L'essentiel des developpements limites

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L'essentiel des developpements limites 9 fevrier 2011 I Definition de developpement limite – Condition suffisante d'existence. 1. Ce qu'il est bon de connaıtre sur les « petits o » Dans notre contexte, les fonctions sont etudiees au voisinage d'un point x0 (tres souvent x0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x ? x0)k, k ? N. Il est bon d'avoir toujours en tete le comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x0 (cf figure) Il faut egalement avoir a l'esprit les proprietes suivantes concernant la manipulation des « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f definie au voisinage de x0 est negligeable devant (x? x0)k et on note f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , si f s'ecrit au voisinage de x0 sous la forme : f(x) = (x? x0) k ?(x), ou est definie au voisinage de x0 et verifie lim x?x0 ?(x) = 0. Ainsi f(x) = o x?x0 (1) si et seulement si lim x?x0 f(x) = 0. Propriete 1 Soit f definie au voisinage de x0 ? R. On suppose f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , pour un certain entier k ? N.

  • voisinage

  • puissances de x? x0 d'exposant inferieur

  • sin

  • formule de taylor-young

  • sin ?

  • definie au voisinage de x0 ?


Publié le : mardi 1 février 2011
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Lessentieldesde´veloppementslimit´es
9f´evrier2011
IDe´finitionded´eveloppementlimite´Conditionsuffisantedexistence.
1.Cequilestbondeconnaıˆtresurles « petits o » Dansnotrecontexte,lesfonctionssonte´tudie´esauvoisinagedunpoint x 0 (tre`ssouvent x 0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances ( x x 0 ) k , k N . Ilestbondavoirtoujoursentˆetele comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x 0 (cf figure) Ilfaute´galementavoira`lespritlespropri´et´essuivantesconcernantlamanipulationdes « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f d´enieauvoisinagede x 0 estne´gligeabledevant ( x x k ( x x 0 ) k et on note f ( x ) = x o x 0 0 ) , si f se´critauvoisinagede x 0 sous la forme : f ( x ) = ( x x 0 ) k ε ( x ) , ou` estde´nieauvoisinagede x 0 etve´rielim ε ( x ) = 0 . x x 0 Ainsi f ( x ) = o (1) si et seulement si lim f ( x ) = 0 . x x 0 x x 0
Proprie´te´1 Soit f de´nieauvoisinagede x 0 R . On suppose x x 0 ( x 0 ) k , f ( x ) = o x pour un certain entier k N . Alors 1. si 0 ` < k, alors ( x x 0 ) k = o ( x x 0 ) ` . x x 0 ( x x 0 ) k . 2. λ R , λ f ( x ) = x o x 0 3. ` N , ( x x 0 ) ` f ( x ) = o ( x x 0 ) k + ` . x x 0 Ainsi, devant une expression de la forme ( x x 0 ) `x o x 0 ( x x 0 ) k , onsempresseradele´criresousla forme o ( x x 0 ) k + ` . Dautresproprie´t´essonttoutesaussiimportantes.Lasuivanteestdemploifr´equent x x 0 dans les calculs :
Propri´ete´2 Soient f de´nieauvoisinagedeet´iant y 0 ver f ( y ) = o (( y y 0 ) k ) avec k N y y 0 g de´nieauvoisinagede x 0 etv´eriant lim g ( x ) = y 0 . x x 0 Alors ( f g )( x ) = o (( g ( x ) y 0 ) k ) x x 0
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Un cas 1 d’emploi typique est lorsque g ( x ) y 0 = O (( x x 0 ) ` ) avec ` N . Dans ce cas : x x 0
( f g )( x ) = o (( x x 0 ) k ` ) . x x 0
` Cettesituationserencontrede`sque g admet un D.L. d’ordre n en x 0 avec n N . A retenir donc ... 2.D´enition.Unicite´
D´enition1 Soit f de´nieauvoisinagede x 0 R . On dit que f admet un de´veloppement limite´dordre n au voisinage de x 0 , s’il existe n + 1 nombresre´els a 0 , ∙ ∙ ∙ , a n tels qu’au voisi-nage de x 0 , f se´crive:
f ( x ) = a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a n ( x x 0 ) n + o (( x x 0 ) n ) . x x 0
Onpeutinterpr´eterlade´nitionendisantque f poss`edeunde´veloppementlimite´(D.L.)dordre n au voisinage de 0 si f peutsapprocherdemani`eresatisfaisanteparunefonctionpolynomialededegre´ n . Le « demani`eresatisfaisante » voulant dire avec une erreur « en petit o » de ( x x 0 ) n .
Propri´ete´3 Si f poss`edeunD.L.dordre n au voisinage de x 0 , alors celui-ci est unique. Autrement dit, s’il existe n + 1 nombresre´els a 0 , ∙ ∙ ∙ , a n tels que f ( x ) = a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a n ( x x 0 ) n + o (( x x 0 ) n ) x x 0 etsilexistedanslemeˆmetemps n + 1 nombresre´els b 0 , ∙ ∙ ∙ , b n tels que f ( x ) = b 0 + b 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + b n ( x x 0 ) n + o (( x x 0 ) n ) , x x 0 alors a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , ∙ ∙ ∙ , a n = b n . Lepolynoˆme a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a n ( x x 0 ) n dedegre´ n intervenant dans le D.L. de f d’ordre n est appele´la partier´eguli`ere du D.L.. Quant au o (( x x 0 ) n ) , il s’agit du reste. x x 0
Propri´ete´4 Si f posse`deunD.L.dordre n au voisinage de x 0 , d ´ onne par f ( x ) = a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a n ( x x 0 ) n + o (( x x 0 ) n ) , x x 0 alors f posse`deunD.L.dordre k ( k n ) au voisinage de x 0 et celui-ci est do ´ r : nne pa f ( x ) = a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a k ( x x 0 ) k + x o x 0 ( x x 0 ) k , Ilsutdoncdecoupercequid´epasseetdelemettredansle « petit o » . 1 Lire « grand O » ici.Lesensesta`peupr`esidentique`aceluidelanotationpourlessuites:lequotientestborne´dansun voisinage de x 0 .
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3. Condition suffisante d’existence : formule de Taylor-Young Danslecaso`u f est de classe C n sur un intervalle contenant x 0 , alors f admet un D.L. d’ordre n au voisinage de x 0 etceD.L.estdonn´eparla formule de Taylor-Young :
0 ) k + ∙ ∙ ∙ + f ( n ) ( x 0 ) n + o ( f ( x ) = f ( x 0 ) + f 0 ( x 0 ) ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + f ( k ) k (! x 0 )( x xn ! ( x x 0 ) x x 0 ( x x 0 ) n ) .
Les D.L. d’ordre n de exp , cos , sin , 11+ x , ln(1 + x ) , (1 + x ) α auvoisinagede0,donn´esci-dessous,sont obtenusenappliquantlaformuledeTaylor-Young.Danslesfaits,laplupartdesfonctionsconside´r´eessontde classe C . CesfonctionsaurontdoncdesD.L.a`toutordre! 4. Mise en garde Une fonction peut admettre un D.L. d’ordre n au voisinage de x 0 sanspourautantv´erierlesconditions d’application de la formule de Taylor-Young. Ainsi la fonction f d´eniesur R par f ( x ) = x 3 sin( 1 x ) si x 6 = 0 0 si x = 0 admet un D.L. d’ordre 2 au voisinage de 0 , maisneposse`depasdede´rive´esecondeen0.LeD.L.a`lordre2 de f au voisinage de 0 est : f ( x ) = x o 0 ( x 2 ) . Malgr´etout,ongarderaentˆetelefaitsuivant.
Propri´ete´5 Soit f d´eniesurunintervalle I contenant x 0 et di f posse`deunD.L.dordre n (avec n 1 ) au voisinage de x 0 donne´par f ( x ) = a 0 + a 1 ( x x 0 ) + ∙ ∙ ∙ + a n ( x x 0 ) n + o (( x x 0 ) n ) , x x 0 alors f estd´erivableen x 0 et l’on a f ( x 0 ) = a 0 , f 0 ( x 0 ) = a 1 .
De´monstration . — En x = x 0 , on trouve immediatemment f ( x 0 ) = a 0 . ´ x 0 x 6 = x 0 , leD.L.a`lordre1en x 0 de f conduita` f ( x ) fx ( 0 )= a 1 + o (1) . Dou`: x x x 0 lim f ( x ) f ( x 0 )= a 1 , x x 0 x x 0 puisquunefonctionse´crivantcommeun « petit o de 1 » en x 0 est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers x 0 . Ceci montre que f estde´rivableen x 0 et que f 0 ( x 0 ) = a 1 . 2
IIDe´veloppementlimitedefonctionsusuelles ´
TouslesD.L.donne´sicisontconside´re´sauvoisinagede0 . IlestbondeconnaıˆtrecesD.L.parcoeur(a` lexceptionpeut-eˆtredeceluidetanetdethquevousdevezparcontresavoirretrouverrapidement).Encas d’oubli, il faut savoir les retrouver rapidement. Nous reviendrons sur l’obtention de certains d’eux plus loin.
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exp x = 1 + ∙ ∙ ∙ + xk k ! + ∙ ∙ ∙ + xn ! n + x o 0 ( x n ) . ch x = 1 + x 4 2 + ∙ ∙ ∙ +( x 2 2 k k )! + ∙ ∙ ∙ +(2 x 2 n n )! + x o 0 ( x 2 n +1 ) x 3 x 2 k +1 x 2 n +1 sh x = x + 6 + ∙ ∙ ∙ +(2 k + 1)! + ∙ ∙ ∙ +(2 n + 1)! + x o 0 ( x 2 n +2 ) h x 3 2 x 5 5 1371 x 5 7 + x o 0 ( x 8 ) . t x = x 3+1 2 cos x = 1 x 2 + ∙ ∙ ∙ + ( (12) k k ) x ! 2 k + ∙ ∙ ∙ + ( (12) n n )! x 2 n + x o 0 ( x 2 n +1 ) . x 3 sin x = x + ∙ ∙ ∙ + ( (21 k ) k + x 2 1 k ) + ! 1 + ∙ ∙ ∙ + ( (21) n + x 2 1 n )! +1 + x o 0 ( x 2 n +2 ) . 6 n x 3 2 x 5 5 +1371 x 5 7 + o 0 ( x 8 ) tan x = x +3+1 x . 11+ x = 1 x + x 2 + ∙ ∙ ∙ + ( 1) k x k + ∙ ∙ ∙ + ( 1) n x n + o 0 ( x n ) . x arctan x = x x 3 3 + ∙ ∙ ∙ + ( 21 k ) k + x 2 1 k +1 + ( 12) n n x + 2 1 n +1 + x o 0 ( x 2 n +2 ) . ∙ ∙ + ln(1 + x ) = x x 2 2 + ∙ ∙ ∙ + ( 1) k k 1 x k + ∙ ∙ ∙ ( 1) n 1 x n + o ( x n ) . + n x 0 α (1 + x ) α = 1 + α x + ( α 2 1) x 2 + ∙ ∙ ∙ + α ( α 1) ∙ ∙ ∙ n !( α n + 1) x n + x o 0 ( x n ) . Remarque : 1. On pourra remarquer que le D.L. de certaines fonctions ne fait intervenir que des puissances paires de x (resp. que des puissances impaires de x ).Cecir´esultedufaitquelesfonctionsconside´re´essontpaires (resp. impaires). Laraison`acelaesttre`ssimple.Si f est paire, par exemple, alors f ( x ) = f ( x ) . MaisleD.L.a`lordre n en 0 appliqu´e`a x conduitalorsa`
f ( x ) = f ( x ) = a 0 a 1 x + a 2 x 2 + ∙ ∙ ∙ + ( 1) k a k x k + ∙ ∙ ∙ ( 1) n a n x n + o 0 ( x n ) . x
On obtient donc un « autre » D.L.`alordre n en 0 de f. Parunicit´eduD.L.,ilenre´sulteque a k = ( 1) k a k pour 0 k n. Si k estimpair,celaentraıˆne a k = 0 . Voila pourquoi n’interviennent que des puissances paires dans la partiere´guli`ereduD.L.a`lordre n en 0 d’une fonction paire. 2. Ne pas croire que ceci reste valable pour le D.L. en un autre point que 0 . Parexemple,leD.L.a`lordre 3 en 4 π de sin est le suivant : sin( x ) = 1 / 2 2 + 1 / 2 2 ( x 1 / 4 π ) 1 / 4 2 ( x 1 / 4 π ) 2 1 / 12 2 ( x 1 / 4 π ) 3 + x o 4 π ( x 1 / 4 π ) 3 . Exercice. 1. Donner le D.L. d’ordre 1 , 2 , ∙ ∙ ∙ , n de (1 + x ) 2 au voisinage de 0. 2. Quel est le D.L. d’ordre k auvoisinagede0dunpolynoˆmededegr´? e n 3. Donner le D.L. d’ordre 2 n + 1 de (1 + x ) cos x. Au passage, on retrouve le fameux sin θ θ des physiciens lorsque θ estpetit.Eneet,cecire´sulteduD.L. desin`alordre1auvoisinagede0: sin θ = θ + o θ 0 ( θ ) .
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