Ker et Vect affranchis

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Ker et Vect affranchis Dedou Octobre 2010

  • construction vect

  • espace vector iel

  • rang par gauss

  • vect

  • ker

  • explicitez e1


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Source : math.unice.fr
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Ker et Vect affranchis
De´dou
Octobre 2010
Monotonie
Slogans Plusilyadeg´ene´rateursetplusilyadecombinaisons. Plusilyad´equationsetmoinsilyadesolutions.
La dimension d’un Ker
Rappel On a bien compris que la dimension de Ker(e1,∙ ∙ ∙,emse)atr` enviedˆetrenmtoˆtuquisma,plsteecnru`orest le rang du syste`me.EtonsaitbiencalculercerangparGauss.
Exo 1 Pouri:= 1,2,3, on noteeiseunnocniuxquatrequationale´ x,y,z,t:x+iy+ (i+ 1)zit= 0. a) Expliciteze1,e2,e3. b) Donnez la dimension de deux des trois sous-espaces vectoriels Ker(e1),Ker(e1,e2), et Ker(e1,e2,e3), c) Entre les deux sous-espaces vectoriels Ker(e1) et Ker(e1,e2,e3), lequel contient l’autre ?
Affranchir un Ker
Rappel Re´soudreunsyst`eme(e1,∙ ∙ ∙,emst`eunsyuverctroemsecnodt,) re´soluquialemˆemeKer.
Ad´efautdetrouverunsyste`mere´solu,onseraitd´ej`acontent davoirunsyste`melibre.Lib´ererKer(e1,∙ ∙ ∙,em), c’est le mettre sous la forme Ker(f1,∙ ∙ ∙,fr) avecr= rang (e1,∙ ∙ ∙,em), ou, ce quirevientaumeˆme,(f1,∙ ∙ ∙,fr) libre. Exo 2 Pouri:= 1,2,3, on noteeiiertauqxuanoitaueq´lnuesncon x,y,z,t:x+iy+ (i+ 1)zitbiL0.=ere´reKr(e1,e2,e3).
La construction Vect
Rappel Etantdonn´eunsyst`eme(e1,∙ ∙ ∙,em) de vecteurs d’un espace vector ielE, on note Vect(e1,∙ ∙ ∙,em) ou encore<e1,∙ ∙ ∙,em> lensembledescombinaisonsline´airesde(e1,∙ ∙ ∙,em) :
Vect(e1,∙ ∙ ∙,em) :={λ1e1+∙ ∙ ∙+λmem|λ1,∙ ∙ ∙, λmR}.
On dit aussi que Vect(e1,∙ ∙ ∙,em) est le sous-espace (vectoriel) engendr´epar(e1,∙ ∙ ∙,em).
La dimension d’un vect
Rappel On a bien compris que la dimension de Vect(e1,∙ ∙ ∙,emse)ta`r enviedˆetremnareltoˆtulptsemaisquecg,rme`estsydu (e1,∙ ∙ ∙,em) . Et on sait bien calculer ce rang par Gauss.
Exo 3 Pouri:= 1,2,3, on poseei:= (1,i,i+ 1,i). a) Expliciteze1,e2,e3. b) Donnez la dimension de Vect(e1),Vect(e1,e2), et Vect(e1,e2,e3), c) Entre les deux sous-espaces vectoriels Vect(e1) et Vect(e1,e2,e3), lequel contient l’autre ?
Affranchir un Vect
Libe´rerVect(e1,∙ ∙ ∙,em), c’est le mettre sous la forme Vect(f1,∙ ∙ ∙,fru`o)rest le rang de (e1,∙ ∙ ∙,em), ou, ce qui revient aumeˆme,(f1,∙ ∙ ∙,fr) libre. Exo 4 Pouri:= 1,2,3, on poseei:= (1,i,i+ 1,i). a) Expliciteze1,e2,e3. b)Lib´ererVect(e1,e2,e3).
Repre´sentationsdesous-espacesvectoriels
Onamaintenantquatrefac¸onsdepre´senter,ourepr´esenter,ou n calculer un sous-espace vectoriel deR: comme un Ker comme un Vect comme un Ker affranchi comme un Vect affranchi. Onvaapprendredesm´ethodespourpasserdunerepre´sentation`a une autre.
Commentrepre´sentersous-espacevectoriel
Cequilfauttrouverpourrepr´esenterunsous-espacevectoriel: commeunKer:unsyste`med´equations commeunVect:unsyst`emedeg´en´erateurs commeunKerlib´ere´: unsyst`emelibre(ouminimal)d´equations commeunVectlib´er´e: unsyste`melibre(ouminimal)dege´ne´rateurs.
Exo 5 Donnezunsyst`emelibredege´n´erateursdupland´equations 4 x=z= 0 dansR.
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