Generalites sur les espaces vectoriels

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Generalites sur les espaces vectoriels 17 fevrier 2010 Ces notes de cours synthetisent ce qui a pu etre aborde en cours. Y figurent des points qui n'ont pas ou ne seront pas abordes stricto sensu, en particulier nombre de demonstrations. Il est vivement conseille de les lire, de les comprendre et de les connaıtre. Pour cela, il faut reperer les points-cles dans chaque demonstration donnee. Dans toute la suite K designe le corps des nombres reels R ou celui des complexes C. I Definition. Exemples 1. Definition d'un K-espace vectoriel Definition 1 Un K-espace vectoriel E est un ensemble E non vide muni d'une addition + + : E ? E ? E (u, v) 7? u+ v et d'une multiplication · par les elements de K · : K? E ? E (?, u) 7? ? · u Les elements de E sont appeles vecteurs et les elements de K des scalaires. L'addition et la multiplication par des scalaires ont les proprietes suivantes. 1. (E,+) est un groupe commutatif. Autrement dit : (a) commutativite ?(u, v) ? E2, u+ v = v + u ; (b) associativite ?(u, v, w) ? E3, (u+ v) + w = u+ (v + w) ; (c) il existe un element neutre note 0E et appele vecteur nul qui verifie : ?u ? E,

  • addition des polynomes et de la multiplication des polynomes

  • multiplication

  • scalaires

  • ?u ?

  • role du vecteur nul

  • combinaison lineaire de la famille


Publié le : lundi 1 février 2010
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G´en´eralit´essurlesespacesvectoriels
15fe´vrier2011
Cesnotesdecourssynth´etisentcequiapueˆtreabord´eencours.Ygurentdespointsquinontpasou neserontpasabord´esstrictosensu,enparticuliernombredede´monstrations.Ilestvivementconseille´deles lire,delescomprendreetdelesconnaˆıtre.Pourcela,ilfautrep´ererlespoints-cle´sdanschaqued´emonstration d ´ onnee. Dans toute la suite K d´esignelecorpsdesnombresre´els R ou celui des complexes C .
ID´efinition.Exemples
1.D´enitiondun K -espace vectoriel D´enition1 Un K -espace vectoriel E est un ensemble E non vide muni d’une addition + + : E × E E ( u, v ) 7→ u + v et d’une multiplication parles´el´ementsde K : K × E E ( λ, u ) 7→ λ u Le´el´ementsde E sontappele´s vecteurs etles´el´ementsde K des scalaires . s Ladditionetlamultiplicationpardesscalairesontlespropri´ete´ssuivantes. 1. ( E, +) est un groupe commutatif. Autrement dit : (a) commutativit´e ( u, v ) E 2 , u + v = v + u ; (b) associativit´e ( u, v, w ) E 3 , ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ; (c) il existe un ´ele´mentneutre note´ 0 E etappel´evecteurnulquive´rie: u E, u + 0 E = 0 E + u = u ; (d)Toute´le´ment u de E poss`edeunsym´etriqueouoppose´note´ u : u E, v E : u + v = v + u = 0 E . 2. La multiplication parlesscalairesv´erie (a) u E, 1 u = u ; (b) ( α, β ) K 2 , u E, α ( β u ) = ( α β ) u ; (c) ( α, β ) K 2 , u E, ( α + β ) u = α u + β u ; (d) α K , ( u, v ) K 2 , α ( u + v ) = α u + α v
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PCSI B
Mathe´matiquesLyce´eBrizeux-ann´ee2010-2011
Propri´ete´1 R`egles`aconnaˆıtre 1. u E, 0 u = 0 E ; 2. λ K , λ 0 E = 0 E ; 3. Si λ 6 = 0 et u 6 = 0 E alors λ u 6 = 0 E .Demani`ere´equivalente, λ u = 0 E entraıˆne λ = 0 ou u = 0 E . 4. u E, ( 1) u = u etplusge´ne´ralement λ K , ( λ ) u = λ ( u ) = ( λ u ) . D´emonstration . — 1.Onutiliseuneastucequiintervienttr`essouventdanscetypedepropri´ete´s`a´etablir.Lastuceconsistea` ´crire00+0(e´galite´dans K ) : on trouve e = 0 u = (0 + 0) u. ` Maisonpeut´ecrire(0+0) u dieremment.Alaidedelar`egle2.c.(De´nition1),ontrouve ´ (0 + 0) u = 0 u + 0 u. ` Conclusion. Alaidedesdeuxe´criturespr´ec´edentes,ontrouve: 0 u + 0 u = 0 u. En simplifiant les deux membres par 0 u ,onobtientlapropri´et´e1. 2.Laproprie´t´esobtientdemani`ereanaloguea`lapre´ce´dente.Cettefois-ci,onpartdele´galite´0 E = 0 E +0 E (dans E donc).Jevouslaisselesoindecompl´eterlade´monstration(onutiliseracettefois-cilar`egle2.d, De´nition1). 3.Vueencours:vouspouvezessayerdelaretrouverparvous-meˆmesanslecourssouslesyeux. ´ 4.Etablissonsladernie`reproprie´t´e.Ilsagitd´etablirque( 1) u + u = 0 E .Pouryarriver,onvae´tablir unes´eriede´galit´ea`laidedesre`glesdelaDe´nition1etdespropri´ete´se´tabliesci-dessus. On a tout d’abord ( 1) u + u = ( 1) u + 1 u dapre`s2.a..Onaensuite( 1) u + 1 cot u = ( 1 + 1) u dapre`s2.c..Onaenn( 1 + 1) u = 0 u = 0 E dapr`eslaproprie´te´1´etablieci-dessus. Pour ce qui concerne le ´ ´ l ( λ ) u = ( 1 λ ) = ( 1) ( λ u ) = ( λ u ) qui se note aussi cas genera , on a λ u .Jevouslaissetrouverlesr`eglesemploy´eesetlaproprie´t´e( λ ) u = λ ( u )a`e´tablir. 2 Remarque : Nous omettrons dans la multiplication d’un vecteur par un scalaire. Cela donne par exemple : ( α + β ) u = α u + β u ou encore ( α β ) u = α u β u.
2. Exemples Lesexemplesquisuiventsontfondamentauxetsontdonca`connaıˆtreabsolument
Le K -espace vectoriel K n avec n 1Ond´enitsur K n les lo + t de ¸ is e la facon suivante : x + y = ( x 1 + y 1 , ∙ ∙ ∙ , x n + y n ) , ou` x = ( x 1 , ∙ ∙ ∙ , x n ) et y = ( y 1 , ∙ ∙ ∙ , y n ). λ x = ( λ x 1 , ∙ ∙ ∙ , λ x n ) . Celad´enitunestructurede K -espace vectoriel sur K n . Le vecteur nul ,note´0 K n este´gal`a: 0 K n = (0 , ∙ ∙ ∙ , 0) . | {z } n fois 2
PCSI B
Mathe´matiquesLyce´eBrizeux-ann´ee2010-2011
On reconnaˆıtra dans le cas de R 2 et R 3 l’addition habituelle des vecteurs et la multiplication habituelle d’un vecteurparunnombrer´eel(´ecritdansunebaseorthonormeedirectepermettantdidentierleplan,resp. ´ lespa`a R 2 resp.a` R 3 ). ce, , ` A retenir. K est un K -espace vectoriel : l’addition est celle de K , la multiplication par les scalaires, la multiplication habituelle.
Le K -espace vectoriel K [ x ]Rappelonsquunpolynˆome P ( x ) K [ x ]se´crit: P ( x ) = P 0 + ∙ ∙ ∙ + P n x n , o`u n N et P i K pour 0 i n . Si P n 6 = 0, alors n estappel´ele degr´e de P ( x ) et on le note deg( P ( x )). Le k -i`emecoecientde P est le scalaire P k ; P 0 le coefficient constant ; P n o`u n = deg( P ( x )) le coefficient dominant. Par ailleurs P k = 0 si k > n . Parconventionlepolynˆomenul0apourdegre´ −∞ . L’ensemble K [ x ]munideladditiondespolynoˆmesetdelamultiplicationdespolynˆomesestunanneau. Rappelons que si P ( x ) = P 0 + ∙ ∙ ∙ + P n x n et Q ( x ) = Q 0 + ∙ ∙ ∙ Q m x m , on a P ( x ) + Q ( x ) = ( P 0 + Q 0 ) + ∙ ∙ ∙ + ( P ` + Q ` ) x ` , ou` ` = max( n, m ) . n + m P ( x ) Q ( x ) = P 0 Q 0 + ( P 1 Q 0 + P 0 Q 1 ) x + ∙ ∙ ∙ + ( P k Q 0 + ∙ ∙ ∙ + P 0 Q k ) x k + ∙ ∙ ∙ + P n Q m x . Ond´enitunestructurede K -espace vectoriel sur K [ x ]enprenantladditiondespolynˆomescommeloi+ et la multiplication par un polynˆ tant comme loi : ome cons P ( x ) + Q ( x ) = ( P 0 + Q 0 ) + ∙ ∙ ∙ + ( P ` + Q ` ) x ` , o`u ` = max( n, m ) ; n λ P ( x ) = ( λ P 0 ) + ( λ P 1 ) x + ∙ ∙ ∙ + ( λ P n ) x . Le polynˆomenul jouelerˆoledu vecteur nul .
Le K -espace vectoriel F ( X, K ) X de´signeunensemblequelconque:cepeut-eˆtreunintervalle I de R comme l’ensemble N des entiers naturels. Onde´nituneaddition+d¸ e la facon suivante : f + g : X X x 7→ f ( x ) + g ( x ) Lapplicationnot´ee f + g estdonccellede´niepar( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ). ¸ Delamˆememani`ere,onde´nitunemultiplication par les scalaires de la facon suivante : λ f : X X x 7→ λ f ( x ) Onpeutv´erierquonde´nitainsiunestructurede K -espace vectoriel sur F ( X, K ). L’application identique-ment nulle jouealorslerˆoledu vecteur nul . Enparticulierlensembledessuitesre´elles F ( N , R )(aussinote´ R N ) est un R -espace vectoriel. Son vecteur nulestlasuiteconstante´egale`a0.
II Sous-espaces vectoriels
E d´esigneun K -espacevectorielx´e.
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