Invariants de type fini des entrelacs et des surfaces dans R3

De
Publié par

Invariants de type fini des entrelacs et des surfaces dans R3 Michael Eisermann Institut Fourier, UJF Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 15 octobre 2008 Expose au seminaire general Institut de Mathematiques de Bourgogne 1/29

  • polynome de jones des entrelacs rubans

  • expose au seminaire general

  • invariants de surfaces plongees

  • invariants quantiques


Publié le : mercredi 1 octobre 2008
Lecture(s) : 23
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 29
Voir plus Voir moins
Invariants de type fini des entrelacs et des surfaces dansR3
Michael Eisermann
Institut Fourier, UJF Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
15 octobre 2008
Expos´eaus´eminairege´ne´ral InstitutdeMath´ematiquesdeBourgogne
1/29
Pl de l’expo ´ an se
1
2
3
4
Invariants de type fini d’entrelacs et de surfaces Invariants de type fini d’entrelacs Invariants de type fini de surfaces De´ terminant et polynoˆ me d’Alexander
LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Le proble` me de Fox :«sliceribbon ?» Le polynoˆ me de Jones des entrelacs rubans Esquisseded´emonstration
The´ orie des invariants de type fini D ´ loppement en invariants de type fini eve Diagrammes en arcs Vers un invariant universel
Questions ouvertes
2/29
Motivation
Th´eoriedesinvariantsdetypeni: Cadreadapt´epour´etudierlesinvariantsquantiques. Proprie´t´espolynomiales,richestructurealg´ebrique.
Inconve´ nient : difficile a` interpre´ ter en termes topologiques
Id´eenaturelle:faireintervenirlessurfaces! Invariantsdesurfacesplonge´esouimmerg´eesdansR3. Interaction avec les entrelacs, obstructions.
Lespremiersr´esultatsconrmentquecestlebonpointdevue.
3/29
§.1
Nœuds et entrelacs Unnœudest un plongement lissef:S1,R3(S3).
1
Unentrelacsest un plongement lissef:n×S1,R3.
Nous les regardons a` isotopie pres. `
Th´eor`eme(Reidemeister1932)
Toutentrelacspeuteˆtrerepre´sent´eparundiagrammeplanaire. ˆ ` Deux diagrammes repre´ sentent le meme entrelacs a isotopie pre` s si et seulementsilssont´equivalentspardesmouvementsdeReidemeister.
/492
§1.E1expmel:lenombredenlacement
Le signe d’un croisementxed´strnipeaε“ ”:= +1etε“ ”:=1. La sommeε(D) =Pxε(x)n’est pas invariant :ε“ ”=ε
D´enition&proposition Pour tout diagramme d’entrelacsDle nombre d’enlacement lk(D21=)Xε(x) xmixte
est un invariant d’entrelacs.
Exemple :lk
= 0 lk
= +1 lk
+ 1
=1.
5/29
§.1
Invariants de type fini Ide´ e :ence´fredafiLv` ´v` ´est une«de´ rive´ e combinatoire».
1
D´eriveesdordresupe´rieur:mhcegnatnemsind´ependants. ´ Formellement : SoitDun diagramme et soitYune famille de croisements. Pour toutXY . aon change de ` D DX
De´ finition (Vassiliev 1990, Goussarov 1991, Birman–Lin 1993) v:LAest de degre´msiPXY(1)|X|v(DX) = 0pour|Y|> m. degr´e0:v` ´v` ´= 0 Exemple:Lenombredecomposantesestdedegr´e0. degr´e1:v` ´v` ´v` ´+v` ´= 0 Exemple : Le nombre d’enlacementlkest de degre´1.
degre´m: les de´ rive´ es d’ordre> ms’annulent, doncvest polynomial. Exemple:invariantsquantiques(de´veloppementens´erieconvenable)
/692
§.1
Surfaces de Seifert
2
The´ ore` me (Seifert 1934, Pontryagin 1930) Pour tout entrelacsLR3irnexeoe´teecefampcoteacnncolisixenuetruse SR3telle que∂S=L.
(a) nœud trivial
(b) nœud de trefle31 `
Genre de Seifertg3(K) := min{g(S)|∂S=K}.
On ag3(K) = 0si et seulement siKest trivial.
(c) nœud de huit41
/792
§1.I2vnaraitnsedsurfacesedytepni
Toute surface de Seifert se pre´ sente par un diagramme en ruban :
Changements de croisement entre rubans :
ou
.
D´enition v:SAest de degre´msiPXY(1)|X|v(DX) = 0pour|Y|> m.
Exemple Lacaract´eristiquedEulerS7→χ(Σ)est un invariant de degre´0.
/892
§1.
Invariants de type fini
2
Proposition SiLvA,L7→v(L)utinvnraaitndnetrelacsdedegr´ees,m, alors SLvA,S7→v(∂S)ravntnaiusedcafrdeesgrde´e,estunim.
Demonstration.Changements de croisements entre rubans : ´
En oubliant la surface on obtient :
et
et
.
.
C’est une somme te´ lescopique de changements de croisements.
Slogan Les invariants de type fini des surfaces englobent tous les invariants de type fini des entrelacs — et beaucoup d’autres invariants encore !
/992
§.1
Forme de Seifert
3
SoitΣrtiaetc)moaptcceonnexeorient´ee.uresunbs(acefa
On aχ(Σ) = 1rkH1(Σ)carH0(Σ) = 1etH2(Σ) = 0. Le moduleH1(Σ) =Zmest libre de rangm= 1χ(Σ).
3
` A tout plongementF: Σ,Ron associe sa forme de Seifert
θF:H1(Σ)×H1(Σ)Z θF(a b) = lk(F(a) F(b)).
Observation Les coefficients deθFnodts´redege1. Led´eterminantdeFe´dtsinerapdet(F) := detˆi(θF+θF)˜. Cestunpolynˆomehomog`enededegr´emdans les coefficients deθF.
Observation L’invariantF7→det(F)´eedestgrdem= 1χ(Σ).
012/9
§.1
Le de´ terminant d’un entrelacs
3
Proposition Le de´ terminantdet(F) = detˆi(θF+θF)˜´dpeneqdeuedneL=F(Σ).
De´ monstration.Invariant par changement de base. On a∂S=∂S0=Lsi et seulement si ces surfaces sontreli´eesparunesuitedechirurgiesdansR3: 0
0
01
θF. . θF=0@B0......0001AC Cecientraıˆnedetˆi(θF+θF)˜= detˆi(θF0+θF0)˜
Remarque L7→det(L)n’est pas de type fini dans le sens de Vassiliev–Goussarov. S7→det(S)est de type fini, vu comme invariant de surfaces.
112/9
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.