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L'Ens. Math. (2) 53 (2007), 153–178. Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives?† Gerald Tenenbaum Abstract. By a self-contained approach, we show that a real valued multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a su?cient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott. 1. Introduction La valeur moyenne d'une fonction arithmetique reelle f : N? ? R est definie, lorsqu'elle existe, comme la limite M(f) := lim x?∞ 1 x ∑ nx f(n). Pour I ? R, ? > 0, k ? N?, designons par M(I) la classe des fonctions arithmetiques multiplicatives a valeurs dans I, par L?(I) la sous-classe de M(I) constituee des fonctions f telles que ?f?? := lim sup x?∞ ( 1 x ∑ nx |f(n)|? )1/? < ∞, et notons Rk(I) la sous-classe de M(I) comprenant les fonctions f telles que fk possede une valeur moyenne. Un cas particulier, representatif du cas general, d'un tres elegant resultat d'Elliott [5] peut etre enonce comme suit.

  • motivation initiale d'elliott

  • application convenable de l'inegalite de holder

  • serie

  • theoreme

  • estimation e?ective

  • technique legere de hildebrand

  • recent travail de mauclaire


Publié le : mardi 19 juin 2012
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L’Ens. Math. (2)53(2007), 153–178.
Remarques sur les valeurs moyennes de fonctions multiplicatives
Ge´raldTenenbaum
Abstract.self-contained approach, we show that a real valuedBy a multiplicative function whose square has a mean-value must itself have a mean value, and we provide a sufficient condition for the vanishing of the latter. This partially extends a theorem of Elliott.
1. Introduction Lavaleurmoyennedunefonctionarithm´etiquere´ellef:NRtseed´e,ni lorsqu’elle existe, comme la limite M(f) :=xlimx1f(n). nx
PourIR,α >0,kN,dpsrangnoe´isM(I) la classe des fonctions arithm´etiques multiplicatives `a valeurs dansI, parLα(I) la sous-classe deM(I) constitu´ee des fonctionsftelles que fα:= lixmsupx1nx|f(n)|α1<, et notonsRk(I) la sous-classe deM(I) comprenant les fonctionsftelles quefk poss`edeunevaleurmoyenne. Uncasparticulier,repr´esentatifducasg´ene´ral,duntre`s´el´egantr´esultat dElliott[5]peutˆetree´nonce´commesuit.Icietdanstoutelasuite,lalettrep d´esigneunnombrepremier. Th´eor`emeA(Elliott).On aR2(R+)R1(R+). De plus, sifR2(R+)et si la s´erie )12 (1·1)pf(pp
diverge, alorsM(f) = 0.
2000 AMS Subject Classification : 11N37. Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.
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Lethe´or`emeprincipaldunr´ecenttravaildeMauclaire[13]´ourtoute enonce que, p fonctionfdeM(R+), si (a) toutes les fonctionsn→f(dn) (d1) appartiennent a`R2(R+), si l’on a
(b)pν2f(ppνν)2<, et si (c) la s´erie (1·1) diverge, alors il existe un sous-ensembleEdeNd1et´siened tel que la fonction1Ef2dte´oclueainfcet,esr´taulomrunneyluneE.elsovaleitde imme´diatementduTh´eor`emeA,mˆemeen´elargissantlhypoth`ese(a)auseulcas d= 1 et en supprimant la condition (b). En effet, sif0 etM(f) = 0, l’ensemble des entiersntels quef(n)> εest de densit´e nulle pour toutε >0. Elliottdonnedans[6](th.19.1)unenouvelled´emonstrationduTh´eore`meA. Les approches de [5] et [6] pr´esentent des diff´erences significatives mais s’appuient essentiellement toutes deux sur la caract´erisation donn´ee par Elliott dans [3] des fonctions deL2(Rp)´ssolevamouranednetue´irueereynnsepu(1)non nulle — un crite`redontlaconditionn´ecessairea´ete´retrouv´eeparuneautrem´ethodedansun travailsubse´quentdeDaboussietDelange[2].Unautre´ele´mentessentieldesdeux preuvesre´sidedanslobtentiondunepropri´ete´dere´gularite´localepourlafonction sommatoire def, soit (1·2)M(x;f) :=f(n) (x0). 1nx
Dans[5],ler´esultatestissudunlemmede[4]reposantsurunth´eore`medethe´orie probabilistedesnombresdˆua`Levin,TimofeevetTuljaganov[12].Dans[6],Elliott arecours,viaunprincipededualit´e,a`lare´solutiondune´equationfonctionnelle approch´ee — voir notamment les chapitres 6 et 10 de [6]. Enfin, dans tous les cas, laformedualedelin´egalit´edeTura´nKubiliusjoueunrˆoleessentiel. Nousnousproposonsicidedonneruneversionplsg´´eraleduThe´ore`meA, u en dans laquelle l’hypoth`ese de positivit´e pourfestno´e´encurpoitraˆler´hcaN.eeerto probablementeˆtreretrouv´ecommeconse´quencedesre´sultatsexpose´sdans[6].Nous noussommesprincipalementattach´eici`apr´esenterunede´monstrationsimpleet autonomeou`lexistencedunevaleurmoyennepourf2sepxettioldee´ecirmetent dans le calcul de la valeur moyenne def— ce qui a constitu´e notre motif initial decuriosite´. Commedanstouteslesapproches,lepointleplusdicileconsiste`ae´tablirla ` n´ecessite´delaconvergencedelas´erie(b).Acetten,nousmettonsen´evidence, paruneme´thodedirecteadapt´eede[9],unenouvellepropri´ete´der´egularite´locale pour les fonctionsx→M(x;f) lorsquefR2(R+luvaioatstneinmo:)e´leisecr´sp que celles de [4] ou [6], mais valable dans un domaine plus vaste. Ce r´esultat, dinte´rˆetpropre,faitlobjetduLemme2.1infra.
1. Cette notion est d´efinie en (2·1)infrae´roelht711.e`em].de[6irVo.
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Bienquecertains´ele´mentsdenotred´emonstrationsoient,in´evitablement,ana-loguesa`leurspendantsdanslapreuveducrit`erede[3],nousnefaisonspasdirecte-mentappel`acere´sultat.Lessimplicationsapport´eesicisontessentiellementdues auLemme2.1etaur´esultattaub´eriene´nonc´eauLemme2.4,quidispense,dansle casdunefonctionpositiveounulle,dunnouvelappel`aunr´esultatdere´gularite´ locale, pour lequel le Lemme 2.1 serait d’ailleurs inadapt´e — voir, par exemple, le chapitre 10 de [6]. Lorsquefprend des valeurs des deux signes, nous exploitons ler´esultatobtenupour|f|, mais une seconde estimation relative au comporte-ment local des moyennes demeure n´ecessaire. Nous pouvons alors nous contenter defaireappela`latechniquel´eg`eredeHildebranddans[10],quifournit,dansun cadremoinsge´ne´ralmaisavecdesd´etailstechniquesbeaucoupplussimples,une estimation analogue `a celles d’Elliott dans [6]. The´ore`me1.1.On aR2(R)R1(R). De plus, sifR2(R)ietealisre´s(1·1) diverge, alorsM(f) = 0.
Sous des conditions sensiblement plus fortes, nous obtenons une forme effective dure´sultat. Th´eor`eme1.2.SoitfR2(R+)telle queM(f2)= 0. On suppose en outre que pf(p)4/p2<et
(1·3)
f(p) logpx(x1). px
Alors on a f(n)xexppx(f(p2)p1)2(x1). nx Posonsτ0(n) :=|τ(n)|/n11/2`ouτnelafonctiondeRaamunaj.noNdsuexgise´d the´ore`messappliquentaucasf=τ0, qui constituait la motivation initiale d’Elliott dans [5]. Nous retrouvons ainsi l’estimation effective donn´ee dans [7] pour la fonction sommatoire deτ0. L’existence deM(τ02)use´r0=roe`hte´emuncltedebre´el` de Rankin [15] ; la convergence depτ0(p)4/p2et la validit´e de (1·3d)e´oclunet desine´galit´esdeDeligne[1]
(1·4)
0τ0(p)2 (p2).
Po ´tablir la divergence de la s´erie (1·1) lorsquef=τ0, nous notons, ainsi qu’il ur e este´tabliparexempledans[6]`apartirduth´eore`medeRankinetdunr´esultatde Moreno et Shahidi [14] concernant la valeur moyenne deτ(n)4, que
{τ0(p)2 p px
1}2= log2x+O(1).
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Compte tenu de (1·4), nous obtenons imm´ediatement la majoration de [7]
(1·5)
nxτ0(n)(logxx)1/18
(x2).
Ainsi qu’il est soulign´e dans [7], un cas particulier de la conjecture de Sato-Tate implique τ0p(p)38πlog2x(x→ ∞). p x ace Il est donc coh´erent de conjecturer que l’exposant118de (1·5) peut ˆetre rempl ´ par 18/(3π)0,15117 et que cette valeur est optimale. Dans [16], Rankin montre que l’on peut choisir pour exposantr:=45190320,06517. Notons qu’il s’agit dumeilleurre´sultatd´eductibledelaseuledonn´eedesmomentslogarithmiques d’ordre 2 et 4 deτ0(pinEetes,`x1ate.2auegt´enemivctpeser,)δagnelad´esi mesure de Dirac au pointa d, la mesure de probabilit´eμ=910δ2/3+101δ2erei´v x2dμ= 1,x4dμ= 2 etxdμ= 1r. Nous pouvons am´eliorer cette estimation en tenant compte des r´esultats de Kim et Shahidi [11] (voir page 194), selon lesquels les moments logarithmiques d’ordre 6 et 8 deτ0(p) valent respectivement 5 et 14. Nous montrons au paragraphe 4 que cela implique
(1·6)
τ0(p)1s} pxp{log2x+O(1)
avec 1027211 (1·7)s=333(6 +21)210+20172115(621)0,11852. 52105
De plus, cette majoration est optimale sous la seule donn´ee des moments d’ordre 2, 4, 6 et 8. Elle fournit imm´ediatement le r´esultat suivant.
Corollaire 1.3.Avec la notation(1·7), on a
(1·8)
nxτ0(n)(logxx)s(x2).
2.D´emonstrationduTh´eore`me1.1 2·1. Lemmes Pour chaque fonction arithm´etiquef, nous posons, avec la notation (1·2),
(2·1)
M(f sup) := limM(x;f)/x. x→∞
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