La conjecture de Kashiwara Vergne

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La conjecture de Kashiwara-Vergne François Rouvière Nice, 12 avril 2012 log eYeX = X+Y 1 e adX A(X;Y) eadY1 B(X;Y) tr (adX @XA+adY @YB)= 1 2 tr adX eadX 1 + adY eadY 1 adZ eadZ 1 1 1 L?isomorphisme de Du?o Pour motiver ces étranges équations de Kashiwara-Vergne, commençons par un bref rappel sur l?isomorphisme de Du?o. Soit g une algèbre de Lie (réelle et de dimension ?nie). On note ad : X 7! adX sa représentation adjointe, dé?nie par adX(Y ) = [X;Y ] pour X;Y 2 g. C?est un morphisme de Lie de g dans End(g), muni du crochet déduit de sa structure d?algèbre associative : ad[X;X 0] = adX adX 0 adX 0 adX (identité de Jacobi). Cette même identité dit aussi que, pour tout X 2 g, adX est une dérivation de g : adX ([Y; Z]) = [adX(Y ); Z] + [X; adY (Z)]. On peut l?étendre en une dérivation de l?algèbre symétrique S(g) (selon le relation de Leibniz), d?où la sous-algèbre S(g)g des éléments invariants (i.

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La
"conjecture"
de
Kashiwara-Vergne
François Rouvière
Nice, 12 avril 2012
      Y XadXadY loge e=X+Y1e A(X;Y)e1 B(X;Y)   1 adXadYadZ tr (adX@XA+ adY@YB) = tr + 1 adXadYadZ 2e1 e1 e1
Lisomorphisme de Duo
Pour motiver ces étranges équations de Kashiwara-Vergne, commençons par un bref rappel sur lisomorphisme de Duo. Soitgune algèbre de Lie (réelle et de dimension nie). On notead :X7!adXsareprésentation adjointe, dénie paradX(Y) = [X; Y]pourX; Y2g. Cest un morphisme de Lie degdansEnd(g), muni du crochet déduit de sa structure 0 0 0 dalgèbre associative :ad[X; X] = adXadXadXadX(identité de Jacobi). Cette même identité dit aussi que, pour toutX2g,adXest unedérivationdeg:adX([Y; Z]) = [adX(Y); Z] + [X;adY(Z)]. On peut létendre en une dérivation de lalgèbre symétrique g S(g)(selon le relation de Leibniz), doù la sous-algèbreS(g)des éléments invariants (i.e. annulés paradXpour toutX2g). Par ailleursadXsétend en une dérivation de lalgèbre enveloppanteU(g), selonadX(A) =XAAXpour toutA2U(g), doù la sous-algèbre g U(g)des éléments annulés par lesadX, qui sidentie au centre deU(g). P 1 Lasymétrisation:S(g)!U(g)dénie par(X1  X X n) =X(1)  (n) n! pour tousX1; :::; Xn2g(produits dansS(g)au premier membre, dansU(g)au second, et somme sur le groupe symétrique denéléments) est un isomorphisme despaces vectoriels. Elle commute auxadX, et sa restriction aux invariants donne un isomorphisme despaces g g vectoriels deS(g)surU(g). Mais ce nest pas en général un isomorphisme dalgèbres (bien que ces deux dernières soient commutatives). On peut cependant, en modiant la g g symétrisation, obtenir un isomorphisme dalgèbres:S(g)!U(g)(isomorphisme de Duo). La première construction depar Duo (1971), purement algébrique, utilisait de nombreux outils de la théorie des représentations des algèbres de Lie. En 1977 il parvient à la relier à lanalyse de la façon suivante (voir lexposé de synthèse [5]). SoitGun groupe de Lie (connexe et simplement connexe) dalgèbre de Lieg. Lapplica-tion exponentielleexp :g!Gest un di¤éomorphisme dun voisinage de0sur un voisinage de lélément neutre. Sa di¤érentielle enX2get son déterminant jacobien sont   adXadX 1e1e DXexp =DeLexpX,j(X) = det(1) adXadX
Lgdésigne la translation à gauchex7!gxdansG; cela peut sobtenir en isolant les   X Y termes de degré un enYdans la formule de Campbell-Hausdor¤ pourloge e. Lalgèbre symétriqueS(g)sidentie canoniquement à lalgèbre des polynômes sur les-pace dualgdeg, ou encore à lalgèbre des opérateurs di¤érentiels à coe¢ cients constants
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sur lespace vectorielg: ainsi lélémentP2S(g)sidentie au polynômeP()(oùest la variable dansg) ou à lopérateur di¤érentielP(@X), liés par   <;X> <;X> P(@X)e=P()e :
De même une série formelleF2S[[g]]sidentie à lopérateur di¤érentiel (dordre inni) g F(@)surg. Avec ces notations lisomorphisme de Duo sécrit, pourP2S(g),   g 1=2 P7!(P) = j(@)P()2U(g).
Enn lalgèbre enveloppanteU(g)sidentie canoniquement à lalgèbre des opérateurs dif-g férentiels sur le groupeGqui commutent aux translations à gauche, et son centreU(g)à la sous-algèbre des opérateurs qui commutent aux translations à gauche et à droite deG (opérateurs bi-invariants). On vérie que(P)sexplicite, comme opérateur di¤érentiel sur le groupe, par   1=2 (P)'(g) =P(@X)j(X)'(gexpX)(2) X=0 pour toute fonction'surGet toutg2G. Il devient alors raisonnable despérer que le g résultat de Duo :(P Q) =(P)(Q)pourP; Q2S(g)admette une preuve directe "simple", basée uniquement sur les propriétés formelles de lapplication exponentielle...
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La "conjecture"
2.1 Un problème général Légalité(P Q) =(P)(Q)traduit lisomorphisme entre une composition dopérateurs di¤érentiels à coe¢ cients constants surg(le produitP Qau premier membre) et celle dopé-rateurs di¤érentiels sur le groupeG(le produit(P)(Q)au second membre). On va plus généralement sintéresser à un transfert de convolution entregetGvia lapplication expo-nentielle. Rappelons que le produit de convolution de deux distributionsu; vsurg, appliqué à une fonction testf, est déni par
hugv; fi=hu(X)v(Y); f(X+Y)i
et celui de deux distributionsU; VsurG, appliqué à', par
hUGV; 'i=hU(g)V(h); '(gh)i:
En se limitant à un voisinage de lorigine sur lequelexpest un di¤éomorphisme, on dénit e les transfertsf7!fdune fonction etu7!uedune distribution surgpar e e 1=2 f(X) =j(X)f(expX),heu; fi=hu; fi:
Rappelons enn quune fonctionfsurgestG-invariante sif(gX) =f(X)(action adjointe du groupe sur son algèbre de Lie) et, par dualité, une distributionusurgestG-invariante sihu(X); f(gX)i=hu(X); f(X)ipour toute fonction testfet toutg2G.
Problème 1Établir légalité (ugv)e=euGev pour toutes distributionsG-invariantesu; vsurg(à supports convenables).
(3)
Lhypothèse deG-invariance est essentielle : sans elle, le produitueGvenest pas en général commutatif, contrairement àugv. On vérie que légalité (3) généralise lisomorphisme de Duo, car les distributions de support lorigine correspondent à des opérateurs di¤érentiels (appliqués à la mesure de Dirac), et leur convolution à la composition de ces opérateurs.
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2.2 La première équation de Kashiwara-Vergne e Appliqué à une fonction testf, le premier membre de (3) est
e h(ugv)e; fi=hugv; fi=hu(X)v(Y); f(X+Y)i:
Le second est, daprès les dénitions, e e heuGev; fi=heu(g);hve(h); f(gh)ii=hue(g); 'e(g)i=hu; 'i
1=2 e e en notant'e(g) =hve(h); f(gh)i, i.e.'(X) =j(X)hve(h); f(expXh)i. e e e 1=2 De mêmef(expXh) =(h)avec(Y) =j(Y)f(expXexpY), et cest ici quin-tervient 1 1 1 Z(X; Y) = log(expXexpY) =X+Y+ [X; Y][X;[X; Y]](Y;[X; Y]] +   2 12 12 (formule de Campbell-Hausdor¤) qui traduit la loi deGdans la carte exponentielle. Il vient 1=2 ainsi'(X) =j(X)hv; iavec   1=2 j(Y) e 1=2 (Y) =j(Y)f(expZ(X; Y)) =f(Z(X; Y)) j(Z(X; Y)
et nalement
* +   1=2 j(X)j(Y) e heuGev; fi=u(X)v(Y); f(Z(X; Y)): j(Z(X; Y)
Légalité (3) équivaut donc à * +   1=2 j(X)j(Y) hu(X)v(Y); f(X+Y)i=u(X)v(Y); f(Z(X; Y)): j(Z(X; Y)
(4)
Lidée de Kashiwara et Vergne est de démontrer (4)par déformation. Soitgtlalgèbre de Lie obtenue en munissant lespace vectorielgdu crochet[X; Y]t=t[X; Y]test un paramètre réel. Lanalogue deZpour cette structure est
2 2 t t t 1 Zt(X; Y) =t Z(tX; tY) =X+Y+ [X; Y][X;[X; Y]](Y;[X; Y]] +   2 12 12
pourt6= 0,Z0(X; Y) =X+Y; bien sûrZ1(X; Y) =Z(X; Y). Il su¢ t alors détablir que, pouruetvdistributionsG-invariantes, * +   1=2 @ j(tX)j(tY) u(X)v(Y); f(Zt(X; Y0)) = (5) @t j(tZt(X; Y)
puisque les deux membres de (4) sont les valeurs respectives de cette expressionh   ipour t= 0et pourt= 1. Pour traiter les termes enZton utilise une méthode à la Moser : trouver un chemin de di¤éomorphismes
t: (X; Y)7!(Xt; Yt) = (at(X; Y)X; bt(X; Y)Y)
degg(au voisinage de lorigine), donnés par laction adjointe deat(X; Y)etbt(X; Y))2G et qui transforment lesZten leur analogue du cas abélien, i.e.
Z (X; Y) =Z(X ; Y) =X+Y: t t t t t
3
(6)
Compte tenu deZ0(X; Y) =X+Ycette égalité équivaut, par dérivation, à
@tZt+ (@XZt)@tXt+ (@YZt)@tYt= 0
et lexpression souhaitée de(Xt; Yt)à
@tXt= [At(Xt; Yt); Xt],@tYt= [Bt(Xt; Yt); Yt] 11 (YX ; ); avec(@tat)at=At(Xt; Yt),(@tbt)b=Bt t t t
(7)
IciAt,Btet les dérivées deZtsont calculés en(Xt; Yt). En remplaçant ce point par(X; Y) on voit donc que la construction fonctionnera si on a deux fonctionsAt; Bt:gg!gtelles que @tZt= (@XZt) [X; At] + (@YZt) [Y; Bt]; At,Btet les dérivées deZtsont maintenant calculés en(X; Y). Limitons-nous désormais àt= 1pour simplier lécriture, en oubliant alors lindicet; le cas général sen déduira en remplaçant(X; Y)par(tX; tY),AparAtetc. Daprès la dénition deZtil nous faut choisir AetBtels que
@t=1Zt(X; Y) = (@XZ)X+ (@YZ)YZ(X; Y) = (@XZ) [X; A] + (@YZ) [Y; B]:
Or la dénition deZet la di¤érentielle (1) deexpentraînent
adXadY adZ1eadZ1e adY @XZ=e,@YZ=; adZadZ 1eadX1eadY
(8)
doù résulte facilement que (8) équivaut à lapremière équation de Kashiwara-Vergne:     adXadY Z(Y; X) =X+Y1e A(X; Y)e1B(X; Y)(KV1)
adY (le changement deZ(X; Y)enZ(Y; X)est dû à laction du facteure, puisque   Y Y X YX Y 1 e e e e=e e). Les équations di¤érentielles (7) avecAt=t A(tX; tY),Bt= 1 t B(tX; tY)donneront alors, en remontant les calculs, les di¤éomorphismestcherchés.
Remarque.Le couple(A; B)2gget lapplication = 1qui sen déduit (ou plus 1 exactement son inverseF= ) jouent un rôle important dans lapproche du problème de Kashiwara-Vergne par les associateurs de Drinfeld. Le premier correspond à une "dérivation tangentielle" de lalgèbre de Lie libre à deux générateurs, la seconde à un "automorphisme tangentiel" et lassociativitéZ(Z(X; Y); T) =Z(X; Z(Y; T))conduit à des identités non tri-viales sur(A; B)qui permettent de relier les propriétés deFà une "relation du pentagone"...
2.3
La seconde équation de Kashiwara-Vergne
Revenons à (5). Dabord lexpression (1) dejdonne   1 adX1 1=2 @tlogj(tX) = tr; tadX 2e1t
par suite     1=2 1=2 j(tX)j(tY)j(X)j(Y) @t=1=T(X; Y); j(tZ(X; Y)j(Z(X; Y)   1 adXadYadZ en notantT(X; Ytr +) =  1: adXadYadZ 2e1e1e1
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(9)
1=2 Il reste à dériver un terme de la formeg(Zt(X; Y))avecg=j f: daprès (8) on a
@t=1g(Zt) =DA;B(gZ)
en notantDA;Blopérateur di¤érentiel agissant sur une fonction'(X; Y)selon
DA;B'= (@X') [X; A] + (@Y') [Y; B]:
LaG-invariance dejentraîneDA;B(j(X)j(Y)) = 0, ce qui permet décrire  !  !     1=2 1=2 j(X)j(Y)j(X)j(Y) @t=1f(Zt(X; Y)) =DA;Bf(Z(X; Y)): j(Zt(X; Y)j(Z(X; Y)
En regroupant cela avec (9) il vient * +   1=2 j(tX)j(tY) @ u(X)v(Y); f(Z(X; Y)) = t=1t j(tZt(X; Y) *  !+   1=2 j(X)j(Y) =u(X)v(Y);(DA;B+T(X; Y))f(Z(X; Y)): j(Z(X; Y)
(10)
Linvariance des distributionsuetv, qui nest pas intervenue jusque-là, permet de sim-plier cette expression.
Lemme 2Soituune distribution invariante surg. Pour toute fonctionF 1 classeCet avecsuppu\suppFcompact) on a
:g!g(de
hu(X);tr (adX@XF(X))i= 0: P Preuve.SoitF(X) =Fi(X)eila décomposition deFselon une base(ei)deg. Linva-i riance deudonne    sadei @s=0u(X); Fie X=hu(X); @XFi(X)[X; ei]i= 0;
doù le résultat en sommant suri.
En appliquant le lemme àF(X) ='(X)A(X), où'est une fonction scalaire etAà valeurs dansg, on en déduithu;(@X') [X; A]i= hu;tr (adX@XA)'ipuis, en remplaçant gpargg,uparuvetc.,
hu(X)v(Y)'; D (X; Y)i= hu(X)v(Y);tr (adX@ A+ adY@ B)'(X; Y)i A;B X Y (11) pour toute fonction scalaire', siuetvsont invariantes. Daprès (10) et (11), légalité (5) sera donc vériée siAetBsatisfont à léquation (KV2) ci-dessous.
Conjecture 3 (Kashiwara-Vergne)Pour toute algèbre de Liegil existeA(X; Y)et B(X; Y), séries de crochets deX; Y2gconvergentes dans un voisinage de lorigine, véri-ant (KV1) et (KV2) :     adXadY Z(Y; X) =X+Y1e A(X; Y)e1B(X; Y)(KV1)   1 adXadYadZ tr (adX@XA+ adY@YBtr +) =  1(KV2) adXadYadZ 2e1e1e1 avecZ=Z(X; Y)(traces dendomorphismes deg).
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