Le polynome de Jones des entrelacs rubans

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Le polynome de Jones des entrelacs rubans Michael Eisermann Institut Fourier, UJF Grenoble 15 janvier 2008

  • disque lisse dans d4

  • polynome de jones des entrelacs rubans

  • ribbon links

  • fox-milnor


Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Le
polynˆome
de Jones des entrelacs
Michael Eisermann
Institut Fourier, UJF Grenoble
15 janvier 2008
rubans
Plandelexpos´e
1
2
3
4
Motivation Entrelacs bordants [slice links] Entrelacs rubans [ribbon links] Le probleme«sliceribbon» `
LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Diagrammes rubans La nullit ´e du polynoˆ me de Jones Led´eterminantdupolynoˆmedeJones
Invariants de type fini de surfaces Deux notions des invariants de type fini L’exemple du polynoˆ me de Jones
Questions ouvertes
Plandelexpos´e
1
2
3
4
(rappel)
Motivation Entrelacs bordants [slice links] Entrelacs rubans [ribbon links] Leprobl`eme«sliceribbon»
LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Diagrammes rubans Lanullit´edupolynˆomedeJones Led´eterminantdupolynomedeJones ˆ
Invariants de type fini de surfaces Deux notions des invariants de type fini LexempledupolynˆomedeJones
Questions ouvertes
aletneptisgnne,xit´eular´ee.isolx(KsrolA(SΣ=)ε,tuesε)x,anddœunntioS4RΣsenufaurnoceocnlemal[tnadrobe´leppatesdKœunnnUioitnadsnsiesuqlednsirdeuilboe]sslictsed´dnic0εuœne3.=SurPo(xsS),ε(K)xD.e´onetodcndeε.Onleependanttsenemulst)e(xiKacolnoitesteiselox-Mme(Fr196ilnona.tobdrroe`hTe´inaslagut´rinxeeO.4DresbitavL:no´eeparunemodicaΣeptueˆrteeffca
Motivation(dapr`esFox-Milnor1966)
s.
Exemple
Consid´eronsf:CC2,f(z) = (z2, z3). Topologiquement c’est un plongement propre deCdansC2. Mais en0la surfaceS= Image(f)n’est pas localement plate !
=q21+qle:Δ(31)otiresapn2sefecaq±Z[funurpo1)qpmexeertonsnaD.]antabordKest6)Si)(ff=q((Δ)Kolsr
cationlrunemodiaf´ceeapˆtteerfetbesdaorsintx)K(uestemellacoeise)SiK1966lnorx-Mi(eoF`rme´hoetnT.)p1(qfq)f()=(KΔsrolatnadrobtse´Deinitbe´ladros[tnecilUnonudnœstKepeapssdeeuil.4bOnaDslbor]sidisqdeune´tiraluuepΣxneioatrvsengsiLan:ruouZnf±][qan.Dtonsxeerlpme(Δ:e31)=q21+q2neseaftcrosipesa.
Exemple
Motivation (d’apre` s Fox-Milnor 1966)
SoitΣR4
Conside´ ronsf:CC2,f(z) = (z2, z3). Topologiquement c’est un plongement propre deCdansC2. Mais en0la surfaceS= Image(f)n’est pas localement plate !
SoitΣRune surface non localement plate enxsol´t´eiee.s,alirniug AlorsK(x, ε) = ΣS(x, ε)est un nœud dansS(x, ε) =S3. Pourε0nœudestind´ependantdeecε. On le note doncK(x).
q2nesefactorisepmelΔ:3()1q=2+1.sap
Motivation(dapr`esFox-Milnor1966) Exemple Consid´eronsf:CC2,f(z) = (z2, z3). 2 Topologiquement c’est un plongement propre deCdansC. Mais en0la surfaceS= Image(f)n’est pas localement plate ! SoitΣR4une surface non localement plate enx e., singularite´ isole´ AlorsK(x, ε) = ΣS(x, ε)est un nœud dansS(x, ε) =S3. Pourε0d´ependantdeneceduœnitsε. On le note doncK(x). De´ finition Un nœudK´eelpptaesbordant[slice] s’il borde un disque lisse dansD4. Observation : La singularite´ enxΣeˆrteeffeptuunemodicaact´ieoenpar locale si et seulement siK(x)est bordant.
q())Kf=sr(ΔatolrdanstboSiKe966)exeertonsnaD.]±qZ[funurpo1)qf(liM-1roneme`xoF(Thor´e
Motivation(dapr`esFox-Milnor1966) Exemple Consid´eronsf:CC2,f(z) = (z2, z3). Topologiquement c’est un plongement propre deCdansC2. Mais en0la surfaceS= Image(f)n’est pas localement plate ! SoitΣR4une surface non localement plate enxolis´eite.´e,ralugnis AlorsK(x, ε) = ΣS(x, ε)est un nœud dansS(x, ε)=S3. Pourε0œuenstded´diennetndeapcε. On le note doncK(x). De´ finition Un nœudKest appele´bordant[slice] s’il borde un disque lisse dansD4. Observation : La singularite´ enxΣ e efface´ par une modificationpeut eˆ tre locale si et seulement siK(x)est bordant. Th ´ ore` me (Fox-Milnor 1966) e SiKest bordant alorsΔ(K) =f(q)f(q1)pour unfZ[q±]. Dans notre exemple :Δ(31) =q21 +q2ne se factorise pas.
Exemple
d’un
nœud
h
bordant
=
0
R3
×
0
surface
plong´ee
dans
dans
R4 +
R+
tiniUnontrenacele´DrdeunesurfacerubLssertbunasliobotruoPelpmexE.sequiseded´ermfoanbunauœrdutnnKsemeK]asomudKlutnœ
Surfacesrubans(dapr`esFox1962)
De´ finition Unesurface rubanmerg´eenurfaceimdeseisgnaaytnuqsarul´eitsenutse ruban.
.
(b)31]31
(c)820
(a) singularite´ ruban
FIG:S.sicefaur´geemmresΣ#R3 ruban sn’ayant que des singularite´
uSfrcaserbuans(dapr`seFox1962)
De´ finition Unesurface ruban´iecafrusenssdeuetqanayneeingularit´esestu mmerg ruban.
(a) singularite´ ruban
(b)31]31
(c)820
FIGmergesim´eesuS:.cafrΣ#R3t´rilagunbaruesnaqtnyassnieued
De´ finition Un entrelacsLestrubansques.´meeedidurabfnrourescefaorlbundeis
Exemple Pour tout nœudKla sommeK ] Kest un nœud ruban.
Surfaces rubans dansR+4
Remarque
surface rubanSR3⇐⇒surface plonge´ e lisseS+R4+sans minima.
h= 0
R3×0
surfaceplong´eedansR+4
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