sur les fonctions
Voici la structure standard d’espace vectoriel sur X R :
comme origine, on prend la fonction identiquement nulle : x 7→ 0 ; commeope´rationinterne,onprendladditionpointpar point” :
( f , g ) 7→ ( x 7→ f ( x ) + g ( x ));
cela signifie que ( f + g )( x ) s’explicite en f ( x ) + g ( x ) ; commeope´rationexterne,onprendlamultiplicationpoint par point” :
( λ, f ) 7→ ( x 7→ λ. f ( x )) .
Exo Ecrivezlar`egledexplicitationpourlop´erationexterne.
Associativite´deladditiondesfonctions
A prouver : f , g , h X R , ( f + g ) + h = f + ( g + h ) .
Soient donc f , g et h trois fonctions quelconques sur X .Le´galit´e`a ’ xplicite en prouver s e x X , (( f + g ) + h )( x ) = ( f + ( g + h ))( x ) .
Soit donc x une´le´mentquelconquede X .Ona,parde´nitionde notre addition : (( f + g ) + h )( x ) = ( f + g )( x ) + h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) etdemˆeme ( f + ( g + h ))( x ) = f ( x ) + ( g + h )( x ) = f ( x ) + g ( x ) + h ( x ). Lesdeuxexpressionssontbiene´gales. Cqfd.
Exo Prouvezlacommutativit´edeladditiondesfonctions.
Suites, vecteurs, matrices
En prenant pour X l’ensemble N des entiers naturels, on obtientlespacevectorieldessuitesnume´riques. En prenant pour X l’intervalle [1 .. n ] de N , on obtient l’espace vectoriel des vecteurs de R n . En prenant pour X le produit [1 .. p ] × [1 .. q ] de deux intervalles de N ,onobtientlespacevectorieldesmatricesa` p lignes et q colonnes.
Lesapplications`avaleursdansunespacevectoriel
Variante : on remplace R par n’importe quel espace vectoriel F ! Voici la structure d’espace vectoriel standard sur l’ensemble X F des applications de X vers F .
comme origine, on prend l’application identiquement nulle : x 7→ 0 ; commeop´erationinterne,onprendladditionpointpar point : ( f , g ) 7→ ( x 7→ f ( x ) + g ( x ));
commeope´rationexterne,onprendlamultiplicationpoint par point : ( λ, f ) 7→ ( x 7→ λ. f ( x )) .
Comme avant, cela signifie que ( f + g )( x ) s’explicite en f ( x ) + g ( x ), et ( λ f )( x ) en λ f ( x ).
Les sous-espaces vectoriels
Lessous-espacesvectorielsorentlafac¸onlaplusstandardde fabriquer de nouveaux espaces vectoriels.
On va maintenant expliquer ce proc´d´ e e.
Ilfautdabordconstaterquelad´enitiondesous-espacevectoriel quonadonn´ee(danselsespacesnum´eriques)se´tendsans changement.
Les sous-espaces vectoriels comme parties
Definition ´ une partie F de l’espace vectoriel V est un sous-espace vectoriel de V si elle ”respecte” la structure au sens suivant (il y a une condition par composante de la structure) :
l’origine de V est dans F ; la somme de deux vecteurs de F est dans F les multiples d’un vecteur de F sont tous dans F .
Les sous-espaces vectoriels comme espaces vectoriels
Soit V un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de V . Jusquici,onnapastroppre´tenduque F est un espace vectoriel. Il est temps ! Voicicommentond´enitsur F la structure d’espace vectoriel induite :
l’origine est celle de V ; l’addition est la restriction de celle de V ; la multiplication est la restriction de celle de V .
Ca veut dire que pour ajouter ou multiplier des vecteurs de F , on oulbie qu’ils sont dans F etonlestraıˆtecommedesvecteursde V .
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