La categorie des foncteurs

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La categorie des foncteurs Transformations naturelles Dedou Janvier 2010

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Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Lacat´egoriedesfoncteurs
Transformations naturelles
D´edou
Janvier 2010
Lacate´goriedesfoncteurs
Plan du chapitre
1
Lacate´goriedesfoncteurs
Lacate´goriedesfoncteurs
A quoi bon ?
Des fois, on tombe sur des foncteurs qui se ressemblent. C’est quilssontisomorphesdansunecate´goriedefoncteurs.
Exemple:onconside`reunensembleB, le foncteurF:EnsEns quia`XassocieB×Xet celui,Gqui`aXassocieX×B. Exercice a)Quefaut-ilfairea`cetendroit? b) Faites-le !
Cesdeuxfoncteursseressemblentsanseˆtree´gaux.Onvalesrelier par un isomorphisme de foncteurs.
Lacate´goriedesfoncteurs
Lesdonne´esdunetransformationnaturelle
SoientFetGtcuefxnoalacsredegt´ieordeuCe´tairogeervacslD. Une transformation naturellen:FGsectnorapee´utits pour tout objetAdeCun morphismenAdeFAversGA. v´eriantuneconditionquonverraplusloin.
Exercice D´enissezune(pr´e)transformationnaturelleentrelesfoncteurs F:EnsEnsi`quaXassocieB×XetG,`iuqaXassocieX×B.
Lacate´goriedesfoncteurs
L’axiomes des transformations naturelles
Lesdonn´eesdunetransformationnaturellen:FGtneire´alv condition suivante naturalite´:
Exercice V´eriezquelatransformationdonn´eeplushautentrelesfoncteurs F:EnsEnsa`iuqXassocieB×XetGui`a,qXassocie X×Best naturelle.
Lacate´goriedesfoncteurs
La composition des transformations naturelles
De´nition SiA,B,Ce´ogirednucetancteurs(ttroisfonosCecenusreviroge´ta Detm:AB,n:BCsont deux transformations naturelles ond´enitlatransformationnaturellecompose´enmpar (nm) :=c7→ncmc.
Exercice a)Quefaut-ilmontrera`cetendroit? b)Montrezc¸a.
Lacat´egoriedesfoncteurs
Lacat´egoriedesfoncteursdeCversD
Les morphismes On prend, comme morphismes les transformations naturelles.
La composition On prend, comme composition de ces morphismes, le composition destransformationsnaturellesquonvientded´enir.
Exercice a)Quefaut-ilmontrera`cetendroit? b) Montrez-le.
Lacate´goriedesfoncteurs
Equivalences fortes
De´nition On dit qu’un foncteurF:C → Dceenrtfoqu´ealivseenutlies existeG:D → Ctel queFGetGFsoient isomorphes aux identite´s.
Exercice Dequellesidentite´ssagit-il?
Exercice Montrez que foncteur qui envoief:XBvers le couple 11 (f(V),f(Vuqviene´seut))rte.cefoalen
Lacate´goriedesfoncteurs
Equivalences fortes et faibles
Exercice Montrezquunee´quivalenceforteentrefoncteursestaussiune e´quivalence.
Proble`me Est-cequetoutee´quivalenceentrefoncteursstforte?
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