GRANDEURS ET NOMBRES L'HISTOIRE EDIFIANTE D'UN COUPLE FECOND

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5GRANDEURS ET NOMBRES L'HISTOIRE EDIFIANTE D'UN COUPLE FECOND Jean-Pierre FRIEDELMEYER Irem de Strasbourg REPERES - IREM . N° 44 - juillet 2001 Le lecteur peut d'emblée être surpris, voire dérangé par un tel titre s'appliquant à des concepts mathématiques. Pourtant c'est bien une histoire édifiante que je veux vous raconter, mais en donnant au mot « édi- fiant » le double sens étymologique du mot d'origine latine Aedificare qui signifie à la fois : construire, lequel a donné édifice, et : éduquer, porter à la vertu, ce qui est le sens gardé couramment par le mot « édifiant » .
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REPERES - IREM . N° 44 - juillet 2001
GRANDEURS ET NOMBRES
L’HISTOIRE EDIFIANTE
D’UN COUPLE FECOND
Jean-Pierre FRIEDELMEYER
Irem de Strasbourg
Ce texte est celui d’une conférence donnée à Rennes lors du 13ème colloque Inter-Irem Epis-
témologie et histoire des mathématiques ; (6 au 8 mai 2000).
Le lecteur peut d’emblée être surpris, Une grande partie des mathématiques
voire dérangé par un tel titre s’appliquant à s’est effectivement édifiée (construite) sur la
des concepts mathématiques. Pourtant c’est relation qu’ont entretenue les grandeurs et les
bien une histoire édifiante que je veux vous nombres, particulièrement par l’intermédiaire
raconter, mais en donnant au mot « édi- de la mesure des grandeurs. L’importan-
fiant » le double sens étymologique du mot ce de cette relation est soulignée par exemple
d’origine latine Aedificare qui signifie à la dans un célèbre livre de Henri Lebesgue inti-
fois : construire, lequel a donné édifice, et : tulé La mesure des grandeurs et dont voici un
éduquer, porter à la vertu, ce qui est le sens extrait de l’introduction :
gardé couramment par le mot « édifiant » .
On retrouve d’ailleurs cette dualité de sens dans Il n’y a pas de sujet plus fondamental : la
le mot « élever » car on élève un monument mesure des grandeurs est le point de départ
mais aussi un enfant lequel, de ce fait, s’appel- de toutes les applications des mathé-
1le fort justement « élève ». Et comme cet matiques et comme les mathématiques
article a pour ambition de relier l’histoire des appliquées ont évidemment précédé les
mathématiques, c’est-à-dire le récit de leur mathématiques pures, la logique mathé-
construction dans le temps à la pédagogie des matique, on imagine d’ordinaire que la
mathématiques c’est-à-dire à la structura- mesure des aires et des volumes est à l’ori-
tion de la pensée des élèves, le terme « édi- gine de la Géométrie ; d’autre part, cette mesu-
fiant » me paraît tout à fait adapté au thème re fournit le nombre, c’est-à-dire l’objet
de cet article.
1 C’est nous qui soulignons.
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même de l’Analyse. Aussi parle-t-on de la Le mérite de Lebesgue est d’attirer notre
mesure des grandeurs dans les trois ensei- attention sur le fait que l’enseignement des
gnements : primaire, secondaire, supérieur ; mathématiques ne doit pas être pensé à l’inté-
le rapprochement de ce que l’on fait dans les rieur et en fonction des seuls programmes et
trois ordres d’enseignements fournit un objectifs de l’un des niveaux, collège, lycée ou
exemple de ces efforts de compréhension université, mais bien plutôt dans une dyna-
d’ensemble, de coordination qui me paraî- mique qui, s’appuyant sur les acquis de l’école
traient pouvoir servir plus efficacement à la primaire, conduit l’élève au lycée puis à l’uni-
formation des futurs professeurs que le tra- versité. Le thème de la mesure des grandeurs
vail exigé d’eux : le fignolage verbal de leçons est en ce sens le plus représentatif d’une
2isolées. double transversalité qui doit inspirer conti-
nuellement l’enseignement des mathéma-
Nous en avons souligné trois idées fon- tiques : transversalité verticale qui organise
damentales présentes tout au long de cet les programmes dans une vue d’ensemble
exposé: allant depuis l’école primaire jusqu’au début
de l’université ; transversalité horizontalea) la mesure est le point de départ de toutes
aussi, en ce que le thème de la mesure des gran-les applications des mathématiques,
deurs conditionne directement l’apprentis-
b) elle fournit le nombre, c’est-à-dire l’objet sage des sciences en général, et particulière-
de l’analyse, ment celui des sciences physiques, en ce que
c) elle fournit un exemple de compréhension la physique est expérimentale et que l’expé-
globale pouvant servir efficacement à la rimentation passe par la mesure des grandeurs
formation des futurs professeurs. et leurs variations.
Nous ferons cependant deux réserves au Mais il y a une énorme difficulté, sinon
texte de Lebesgue : l’une qui tient au fait que un paradoxe, pour organiser et penser l’ensei-
l’enseignement a beaucoup évolué en France, gnement de la mesure des grandeurs d’une
spécialement sur la question des grandeurs : manière globale, selon les trois ordres d’ensei-
celles-ci ont totalement disparu de l’ensei- gnement. En effet, dès l’école primaire on est
gnement mathématique universitaire, et amené à demander à l’élève de savoir utiliser
presque aussi du secondaire (notons qu’elles telle ou telle formule de mesure : aire d’un tri-
y ont repris une certaine place avec les nou- angle ou d’un rectangle ; aire d’un disque,
veaux programmes en collège). La raison périmètre d’un cercle ; volume d’un cube, etc.
principale de cette éviction sera donnée ci-des- L’apprentissage de ces formules répond à une
sous. L’autre réserve concerne l’histoire du couple simple nécessité pratique, celle d’un arpenteur,
« grandeurs, nombres », laquelle ne se limi- d’un tonnelier, d’un charpentier, par exemple.
te nullement au problème de la mesure. Une Au collège, le moment est venu d’initier l’élève
histoire élargie peut nous donner des clés de à une activité proprement mathématique,
compréhension des difficultés inhérentes à la c’est-à-dire de raisonnement, de justification,
mesure des grandeurs et peut-être des solu- de démonstration qui dépasse la simple mise
tions à leur enseignement. en forme de faits et de résultats observés ou
expérimentés. Or les formules évoquées ci-des-
2 H. Lebesgue ; La mesure des grandeurs ; rééd. A. Blan- sus restent trop difficiles à démontrer à ce
chard ; 1975 ; p.2.
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niveau, car elles mettent en jeu une gestion de figures standards qui servent d’unités.
du continu et de l’infini qui est le propre de L’association faite par la mesure n’est pas
l ‘analyse enseignée seulement à partir du lycée. une simple correspondance immédiate : il faut
D’où le paradoxe : les calculs d’aires, de en règle générale changer la forme de l’objet
volumes, de grandeurs physiques, si essentiels à mesurer pour la ramener, de gré ou de force
tant en mathématiques qu’en physique, sont à un segment de droite, à des carrés ou à des
renvoyés en classe terminale dans un cours cubes, et nous verrons que la manipulation
alinéa du chapitre Calcul intégral : Exemples des formes, compositions et décompositions
simples d’emploi de calcul intégral pour le précède de très loin dans l’histoire la mesu-
calcul de grandeurs géométriques, mécaniques, re des grandeurs.
physiques. Autrement dit, notre enseigne-
ment des mathématiques considère qu’avant Donc nous insistons d’emblée sur le fait
la classe de terminale il n’a rien à dire , ou il que nous n’allons pas traiter principalement
ne peut rien dire de précis, de rigoureusement de la mesure des grandeurs, cette expression
prouvé, concernant la mesure de figures aussi évoquant une relation entre les grandeurs et
simples que le rectangle, le triangle ou le les nombres déjà constituée, et déjà opératoire.
cercle. Faut-il s’étonner que cet enseigne- Notre exposé souhaite développer avant tout
ment se tourne alors de façon privilégiée vers l’histoire du couple « grandeurs et nombres »,
des activités essentiellement numériques, dans ce qu’elle a pu avoir de problématique
calculatoires et algorithmiques, et très peu vers à différents moments du passé ; comment
des activités de raisonnement ? chacun des termes du couple s’est modifié, enri-
chi au fil de cette histoire, non pas indivi-
Heureusement l’histoire nous apprend duellement et séparément, mais dans sa
que l’étude du couple « grandeurs, nombres » confrontation avec l’autre ; comment le concept
ne se limite pas au problème de la mesure. Dans de nombre s’est élargi grâce à la volonté et la
3sa récente thèse , Olivier Keller a attiré notre nécessité de penser en termes de nombres
attention sur la complexité et l’ambiguïté de une réalité physique appréhendée d’abord en
la relation entre l’origine de la géométrie et termes de grandeurs ; et comment la com-
la pratique de la mesure : préhension de la réalité des grandeurs s’est
approfondie dans l’étude de ce qui fait leur carac-
Si l’on accepte en effet (pour le mot géo- tère le plus spécifique : le continu, et son abou-
métrie) la définition étymologique, la mesu- tissement dans la construction de ce que nous
re des terrains, l’histoire de la géométrie appelons les réels.
commence très tard, probablement au néo-
lithique. Mais il serait parfaitement arbitraire Par l’utilisation du terme de confrontation,
d’accepter cela comme un commencement : nous voulons souligner le fait que la rela-
la mesure au sens le plus simple associe un tion « grandeurs, nombres » n’est ni auto-
nombre à un segment de droite, une surfa- matique ou spontanée, ni régulière, mais
ce ou un volume, et présuppose donc les qu’elle s’est développée dans une certaine
concepts nullement spontanés de droite, tension pouvant impliquer, comme dans l’his-
d’angle droit — carré et cube — et surtout toire ordinaire d’un couple humain, des
moments de crise ou de séparation ; et il y
3 O. Keller ; Préhistoire de la géométrie : la gestation d’une aura dans cette histoire aussi, des enfants
science d’après les sources archéologiques et ethnogra-
phiques, Thèse pour le doctorat de l’EHESS, p. 42
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illégitimes et finalement un véritable divor- Il n’est évidemment pas possible d’en
ce : retracer ici les différentes étapes. Nous nous
limiterons à deux moments particulièrement
Moment de crise, si l’on entend par là, représentatifs de la nature tourmentée des rela-
avec J.T. Desanti, une période marquée par tions entre grandeurs et nombres :
une ouverture de conflits, un remaniement de
principes, un réaménagement de méthodes 1. La découverte des grandeurs incom-
qui accompagnent toujours le « progrès », à condi- mensurables, ou : la déraisonnable inap-
tion d’appeler progrès le triple mouvement titude du nombre à mesurer certaines
d’élargissement des champs opératoires, d’exten- grandeurs.
sion des domaines d’objets, de spécification des
4systèmes d’axiomes 2. L’invention d’une physique mathé-
matique, ou : comment intégrer le chan-
Enfants illégitimes, lorsque l’on pense à tous gement, le mouvement dans les mathé-
ces nombres longtemps refusés en tant que matiques.
nombres, les négatifs, les imaginaires, les sourds,
au point que la solution finalement adoptée au Ces deux moments ont été des temps par-
19ème siècle pour leur reconnaissance nécessi- ticulièrement forts et féconds puisque le pre-
tera un divorce consommé entre grandeurs et mier a donné naissance aux nombres irra-
nombres et la mise à l’écart du concept de gran- tionnels et par là, aux nombres réels ; et le
deur dans la partie dite pure des mathéma- second aux grandeurs variables c’est-à-dire
tiques. Consultez n’importe quel dictionnaire de à l’invention du concept de fonction. L’irrup-
mathématiques d’aujourd’hui, vous n’y trouve- tion même du mot : « irrationnels » pour carac-
rez pas l’entrée « grandeur ». Par contre vous tériser les grandeurs incommensurables,
la trouverez développée sur plusieurs pages témoigne du caractère inattendu et violent de
dans tous les dictionnaires d’avant le 20ème leur découverte. Quant au mot « variables »,
siècle, ou dans le Dictionnaire de mathéma- sa transformation d’adjectif associé à grandeur,
tiques élémentaires de Stella Baruk, qui en a com- en substantif indépendant (comme dans
pris tout l’enjeu pédagogique. l’expression « fonction à une variable ») tra-
duit cette perte de mémoire de son origine non
Comme dans tout couple qui se sépare, il mathématique que nous évoquions plus haut.
est important que celui qui a la garde des enfants Dans les deux cas, tout se passe comme si nous
respecte et entretienne la mémoire de l’absent. étions en présence de traces fossiles , quelque
5La Mémoire des nombres est indissociable chose d’enfoui mais qui garde sous une forme
de la Mémoire des grandeurs, dans la pétrifiée la marque de son origine.
mesure où l’histoire de tous les deux a été liée
étroitement pendant au moins vingt siècles, Présenter l’histoire du couple « gran-
et que c’est cette histoire qui a façonné, enri- deurs, nombres » en ces termes, c’est déjà
chi, approfondi l’un et l’autre. donner une interprétation qui n’est pas neutre.
C’est une (re)construction du passé qui sup-
4 J.T. Desanti ; Une crise de développement exemplaire : la
pose une certaine organisation et une lectu-découverte des nombres irrationnels, in Logique et connais-
sance scientifique, Bibliothèque de la Pléiade, p.439 à 464 re des faits qui nous est plus ou moins per-
sonnelle, qui pourtant s’appuie sur un ensemble5 thème d’un précédent colloque de la Commission Inter -
Irem d’histoire et d’épistémologie des mathématiques à
Cherbourg (le dixième, en 1994)
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de recherches historiques précises. Soyons son beau livre intitulé : Le sens de la mesu-
7conscients, comme nous le rappelle Claude Lévi- re . Le présent titre de ce paragraphe est un
Strauss dans La pensée sauvage que : peu plus provocateur. Il prend le contre pied
d’un article célèbre des années 1960 du phy-
Le fait historique, n’est pas plus donné que sicien Eugen Wigner intitulé :La déraisonnable
les autres ; c’est l’historien, ou l’agent du deve- efficacité des mathématiques dans les sciences
nir historique, qui le constitue par abstrac- naturelles (The unreasonable effectiveness of
8tion, et comme sous la menace d’une régres- mathematics in the natural sciences ) Ce
sion à l’infini. Ce qui rend l’histoire possible, genre de phrase donne à penser qu’il y a un
c’est qu’un sous-ensemble d’événements se trou- mystère qui plane sur le fait que les mathé-
ve, pour une période donnée, avoir approxi- matiques puissent s’appliquer au réel ; un
mativement la même signification pour un réel déjà donné, de toutes pièces, d’un côté ;
contingent d’individus qui n’ont pas néces- des mathématiques toutes faites, disponibles,
sairement vécu ces événements, et qui peu- de l’autre, et les deux s’emboîtant parfaitement !
vent même les considérer à plusieurs siècles En caricaturant un peu, on aurait donc d’un
6de distance. côté des mathématiciens maniaques qui, pour
leur distraction, fabriqueraient toutes sortes
Possibles, c’est-à-dire s’appuyant sur des de clés sans savoir quoi en faire ; de l’autre
éléments objectifs : traces archéologiques, des physiciens en présence de serrures à
écrits, événements attestés et datés, à partir ouvrir et qui trouveraient, en fouillant bien
desquels se construit une compréhension du dans les trousseaux de clés laissés par les
passé que l’on peut soumettre au crible de la mathématiciens, éventuellement en les limant
discussion critique et permettant de parvenir un peu, toutes les clés nécessaires pour les
9à un accord relatif et précaire sur une vérité ouvrir !
de l’histoire ;
Nous pensons, au contraire, que la ratio-
Précaire, car la découverte de nouveaux nalité est une conquête de la science, une
objets ou documents peut préciser, modifier, construction laborieuse toujours inachevée
voire bouleverser l’idée que l’on se faisait de qui tente de mettre en adéquation la pensée
tel ou tel moment de l’histoire, rationnelle abstraite et une réalité concrète
et phénoménale qui lui est a priori étrangè-
Relatif, car, puisqu’il y a interprétation et re. La découverte des grandeurs incommen-
construction d’un espace de significations, celles- surables en est une illustration flagrante,
ci peuvent s’approfondir, s’élargir, s’affiner. qui montre comment la raison humaine, ayant
décelé une inadéquation radicale entre le
nombre et certaines grandeurs, une inaptitude
1. La déraisonnable inaptitude du du nombre dont elle disposait à mesurer cer-
nombre à mesurer certaines gran-
deurs. 7 N. Rouche ; Le sens de la mesure
8 E. Wigner ; Communications on Pure and Applied Mathe-
matics ; XIII (1960) ; 1 - 14 ; cf. La Recherche, n° de janvierNicolas Rouche évoquait déjà le difficile
1999 ; Pourquoi les mathématiques sont-elles efficaces ?
mariage des grandeurs et des nombres dans
9 J’ai emprunté cette image à mon collègue Jacques Har-
thong ; cf. L’Ouvert (revue de l’Irem de Strasbourg) n° 100,6 C.Lévi-Strauss ; La Pensée sauvage ,P. 341
p.16
9REPERES - IREM . N° 44 - juillet 2001
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taines grandeurs, a reconstruit tout l’édifice Et en effet, en suivant l’explication de
10mathématique pour rendre compte de cette JT Desanti :
découverte. Donc le mot « déraisonnable »
renvoie ici , non pas à une étonnante et mys-DC
térieuse adéquation spontanée des mathé-
matiques au réel, mais simplement et bien au
contraire, à la découverte perçue comme
« irrationnelle » d’une inadéquation entre la
conception disponible du nombre et la réali-
té des grandeurs, inadéquation qui se tra-
duit par une impossibilité de mesurer ces
grandeurs au moyen de nombres.
ABCertes, il n’y a aucune trace, aucun texte
historique relatant cette découverte ; il n’y a
que des récits postérieurs à l’événement lui- Soit AC la diagonale d’un carré de côté
même et qui parcourent toute la littérature ABCD. Alors :
grecque, singulièrement Platon et Aristote.
AC—–Mais le fait même d’utiliser un mot aussi fort — ou bien est pensable, en tant que
AB
que celui d’ « irrationnel », témoigne du
rapport de deux grandeurs nettement iden-caractère perçu comme scandaleux de cette
tifiées, et dans ce cas il est alogon en tantdécouverte. Et ces récits utilisent le mot
qu’incalculable ; il n’existe pas de nombres« irrationnel», renvoyant à quelque chose
de déraisonnable, dans un domaine : les AC a—– —entiers a et b tels que = ; mathématiques, réputé être le lieu privilégié AB b
de la raison.
AC—–— ou bien est posé comme calculable, Le mot « rationnel », et sa négation AB
« irrationnel », dérivent du latin « ratio » mais dans ce cas il est alogon impensable en
qui signifie calcul, mais aussi faculté de ce qu’il comporte (selon la démonstration clas-
raisonner. Il reproduit le double sens du mot sique) un dénominateur absurde b , qui est à
grec « logos » qui désigne à la fois ce qui la fois pair et impair. Il y a là un véritable défi
s’exprime par un rapport numérique cal- à la raison, révélant une inadéquation entre
culable, une proportion, et ce qui est pen- la réalité et la pensée de cette réalité en
sable, accessible à la raison et au discours termes de nombres, quelque chose qui dans
rationnel. Donc dans un sens restreint, l’objet de la connaissance dépasse notre enten-
« irrationnel » (alogon) désigne un rapport dement.
qui ne peut se calculer ou s’exprimer comme
rapport de nombres. Mais dans un sens Les mathématiciens grecs auraient
plus large, « irrationnel » indique une pu en rester là et prendre acte de cette
situation qui échappe à la pensée raisonnée inaptitude du nombre à mesurer cer-
et raisonnable, celle qui s’exprime dans un
discours cohérent et rationnel.
10 J.T. Desanti ; Une crise de développement exemplaire :
la découverte des nombres irrationnels.
10REPERES - IREM . N° 44 - juillet 2001
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taines grandeurs. Or s’il y a quelque chose les cercles considérés, c’est-à-dire les éga-
qui continue à fasciner les philosophes et lités :
les historiens des sciences aujourd’hui (il
AC AB—– —–suffit pour s’en convaincre de regarder la = ou
AB AE
littérature existant sur cette question), c’est
qu’ils ont réussi à dépasser cet obstacle
aire cercle [AB] aire cercle [AE]———————– ———————–= ?et à construire une nouvelle rationalité qui,
aire carré ADBC aire carré ABEF
à la fois préserve l’acquis de la relation
« grandeurs, nombres » tel qu’elle était
Ces rapports effectivement non calculablesconstituée depuis des siècles dans la mesu-
seront pourtant « pensés et intégrés à l’universre des grandeurs, mais qui, également
normé des objets maniables » grâce à la célèbre
intègre le caractère non commensurable
et remarquable théorie des proportions dude certaines grandeurs et l’impossibilité
livre V des Eléments d’Euclide, en particulierqui en découle de les mesurer toutes à la
la définition 5 : même unité. C’est pourquoi, dit Desanti :
Il faudra, faute de calculer « l’impen-
Des grandeurs sont dites être dans le
sable », apprendre à penser « l’incalculable »,
même rapport , une première relativement àl’intégrer à l’univers normé des objets
maniables, selon les règles strictes et com-
patibles du « jeu mathéma- E
tique ».
Ainsi dans la figure ci-
contre, je peux facilement
montrer que le rapport des
aires des carrés ABEF et ADBC
est 2 , mais en est - t - il de
même pour les aires des cercles
de diamètres respectifs [AE]
et [AB], et si oui, comment le
BCFdémontrer ?
Par ailleurs, je ne peux
exprimer par un rapport de
nombres (entiers) le rapport
O
AC
—– , ni le rapport des aires
AB
des cercles à leurs diamètres
respectifs ; vais-je être obligé
pour cela de renoncer à démon-
DAtrer l’invariance de ces rapports,
quels que soient les carrés ou
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23 45 6789 10 11 12 13 14 15 16 17
b1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12
a<b<2a<2b<3a<4a<3b<5a<4b<6a<7a < 5b < . . . <14a<10b<15a<11b<16a< 12b < 17a
mais aussi, en considérant un autre carré de côté c et de diagonale d :
c<d<2c<2d<3c<4c<3d<5c<4d<6c<7c < 5d < . . .<14c<10d<15c<11d<16c< 12d < 17c
une deuxième et une troisième relativement à a’ = a + ε , (ε > 0). Alors il existe un entier n
une quatrième quand des équimultiples de la tel que nε > b . Soient m, (et n) tels que :
première et de la troisième ou simultanément
dépassent, ou sont simultanément égaux ou (m – 1)b < na < mb ;
simultanément inférieurs à des équimultiples alors :
de la deuxième et de la quatrième, selon
mb < (m – 1)b + nε < na + nε = na’. n’importe quelle multiplication, chacun à cha-
11cun, [et] pris de manière correspondante.
On a donc na < mb ; mais mb< na’ ; il y a tôt
ou tard une inversion de l’ordre des multiplesCette définition est difficile à comprendre
de a et b d’une part, de a’ et b de l’autre.pour des esprits modernes habitués à l’usage
du formalisme algébrique. Le mathématicien
Dans les suites d’inégalités ci-dessus,et logicien anglais De Morgan en donne l’illus-
nous en avons souligné deux : 7a < 5b ettration plus accessible suivante, en désignant
12b < 17a, qui nous donnent un encadrementpar a, b, c, d les quatre grandeurs. On aura,
du rapport des deux grandeurs, sous la forme :
a c
– –en notation moderne : = si et seulement 7 b 17b d –< < – ––.
5 a 12
si la suite des multiples de a et b est rangée
Mais bien entendu, chacune des inégalitésexactement de la même manière que celle
donnerait une approximation de ce rapport,des multiples de c et d, comme, par exemple
soit par excès soit par défaut.pour le rapport du côté a d’un carré à sa dia-
gonale b (cf. schéma en haut de page).
Ce qui montre toute la richesse de la défi-
nition d’Euclide, laquelle est d’abord des-Ces suites d’inégalités sont caractéris-
criptive, mais contient aussi un aspect algo-
a c rithmique. Celui-ci est repris et développétiques du rapport des grandeurs – ou – .
b d dans le livre X des Eléments, avec les propo-
12Supposons, en effet, que a soit remplacé par sitions 2 et 3 que voici :
11 Euclide Les Eléments Livre V, traduction B. Vitrac, PUF, 12 Ibid. Vol.3, p. 94 et 95
vol. 2 , p. 41
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Euclide X 2 G = gq + R avec q nombre entier 1 1 1
Si, de deux grandeurs inégales {proposées} la et R grandeur ,1
plus petite étant retranchée de la plus gran- R < g1
de de façon réitérée et en alternance, le dernier g = R q + R avec q nombre entier1 2 2 2
reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les et R grandeur ,2
grandeurs seront incommensurables. R < R2 1
.....................Euclide X 3
Etant données deux grandeurs commensu-
R = R q + R avec q nombre entiern–2 n–1 n n nrables, trouver leur plus grande commune
et R < Rn n–1mesure.
Le parallélisme est flagrant entre ces G > g > R > R > ... > R > R1 2 n–1 n
deux propositions du livre X et les propo-
sitions VII 1 et 2 du livre VII concernant les • ou bien il existe n tel que R soit nul (etn13nombres : R non nul) ; alors G et g sont commensu-n – 1
rables et R est une commune mesure.n – 1Euclide VII 1 :
• ou bien un tel n n’existe pas et alors G etDeux nombres inégaux étant proposés et le
g sont incommensurables.plus petit étant retranché du plus grand de façon
réitérée et en alternance, si le reste ne mesu-
re jamais [le reste] précédent jusqu’à ce qu’il
A titre d’exemple « paradigme » voici unereste une unité, les nombres initiaux seront pre-
démonstration de l’incommensurabilité demiers entre eux.
la diagonale d’un carré avec son côté
(voir la figure page suivante).Euclide VII 2 :
Etant donnés deux nombres non premiers
entre eux, trouver leur plus grande commune
Soit AB = AA = a et AC = d ;1mesure.
A C = A B = B B = a1 1 1 1 2 1C’est pourquoi la méthode proposée n’est
évidemment rien d’autre que ce qu’aujourd’hui Puis :
nous appelons algorithme d’Euclide, à cette
A B = A A = A A = a ;nuance près qu’ici il est appliqué aux gran- 2 2 1 2 2 3 2
deurs au lieu de l’être aux nombres. B B = A B = B B = a , etc. 2 3 3 3 3 4 3
Nous la présentons sous la forme moder-
On a : AC = AB + A B = a + a ;1 1 1nisée suivante :
AB = 2A B + A B = 2a + a ;1 1 2 2 1 2
Soient G et g les deux grandeurs ; G > g A B = 2A B + A B = 2a + a ;1 1 2 2 3 3 2 3
A B = 2A B + A B = 2a + a ;2 2 3 3 4 4 3 4
13 Ibid. Vol. 2 p. 290 et 291. A B = 2A B + A B = 2a + a .3 3 4 4 5 5 4 5
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L’HISTOIRE EDIFIANTE…
CD
A a2 3
a2 B2
A1
a1
a
B1
AC 41
–– ––Si l’on considérait A B = a comme et donnerait le rapport : = . Mais jus-5 5 5 AB 29négligeable (hors de notre pouvoir de résolu-
tion visuelle), on aurait : tement cet algorithme, confronté aux pro-
priétés géométriques du carré, met en évidence
A B = 2A B = 2a ;3 3 4 4 4 le caractère infini des opérations possibles
A B = 5a ;2 2 4 et de ce fait l’impossibilité de trouver un élé-
ment ultime qui serait mesure commune.A B = 12a ;1 1 4
AB = 29a ;4
Les deux propositions d’Euclide qui sui-
AC = 41a ;4 vent permettent de démontrer dans toute sa
donc A B = a serait une mesure commune rigueur ce caractère infini : 4 4 4
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