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Inégalités Dédou Septembre 2009

  • recette d'inégalité

  • inégalité

  • pi ≤


Publié le : mardi 1 septembre 2009
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In´egalit´es
D´edou
Fe´vrier
2012
In´egalite´svraiesetfausses
Unein´egalite´,comme π e ,
cestu´enonce´,quipeutd n onc
ˆetre
vrai
ou
faux.
I´lite´sstrictesetlarges nega
On distingue soigneusement lesin´egalit´esstrictes,comme2 < 1 et les larges, comme 3 π .
Quels que soient les deux nombres a et b , si a b est vrai, alors b < a est faux
et vice-versa.
Autrement dit :
Lane´gationde a b etlane´gationde a < b
’est b < a c c’est b a .
Recettedine´galit´e:lasomme
1 Prenezdeuxine´galite´slargesdemˆemesens(vraies) 2 ajoutez-lesmembre-a`-membre 3 line´galite´obtenueestencorevraie.
Exemple On a
et
donc aussi
e 3
1 2
e + 1 3 + 2 .
Recettedin´egalite´:encorelasomme
1 Prenezdeuxine´galit´esdemeˆmesens(vraies)dontaumoins une stricte 2 ajoutez-lesmembre-`a-membre 3 line´galit´estricteobtenueestencorevraie.
Exemple On a
et
donc aussi
π > 3
2 2
π + 2 > 3 + 2 .
Recettedin´egalite´:leproduit
1 Prenezdeuxin´egalit´eslargesdemˆemesens(vraies) entre nombres positifs 2 multipliez-lesmembre-`a-membre 3 linegalit´elargeobtenueestencorevraie. ´
Exo 2 Donnezunexemplemontrantquelaconditiondepositivit´enest pas superflue.
Recettedine´galite´:encoreleproduit
1 2 3
Prenezdeuxine´galit´esstrictesdemˆemesens(vraies) entre nombres positifs multipliez-lesmembre-a`-membre lin´egalit´estricteobtenueestencorevraie.
Recettedine´galite´:lequotient
1 Prenezdeuxin´egalite´slargesdesenscontraires(vraies) entre nombres strictement positifs 2 divisez-lesmembre-a`-membre 3 line´galite´largeobtenueestencorevraie(danslesensdes num´erateurs).
Exemple On a π 3 et 2 5 donc aussi 2 π 35 .
Exo 3 a)Donnezunexemplemontrantquelaconditiondepositivit´e n’est pas inutile. b) Donnez un exemple montrant que la condition de sens contraire n’est pas superflue.
Recettedine´galit´epourlesne´gatifs
Les recettes pour produit et quotient ne traˆıtent que les positifs. Quand les signes sont quelconques, si les deux signes sont die´rents,cestbidon.Etface`adeuxne´gatifs,onchangeles signes, suivant la recette :
1 Prenezunein´egalit´e(vraie) 2 changez son sens 3 remplacezlesdeuxnombresparleursoppos´es 4 vousobtenezunenouvelleine´galite´(vraie).
Autrement dit, si a et b sontne´gatifs, pour montrer a b , on montre b ≤ − a .
(Ainsi,onserame`nea`despositifs.)
Recettedin´egalite´:lecube
1
2
3
Prenezunein´egalite´(vraie)stricteoularge
remplacez les deux nombres par leurs cubes
vousobtenezunenouvellein´egalite´(vraie).
Recettedin´egalit´e:lecarre´
1 Prenezuneine´galite´(vraie)stricteoularge entre nombres positifs 2 remplacez les deux nombres par leurs carres ´ 3 vousobtenezunenouvellein´egalit´e(vraie).
Exo 4 Montrezquelaconditiondepositivit´enestpassuperue.
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