Inégalités strictes Cette feuille suppose qu'on a chargé et exécuté la feuille de calcul des polynômes qu'on va utiliser

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Inégalités strictes Cette feuille suppose qu'on a chargé et exécuté la feuille de calcul des polynômes qu'on va utiliser. Tous les exemples du texte sont définies avec des inégalités larges. Que se passe-t-il si on a des inégalités strictes ? Intuitivement on pense que la surface devrait partir à l'infini lorsqu'on s'approche d'un bord qu'on ne doit pas atteindre. C'est le sens de la transformation utilisée dans le théorème 2 qui met les yi représentant les inégalités strictes au dénominateur envoyant donc les points de la surface à l'infini lorsque yi tend vers 0. Essayons de le vérifier dans le cas de l'anneau. On s'intéresse à l'anneau ≤1 +x2 y2 et <+x2 y2 4 . > with(plots): On va utiliser le polynôme P ,1 1 puisqu'on a une inégalité large et une stricte > P[1,1]; y1 2 ? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? ?t 2 x1 1 y1 2 x1 y1 On simplifie à la main > P[1,1]:=((t^2-x[1])*y[1]-1)^2-y[1]*x[1]; := P ,1 1 ?( )?( )?t2 x1 y1 1 2 y1 x1 > p:=subs({x[1]=x^2+y^2-1,y[1]=4-(x^2+y

  • feuille de calcul des polynômes

  • yi représentant les inégalités strictes au dénominateur


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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Inégalités strictes
Cette feuille suppose qu’on a chargé et exécuté la feuille de calcul des polynômes qu’on va utiliser.
Tous les exemples du texte sont définies avec des inégalités larges.
Que se passe-t-il si on a des inégalités strictes ?
Intuitivement on pense que la surface devrait partir à l’infini lorsqu’on s’approche d’un bord qu’on ne
doit pas atteindre.
C’est le sens de la transformation utilisée dans le théorème 2 qui met les
y
i
représentant les
inégalités strictes au dénominateur envoyant donc les points de la surface à l’infini lorsque
y
i
tend
vers 0.
Essayons de le vérifier dans le cas de l’anneau. On s’intéresse à l’anneau
1
+
x
2
y
2
et
<
+
x
2
y
2
4
.
>
with(plots):
On va utiliser le polynôme
P
,
1 1
puisqu’on a une inégalité large et une stricte
>
P[1,1];
y
1
2
-
-
-
t
2
x
1
1
y
1
2
x
1
y
1
On simplifie à la main
>
P[1,1]:=((t^2-x[1])*y[1]-1)^2-y[1]*x[1];
:=
P
,
1 1
-
(
)
-
(
)
-
t
2
x
1
y
1
1
2
y
1
x
1
>
p:=subs({x[1]=x^2+y^2-1,y[1]=4-(x^2+y^2),t=z},P[1,1]);
:=
p
-
(
)
-
(
)
-
-
+
z
2
x
2
y
2
1 (
)
-
-
4
x
2
y
2
1
2
(
)
-
-
4
x
2
y
2
(
)
+
-
x
2
y
2
1
>
D1:=implicitplot3d(p,x=-2.5..2.5,y=-2.5..2.5,z=-2.5..2.5,grid=[3
0,30,30],axes=boxed):
Les deux cercles en gras
>
D3:=spacecurve({[cos(t),sin(t),0],[2*cos(t),2*sin(t),0]},t=0..2*
Pi,color=black,thickness=2):
>
display({D1,D3});
–2
–1
0
1
2
x
–2
–1
0
1
2
y
–2
–1
0
1
2
Ce qui confirme l’intuition.
Si on s’intéresse maintenant à l’anneau
<
1
+
x
2
y
2
et
<
+
x
2
y
2
4
on va utiliser le polynôme
P
,
0 2
puisqu’on a deux inégalités strictes
>
P[0,2];
y
1
2
y
2
2
-
-
-
t
2
y
1
1
y
1
y
2
2
1
y
2
qu’on simplifie
>
P[0,2]:=((t^2-y[1])*y[1]*y[2]-1)^2-y[1]^2*y[2];
:=
P
,
0 2
-
(
)
-
(
)
-
t
2
y
1
y
1
y
2
1
2
y
1
2
y
2
d’où l’équation de la surface
>
p:=subs({y[1]=x^2+y^2-1,y[2]=4-(x^2+y^2),t=z},P[0,2]);
:=
p
-
(
)
-
(
)
-
-
+
z
2
x
2
y
2
1 (
)
+
-
x
2
y
2
1 (
)
-
-
4
x
2
y
2
1
2
(
)
+
-
x
2
y
2
1
2
(
)
-
-
4
x
2
y
2
et les graphiques
>
D1:=implicitplot3d(p,x=-2.5..2.5,y=-2.5..2.5,z=-2.5..2.5,grid=[3
0,30,30],axes=boxed):
>
display({D1,D3});
–2
–1
0
1
2
x
–2
–1
0
1
2
y
–2
–1
0
1
2
Comme la surface part très brutalement vers l’infini, le graphique implicite a du mal à suivre.
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