Le polynome de Jones des entrelacs rubans

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Le polynome de Jones des entrelacs rubans Michael Eisermann Institut Fourier, UJF Grenoble 15 janvier 2008 1/19

  • disque lisse dans d4

  • polynome de jones des entrelacs rubans

  • ribbon links

  • surface ruban

  • formee de disques


Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Le
polynˆome
de Jones des entrelacs
Michael Eisermann
Institut Fourier, UJF Grenoble
15 janvier 2008
rubans
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Plandelexpos´e
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Motivation Entrelacs bordants [slice links] Entrelacs rubans [ribbon links] Le proble` me « slice ribbon »
LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Diagrammes rubans La nullite´ du polynoˆ me de Jones Led´eterminantdupolynoˆmedeJones
Invariants de type fini de surfaces Deux notions des invariants de type fini LexempledupolynˆomedeJones
Questions ouvertes
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Motivation(dapr`esFox-Milnor1966) Exemple Consid´erons f : C C 2 , f ( z ) = ( z 2 , z 3 ) . Topologiquement c’est un plongement propre de C dans C 2 . Mais en 0 la surface S = Image( f ) n’est pas localement plate ! Soit Σ R 4 une surface non localement plate en x ,singularite´isol´ee. Alors K ( x, ε ) = Σ S ( x, ε ) est un nœud dans S ( x, ε ) = S 3 . Pour ε 0 cenœudestind´ependantde ε . On le note donc K ( x ) . De´ finition Un nœud K estappel´e bordant [slice] s’il borde un disque lisse dans D 4 . Observation : La singularite´ en x Σ peuteˆtreeffac´eeparunemodication locale si et seulement si K ( x ) est bordant. Th´eore`me(Fox-Milnor1966) Si K est bordant alors Δ( K ) = f ( q ) f ( q 1 ) pour un f Z [ q ± ] . Dans notre exemple : Δ(3 1 ) = q 2 1 + q 2 ne se factorise pas. 3/19
Exemple
d’un
nœud
h
bordant
=
0
R 3
×
0
surface
plonge´e
dans
dans
R 4 +
R +
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rfSuesacbaru(dns91/5
F IG .:Surfacesimmerg´ees Σ # R 3 n’ayant que des singularite´ s ruban
D´enition Un entrelacs L est ruban silbordeunesurfacerubanform´eededisques.
Exemple Pour tout nœud K la somme K ] K est un nœud ruban.
(c) 8 20
(b) 3 1 ] 3 1
(a) singularit ´e ruban
abur.niralse´tssdeguinanayuetqeenre´giemmfrcanesuestuubanacerfrusenUnoitine´)D6219oxsF`epra
Surfaces rubans dans R 4+
Remarque
surface ruban S R 3 ⇐⇒ surface plonge´ e lisse S + R 4+ sans minima.
h = 0
R 3 × 0
surface plonge´e dans R 4+
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eLrpbol`mee«lscierbibon»F(xo19
Question (proble` me de Fox) Est-ce que tout nœud bordant est ruban ?
26)
g 3 ( K ) := min { genre( S ) | S R 3 , ∂S = K , surface de Seifert } g 3 ( K ) = 0 K est trivial
g r ( K ) := min { genre( S ) | S R 3 , ∂S = K , surface ruban } g r ( K ) = 0 K est ruban
g 4 ( K ) := min { genre( S ) | S R 4+ , ∂S = K , surface lisse } g 4 ( K ) = 0 K est bordant
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Nullit´eetd´eterminnat
De´ finition Seifert : la nullite´ null( L ) est la nullit ´e de la matrice de Seifert θ + θ . Jones : la nullite´ null V ( L ) est l’ordre du ze´ ro en q = i .
Remarque On a V ( L ) = ( q + + q ) null( L ) Q avec Q Z [ q ± ] et Q ( i ) 6 = 0 . Si L a n composantes, alors V (1) = 2 n 1 et donc 0 null V ( L ) n 1 .
De´ finition Seifert : le de´ terminant est det( L ) = det ˆ i ( θ + θ ) ˜ . Jones : le de´ terminant est det V ( L ) := [ V ( L ) / ( q + + q ) null( L ) )] ( q 7→ i ) .
Remarque On a det( L ) = V ( L ) | q 7→ i donc null( L ) = 0 null V ( L ) = 0 . Sans nullite´ on a det( L ) = det V ( L ) .
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Diagrammes rubans
D´enition Un diagramme ruban estundiagrammeform´edespi`ecessuivantes:
Proposition Toute surface ruban S R 3 serepr´esenteparundiagrammeruban. Toutesurfaceplong´ee S R 3 se repre´ sente ainsi sans singularite´ s.
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Exemples : diagramme ruban Toute surface ruban S R 3 se represente par un diagramme ruban. ´
Toute surface plonge´ e S R 3 se repre´ sente ainsi sans singularite´ s.
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Crochet de Kauffman
The´ ore` me (Kauffman 1987) Il existe une unique application D Z [ A ± ] , note´ e D 7→ h D i , telle que ˙ ¸ = A ˙ ¸ + A 1 ˙ ¸ , h D t i = h D i ∙ ( A +2 A 2 ) , hi = 1 .
Cetteapplicationv´erie h D i ∙ ( A 3 ) writhe( D ) = V ( L ) | ( q 7→− A 2 ) .
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