Holonomie riemannienne et geometrie algebrique

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Holonomie riemannienne et geometrie algebrique Arnaud Beauville Universite de Nice Grenoble, Septembre 2008 Arnaud Beauville Holonomie riemannienne et geometrie algebrique

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  • transport parallele

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Publié le : lundi 1 septembre 2008
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Holonomie
riemannienne
Arnaud
et
g´eom´etrie
Beauville
Universit´edeNice
Grenoble,
Septembre
Arnaud Beauville
2008
algebrique ´
Holonomieriemannienneetg´eom´etriealg´ebrique
Transportparalle`le
(M,gnneier)ivat´´eieernnma

Arnaud Beauville
transportparall`ele:
Holonomieriemannienneetge´ome´triealg´ebrique
Transportparalle`le
p
ansportparalle`le:
(M,gneennainirmetee´v)´iratr v0EEv1 γq
Arnaud Beauville

ϕγ:Tp(M)Tq
(M)
Holonomieriemannienneetg´eome´triealg´ebrique
Transportparalle`le
p
(M,gennianemri´eeti´v)raen v0
γ
avec

transportparalle`le:
EEv1  q

ϕγ
ϕγϕδ=ϕδγ.
Arnaud Beauville
:Tp(M)Tq −→
(M)
Holonomieriemannienneetge´´trialg´ebri ome e que
Transportparalle`le
p
(M,grivat´´e)nneieeirennam v0
γ
avec

transportparall`ele:
EEv1   q
ϕγ

ϕγ
ϕδ=ϕδγ.
:Tp(M)Tq
Id´ee:γ: [0,1]M, on cherchet7→v(t)Tγ(t)(M)
Arnaud Beauville
(M)
Holonomieriemannienneetge´ome´triealg´ebrique
Transportparalle`le
p
(M,gi´ar´eet)vneennainirme v0
γ
avec

transport parall`le: e
EEv1  q
ϕγϕδ

ϕγ
=ϕδγ.
:Tp(M)Tq
Ide´e:γ: [0,1]M, on cherchet7→v(t)Tγ(
t)(M)
SiM=Rn(euclidien), on imposev˙ (t) = 0 ;
Arnaud Beauville
(M)
Holonomieriemannienneetg´eom´etriealg´ebrique
Transportparalle`le
p
(M,g)´et´variamnnreeieeinn v0
γ
avec

transportparalle`le:
EEv1  q
ϕγϕδ

ϕγ
=ϕδγ.
:Tp(M)Tq
Ide´e:γ: [0,1]M, on cherchet7→v(t)Tγ(
t)(M)
SiM=Rn(euclidien), on imposev˙ (t) = 0 ;
(M)
SiMRn, on imposev˙ (t)Tγ(t)(M) ; e´qua.di.lin´eairedu1erordre,uniquesolutiontqv(0) =v0.
Arnaud Beauville
Holonomieriemannienneetg´eom´etriealge´brique
Holonomie
En particulier,ϕ:{lacets enp}O(Tp(M))
Image =Hp= (sous-)groupe d’holonomie enp
Arnaud Beauville
Holonomieriemannienneetge´om´etriealge´brique
Holonomie
En particulier,ϕ:{lacets enp}O(Tp(M))
Image =Hp
= (sous-)groupe d’holonomie enp
inde´pendantdepse`r(conj`asonpugaiMconnexe).
Arnaud Beauville
Holonomieriemannienneetge´om´etriealg´ebrique
Holonomie
En particulier,ϕ:{lacets enp}O(Tp(M))
Image =Hp
= (sous-)groupe d’holonomie enp
ind´ependantdep(esr`npoca`osiagujnMconnexe).
Pour simplifier, on supposeraM
Arnaud Beauville
simplement connexeetcompacte
Holonomieriemannienneetg´eom´etriealge´brique
Holonomie
En particulier,ϕ:{lacets enp}O(Tp(M))
Image =Hp
= (sous-)groupe d’holonomie enp
ind´ependantdepac`juon(se`siagrpnoMconnexe).
Pour simplifier, on supposeraM
simplement connexeetcompacte
Hpsous-groupe de Lie connexe compact deSO(Tp(M)) (Borel-Lichnerowicz)
Arnaud Beauville
Holonomieriemannienneetg´eom´etriealge´brique
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