Introduction a la modelisation bayesienne et utilisation de OpenBugs BRugs

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Introduction a la modelisation bayesienne et utilisation de OpenBugs/BRugs Marie-Pierre Etienne 8 avril 2008

  • modele

  • touche bayesienne

  • differents elements du modele

  • modele binomial en bayesien

  • lien entre estimation classique

  • modele binomial

  • infor- mation contenu dans les donnees


Publié le : mardi 1 avril 2008
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Introduction
a `
la
mode´lisationbaye´sienne OpenBugs/BRugs
Marie-Pierre Etienne
8 avril 2008
et
utilisation
de
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Tabledesmatie`res
1Lemode`lebinomialenbaye´sien 1.1Lemode`lebinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1.2latouchebaye´sienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Misea`jourdelinformation:inf´erencebaye´sienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1Dunpointdevuethe´orique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2Unepremie`resolution:laconjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3Unedeuxie`mesolution:lesalgorithmesdestimation. . . . . . . . . . . . . . . 1.4Quelquesremarquessurlelienentreestimationclassiqueetestimationbay´esienne. . 1.5 Mise en oeuvre du mod`le binomial sous BRUGS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1Quelquespre´liminairesdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.5.2Leschierspoursp´ecierlemode`le. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3Lescriptpoursp´ecierled`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mo 1.6Traitementdesre´sultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1.6.1 Lancer les chaˆınes MCMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1.6.2ObtenirleschaıˆnesMCMCsimul´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1.6.3 Graphiques utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2 Anova 2.1Lesrendementsdemaı¨s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2Lanalysedelavariancea`deuxfacteursclassique. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2.3Lanalysedelavariance`adeuxfacteursdanslecadrebay´esien. . . . . . . . . . . . . 2.4ANOVAbay´esiennedepuisR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2.5Constructiondunprior`apartirdesdonn´eeshistoriques. . . . . . . . . . . . . . .. . 2.6Attention:prioreteetal´eatoirenontpaslemˆemesens!!!. . . . . . . . . . . . . . 3 Annexes 3.1 Installer le package BRugs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Avec une connexion internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2Apartirdunr´epertoirelocal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Rappelsurquelquesloisdeprobabilite´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Lois continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.2.2Loisdiscre`tes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
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5 5 5 7 7 8 8 8 9 9 9 10 11 11 11 12 15 15 16 18 21 23 27 31 31 32 33 34 34 36
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TABLE
DES
MATI
` ERES
Chapitre 1
Lemod`elebinomialenbay´esien
Contents 1.1Lemod`elebinomial 5. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2latoucheb´esienne 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ay 1.3Mise`ajourdelinformation:inf´erencebaye´sienne 7. . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quelques remarques sur le lien entre estimation classique et estimation baye´sienne 8. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5Miseenoeuvredumode`lebinomialsousBRUGS. . . . . . .. . . . . . . .  9 1.6 Traitement des resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  11. . . . . . . . . . . ´
1.1Lemod`elebinomial Dansuneparcelle,oncomptelenombredarbresdelesp`eceA.Onr´epe`telope´rationenJparcelles. Onveutmod´eliserceprocessusde´chantillonage. On se place dans une parcelleileepse`puopesuqeunedaarnbtreeecsetdiendc´heapq.Seensiodn´on delespe`cedesesvoisins,onpeutmode´liserlenombredarbredelesp`eceAparuneloibinomialede parame`trespetN. Yi∼ B(Ni, pi) (1.1) avecNile nombre d’arbres de la parcelle,piproportion inconnue d’arbre de type A.la Sionsupposeenprimequetouteslesparcellessonte´quivalentesetquelaproportiondarbres desp`eceAestlamˆemedanstouteslesparcellesalorsonajoutelhypothe`se pi=ppour tous les i (1.2) Ennsionsupposequelesparcellessontind´ependanteslesunesdesautres,lemod`elese´crit i.i.d Yi∼ B(Ni, p) (1.3) Onpeutmettrecemode`lesousformegrapheacycliqueoriente´(DAG)(gure1.1ertıˆrapaapreairfou)p lesde´pendancesentreslesdie´rentse´le´mentsdumod`ele(mod`elegraphique)
1.2latouchebaye´sienne Lavisonbay´esienneconsistea`encodernotreconnaissanceapriorisurlesparam`etresautravers dunedistributiondeprobabilit´esurcelui-ci.Lesdonne´esvontmettrea`jourcetteconnaissanceet donnerontlieua`uneloiaposterioriquicontiendralere´sum´edelaconnaissanceapriorietdelinfor-mationcontenudanslesdonn´ees.Lorsquoncherche`aminimiserleroˆleduprior,cestquonsouhaite 5
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` ´ CHAPITRE 1. LE MODELE BINOMIAL EN BAYESIEN
Fig.ominebelliaD1.1`domudGA
fairedubay´esienobjectifmais,aturparnensitesabel´eaysubjectife`emslesproblprisdansectemocy de decision. (test) ´ Quesait-onsurleparame`trepAeeraddstaespbyrnsoedsrnoointpropitlar´egqui parcelles ?
1.Apeupr`esrien.Cestuneproportiondonccaprenddesvaleurscontinuesentre0et1.onpeut encodercaautraversduneloideprobabibilit´euniformesur[0;1].
2.onauneexperiencedautrese´tudesetonsesouvientquenmoyenneptourne autour de 10% ´ maisavecunecertainevariabilite´.Onde´cidedencodercetteconnaissanceparuneloiBeta.
pβ(1,9)
3.Onsaitdexp´eriencequepeuqeingisaC1.0.utvailneenoyais0.2,etquenmen´dpesaesjma E(p) = 0.1, or sipβ(a, b) alorsE(p) =a/(a+b), doncb= 9aiusnletose´edu.rOnt´ein´egali qui dit queprgtsea`rrdsnurqameneepttusle0.2, i.eP(p >0.2)<0.001, par exemple par dichotomie dansR.
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` ´ ´ 1.3. MISE A JOUR DE L’INFORMATION : INFERENCE BAYESIENNE > a = 1 > 1 - pbeta(0.2, a, 9 * a) [1] 0.1342177 > a = 10 > 1 - pbeta(0.2, a, 9 * a) [1] 0.002669843 > a = 20 > 1 - pbeta(0.2, a, 9 * a) [1] 5.11232e-05 > a = 15 > 1 - pbeta(0.2, a, 9 * a) [1] 0.0003619109 > a = 12.5 > 1 - pbeta(0.2, a, 9 * a) [1] 0.0009762872 Le´quationestv´eri´eepoura= 12.5 etb= 112.5 Pourspe´cierunmod`elebay´esien,ilfautsp´ecierlemode`ledesdonn´eesetposerunpriorsur chacundesparam`etresdecemode`le. 1.3Mise`ajourdelinformation:infe´rencebaye´sienne 1.3.1Dunpointdevuethe´orique On a une information a priori surpatdreutepunteardnnentdeuicontieno´neeqsaptredds l’information surpoitilennselbarolibiest´ndco`esimal.ledruojatuariaatedpsevsrnaisaconesefsanc et de la formule de Bayes : P(A|B) =P(PA(B,B=))P(BP|(AB)P()A).(1.4) Ilsutdadaptercetteformuleanotrecasparticulierdemisea`jourdelaloiduparame`trep. ` Puisqueleparame`trepdestes´euasqitntcemoemel´laeotrirandeuravenuunegY, on va pouvoir unifier les notations. Dans toute la suite le symbole [xaluo(e´tisnedalaergnsi´e]dborplibae´tisnadsle casdiscret)delavariableale´atoireXprise au pointx. Pourmettrea`jourlaconnaissancequonasurpfluaisid´tconlaquerertiane[t´p|y]pp,ae´leiole a posteriori dep, quelle est l’information surpvunaoqunthaacssee´nnodsely. En appliquant la formuledeBayes,onalaformuledemisea`jourduprior [p|y [] =y|[py[]]p] [y|ptvrlastelambseaic]´edavoirobserv´cn:ealrpbobalitiepdlamartr`eauevsecennodsee´nauqp, c’est aussi la loi deysachantp. Laquantite´[yno´neesrv´elesdvoirobseade´tilibaborpatles]yuqleuqsee`maertrdeuaruptloialavp, cequise´critformellementcomme [y] =Z[y|p] [p]dp. p
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