LE PROBLEME DES

De
Publié par

  • fiche - matière potentielle : introduction au calcul litté - ral pour les équations
47 LE PROBLEME DES 5 CARRES ou Comment montrer l'intérêt des identités remarquables Jean-Paul MERCIER Irem de Poitiers REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004 1. — Présentation du problème et son intérêt Le problème « des cinq carrés » pourrait être l'un des problèmes des Arithmétiques de Diophante. Certains problèmes de Dio- phante en effet y ressemblent [1] : « (6.20) Trouver trois nombres carrés tels que si on multiplie le premier par le deuxième et le résultat par le troisième et qu'on sous- trait ce qu'on obtient du nombre composé de la somme des trois nombres, il en reste un carré.
  • al- khwarizmi
  • al khwarizmi
  • remarque per- tinente
  • produits égaux
  • identités remar- quables au service des problèmes de calcul et de résolution d'équations
  • intérêt de la factorisation
  • équations
  • equation
  • équation
  • equations
  • cellule
  • cellules
  • problèmes
  • problème
  • calculs
  • calcul
  • méthodes
  • méthode
Publié le : lundi 26 mars 2012
Lecture(s) : 78
Source : univ-irem.fr
Nombre de pages : 21
Voir plus Voir moins

REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
ou
Comment montrer l’intérêt
des identités remarquables
Jean-Paul MERCIER
Irem de Poitiers
Dans cet article, je propose de suivre la 1. — Présentation du problème et son
résolution d’un problème assez connu mais intérêt
difficile, donné en classe de troisième. J’essaye-
rai de vous faire partager la richesse de ce Le problème « des cinq carrés » pourrait
problème sur les méthodes qu’il permet de être l’un des problèmes des Arithmétiques
mettre en jeu. de Diophante. Certains problèmes de Dio-
phante en effet y ressemblent [1] :
Ce problème sera abordé dans différents
contextes : pédagogique (déroulement de l’acti- « (6.20) Trouver trois nombres carrés tels que
vité), technique (utilisation d’un tableur), his- si on multiplie le premier par le deuxième
torique (utilisation de traductions de méthodes et le résultat par le troisième et qu’on sous-
du IXème siècle, à la naissance de l’algèbre). trait ce qu’on obtient du nombre composé de
la somme des trois nombres, il en reste un
J’exposerai alors comment j’introduis la carré.
2 2 2 2 2 2 2factorisation en troisième pour résoudre des x + y + z – x y z = s
équations. (7.17) Trouver quatre nombres carrés qui
47REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
soient aussi proportionnels et tels que leur (Disons-le immédiatement, aucune de ces
somme soit aussi un carré… cinq équations n’est connue des élèves,
elles sont du second degré : c’est la première2 2 2 2 2y = x + x + x + x avec x x = x x » 1 2 3 4 1 4 2 3 rencontre. Mais c’est l’occasion d’introdui-
re des outils qu’on demande à un élève de
Je donne ce problème sous une troisième de comprendre si ce n’est de mai-
« forme habillée concrète », en général lors de
triser.)
la deuxième séance de découverte des iden-
— Ces équations sont des piliers historiquestités remarquables en classe de troisième
de l’algèbre, ce sont trois des six équations cano-(voir ci-dessous et annexe A1).
niques d’Al Khwarizmi [2].
Evoquons tout de suite la richesse de ce — Je montrerai comment les élèves ont uti-
problème : lisé ses méthodes exposées dans son ouvrage
— Riche parce qu’il permet des traductions fondamental (annexe A3), pour résoudre les
variées, qui donneront du sens au choix per- équations obtenues.
tinent d’une inconnue.
— On peut amener les élèves à com-
— Il permet de donner du sens au fonction- prendre l’intérêt de la factorisation pour
nement des identités remarquables, utilisées accéder à la résolution des équations, soit
en développement puis en factorisation. lorsque les deux membres sont des carrés,
— Il offre la rencontre avec cinq équations soit pour mettre sous la forme d’une équa-
différentes pour le résoudre. tion-produit.
Activité 4
Cinq frères et sœurs ont hérité de cinq terrains carrés dont les mesures des côtés sont cinq
entiers consécutifs.
Les terrains sont assemblés en deux groupes : les trois plus petits terrains d’un côté d’un
chemin, et les deux plus grands terrains de l’autre côté... Ainsi les surfaces de part et d’autre
du chemin sont équivalentes. Comment trouver les dimensions de chaque terrain ?
c
h
e
m
i
n
r o u t e
48REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
2 22. — Déroulement de l’activité tion, les carrés de la forme (x + 1) , (x – 1) ,
les produits (x – 1)(x + 1) et les équations
2Situons la position du problème dans le dérou- x =a (ou a est un entier positif carré [ex3]
lement de la séquence en classe… ou non [ex2]). Je ne décrirai pas ici le travail
des élèves sur ces sujets.
Ma fiche d’introduction au calcul litté-
ral pour les équations (annexe A1) vise à ce Ces exercices sont basés sur la répétiti-
que les élèves rencontrent les identités remar- vité de situations voisines, tout en permettant
quables au service des problèmes de calcul et de varier les calculs sur différentes formes :
2 2de résolution d’équations où leur utilité est incon- (x + 1) , (x – 1) , (x + 1)(x – 1), (x + 2)(x – 2).
tournable : dans un premier temps on travaille
le développement, dans un deuxième temps Les bilans des trois premières activités
on travaille la factorisation. Les situations ont ont permis de mettre en place sur quelques
été sélectionnées en fonction de la difficulté exemples simples les résultats suivants :
2 2 relative et de l’intérêt des méthodes variées (x + 1) = x + 2x + 1 ,
2 2 par lesquelles les élèves peuvent traiter ces (x – 1) = x – 2x + 1 ,
2 problèmes. Elles permettent aussi pour le (x + 1)(x – 1) = x – 1 ,
2 premier de montrer les limites du calcul à la (x + 2)(x – 2) = x – 4,
main ou à la calculatrice. en utilisant la double distributivité de 4ème
et en réduisant les produits égaux ;
Extraits de la fiche–élève (annexe A1) : x × 1 + 1 × x = 2x
et les produits opposés :
Dans les activités suivantes, il s’agit de
2 × x – x × 1 = 0 .
découvrir des méthodes de calcul appro-
priées aux situations. On cherchera surtout
L’activité n°4 est le problème des cinq car-
des stratégies plutôt que des résultats. On
rés. L’étude en est faite en trois étapes sépa-
pourra aussi chercher s’il y a plusieurs
rées :
méthodes et celle qui est la plus économique.
Une recherche de solutions avec le tableur
Travail par groupe : chacun cherche seul pen-
dant 5 minutes puis expose aux autres ce
Elle donne du sens à la notion de nombres
qu’il a trouvé ou leur pose des questions ;
entiers consécutifs, à la notion de carré d’un
le groupe doit pouvoir communiquer une 2nombre (x = x × x) et permet de mettre en
réponse commune après 15 minutes pour
situation l’usage du tableur dans une recherche
chaque activité.
(voir sur le serveur IREM de POITIERS le
(Faire les activités dans l’ordre. Mettre au fichier 5carrés.xls http://irem.campus.univ-
propre à la maison ensuite) poitiers.fr/irem/ressourc/product/5carres/).
Modalité : une séance de 50 minutes en
salle informatique.
Les activités de découvertes sont choi-
sies pour faire passer l’élève de ses techniques J’invite, à la fin de la séance, les élèves à
mêmes rudimentaires de quatrième à celles traduire en équation le problème pour le len-
de troisième et lui faire rencontrer, en situa- demain.
49REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
La mise en équation du problème 3. — Première étape :
recherche au tableur.
Travail en classe (papier crayon) : formes
2 2 (x + b) et (x – b) . Elle a pour buts de faire comprendre à
l’élève les notations N, N+1, N+2, N+3, N+4
comme moyen de traduction des … cinqDurée 20 minutes (1ère traduction) + 20
entiers consécutifs... et tester des nombresminutes pour la mise en commun + travail à
comme réponses (solutions) au problème.la maison sur les autres traductions + 20
minutes le lendemain pour la mise en commun
En effet, la mise en équation est une desdes résultats. La traduction en équation lais-
principales difficultés rencontrées par cer-sant apparaître des équations non solubles algé-
tains élèves. Au départ, ils traduisent lesbriquement dans l’état des connaissances des
cinq nombres par cinq lettres différentes, parélèves, leur résolution est différée.
exemple a b c d e — lettres consécutives
dans l’alphabet. Débuter par le tableur per-Suit une synthèse de cours, identités
met de donner un sens actif immédiat aux écri-remarquables et développement et quelques
tures N, N+1, N+2, N+3, N+4.exercices d’applications (sur deux séances),
dont reconnaissance de développements,
Modalités : Une salle informatique, équi-complément de formes, … qui ne seront pas
pée de quinze postes en réseau. Un tableurrelatés ici.
sur chaque poste. Deux élèves par poste. Un
vidéoprojecteur sur un autre poste-profes-La résolution des équations à partir
seur en réseau (l’équipe pédagogique ‘math’des méthodes d’Al–Khwarizmi
dispose d’un équipement portable+vidéo+tableau
blanc mobiles).Lecture et application de fragments d’his-
toire des maths (brochure IREM de Poitiers
Consigne orale : « Traduire le problème dansAl–Kwarizmi I [2]).
le tableur. Mais c’est le tableur qui devra cal-
culer à votre place »Durée 50 minutes.
Certains élèves entrent tous les nombresPuis la mise au point finale : la résolution de
et même les carrés (calculés mentalement), voirechacune des équations par la factorisation
2 2 2 2 les sommes. Ils constatent alors la nécessitédes formes x + 2bx + b et x – 2bx + b
de mieux piloter le tableur pour éviter de
répéter les remplissages.Durée 40 minutes.
Cette première phase introduit une dis-Puis suivent des séances plus classiques
cussion-échange sur les codages choisis entrede cours et d’exercices, qui ne seront pas rela-
les groupes.tées dans notre propos :
— factorisation des expressions littérales – Remarque : mes élèves n’ont pas encore une
cours et applications, maîtrise personnelle du tableur. Plusieurs
en sont déjà familiers, l’ayant utilisé en qua-— équations – cours et applications.
50REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
trième. Certains en découvrent presque l’exis- On compare les deux bonnes méthodes.
tence en troisième. Cependant nous l’avons déjà L’avantage de la première est la rapidité de
utilisé une fois dans le cadre un peu différent mise en œuvre. La seconde demande une ana-
de la gestion de données un mois auparavant lyse supplémentaire, pour constater que toutes
(tri – moyenne – médiane – graphiques). les cellules dépendent directement du conte-
nu de la première.
La première réponse-élève (annexe2 et
les5carrés.xls feuilles élèves_Poste_12, _ O2, Je procède assez rapidement (quand
_ 05) consiste à remplir les cellules de la ligne chaque groupe a proposé une réponse) à une
2 par des valeurs qu’ils calculent plutôt de tête. mise au point en commun pour préciser l’écri-
Certains commencent par 1 pour le premier ture de formules dans les cellules à l’aide de
nombre. « =formule » :
J’insiste alors sur le fait que le tableur est — commande du calcul du nombre consécu-
un calculateur, et qu’ils doivent lui com- tif : =A2+1 dans la cellule B2, après avoir
mander les calculs, tous les calculs, y compris comparé les deux traductions possibles et
ceux des longueurs des côtés. fait remarquer que C2 = B2 + 1 = (A2 + 1)
+1 = A2 + 2. Il faudra y revenir lors de la
En général les élèves traduisent la notion mise en équation.
de nombre entier consécutif par « ajouter 1 »,
ce qui n’est pas évident pour certains : — commande du calcul du carré : =A2*A2
dans la cellule F2 et l’utilisation de l’outil
A2 B2=A2+1 C2=B2+1 « recopier vers la droite » dans les cellules
D2=C2+1 E2=D2+1 B2 à E2, et les cellules F2 à J2
(recopiant vers la droite)
Présentation à la classe du fichier-prof
Quelques-uns ont perçu qu’il y avait une com- (feuille prof_base) à l’aide du vidéo-projec-
paraison des nombres avec le premier d’entre teur (voir encadré ci-dessous).
eux :
Sur la feuille Prof_étude1 (voir encadré page
A2 B2=A2+1 C2=A2+2 suivante), je montre alors aux élèves, s’ils ne
D2=A2+3 E2=A2+4 l’ont pas déjà trouvé par eux-mêmes, qu’ils
(en créant les formules) peuvent
— soit modifier A2, mais dans ce cas on n’aet commencent par la valeur 1 pour A2.
qu’un seul exemple à l’écran,
feuille prof_base
51REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
feuille prof_étude1
— soit recopier la ligne 2 en ligne 3 pour On répète cette copie vers les lignes sui-
conserver les divers essais de leur recherche, vantes. On peut montrer aussi comment com-
et ce sera plus lisible si ces essais sont ordon- mander le calcul de nombres consécutifs dans
nés. la colonne A à l’aide la formule =A2 + 1 dans
la cellule A3.
Les lignes suivantes (ci-dessous) obte-
nues par « recopier vers le bas » font apparaître On trouve alors pour N = 10 la solution,
les valeurs incrémentées de 1 en 1 dans la colon- avec pour somme 365.
ne A, en sélectionnant les cellules A2 à L3 et
en « recopiant vers le bas », puis en rempla- Il faut ensuite guider la discussion vers
çant 1 par 2 dans A3. la différence entre les deux sommes. Se rap-
52REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
prochent-elles ? S’écartent-elles ? Est-on sûr mière ligne (devenue la septième ou huitiè-
par cette méthode qu’on a trouvé toutes les pos- me ligne) : on sélectionne un rectangle de
sibilités ? Faut-il aller plus loin dans les lon- toutes les cellules utilisées des lignes contenant
gueurs des côtés ? N = 1 et N = 2 et on tire la poignée noire (coin
bas-droit du rectangle) vers le haut.
Et dans l’autre sens ? La remarque per-
tinente vient de suite : il ne peut pas y avoir On voit alors apparaître la 2ème solu-
d’entier plus petit que 0 comme côté du carré ! tion mathématique, espérée par le profes-
On peut alors déplacer le problème sur le seur… (cf. encadré de la page suivante). Nous
plan mathématique en utilisant des entiers rediscutons avec les élèves du sens de chaque
d’un autre type, relatifs ! solution par rapport au problème posé.
Remarque : si l’on construit (facultatif) une colon- Bilan et amélioration : on pourrait très bien
ne « différence des sommes », on voit apparaître ne pas commencer par N = 1 mais par N = 30.
nettement une variation décroissante, puis crois- L’intérêt dans ce cas serait de faire constater
sante de cette différence. Cela laisse suppo- qu’on ne trouve rien au-delà de N = 30 et
ser qu’il y a deux possibilités de solution, qu’il faudrait revenir vers N plus petit. Cela
l’une d’elles (–2, –1, 0, 1, 2) restant à cher- entraîne plus facilement le passage vers les
cher. Cette différence des sommes illustre N négatifs et leur introduction devient moins
l’équivalence a = b ⇔ a – b = 0 à laquelle les artificielle.
élèves ne pensent pas seuls.
4. — Deuxième étape :Sur la feuille Prof_complet du fichier
la mise en équation. les5carrés.xls (voir ci-dessous), je montre aux
élèves comment recopier la ligne 2 « vers le
2haut » : Travail sur la forme (x + b)
et son développement
Il faut insérer sept ou huit lignes sup-
Ce travail se fait en salle normale parplémentaires avant la première ligne de
valeurs et recopier vers le haut cette pre- groupes de quatre élèves.
53REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
1) Je donne oralement la consigne suivante : x+ 4 . Les élèves obtiennent assez facilement
« Le travail sur tableur met en évidence la pos- l’équation :
2 2 2 2 2 sibilité de traduire les longueurs des côtés. Vous x + (x + 1) + (x + 2) = (x + 3) + (x + 4) .
allez mettre en équation ce problème et sim-
plifier cette équation. » Je conseille de répartir le travail pour
le développement en appliquant les démarches
Pour espérer voir cette étape franchie vues dans les trois activités précédentes
facilement par tous, il faut engager rapide- (annexe A1). L’extension se fait sur les
2ment une discussion sur les méthodes de tra- termes (x + b) avec b devenant 2, 3 puis 4.
duction : quelle inconnue choisissent-ils ? Les élèves comparent leurs acquisitions.
Certains utilisent encore la méthode de
On voit quelques élèves proposer x+ 1, 4ème de double distributivité, d’autres uti-
x+ 2, x + 3, x + 4, x + 5, en référence à leur lisent maintenant la méthode de troisième.
première réponse sur tableur. D’autres conser- (voir annexe A3)
ver encore un peu confusément x, x + 1,
(x + 1)+ 1, (x + 1 + 1)+ 1, (x + 1 + 1 + 1) + 1. Suit une discussion-correction commune
La mise au point commune permet de valider comparative. Je partage le tableau en trois
plutôt le modèle commun x, x + 1, x + 2, x + 3, colonnes. J’envoie des élèves volontaires qui
54REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
ont trouvé dans leur groupe des méthodes 2) Quelques groupes ont choisi plutôt : x– 4,
ou des présentations différentes. x– 3, x – 2, x – 1, x, et obtiennent l’équation :
2 2 2 2 2(x – 4) + (x – 3) + (x – 2) = (x – 1) + xLa plupart des groupes obtiennent après
réduction l’équation :
2qu’ils réduisent à : x – 16x + 28 = 0 et, pour
2certains transforment ainsi : x + 28 = 16x ,2 23x + 6x + 5 = 2x + 14x + 25 .
forme aussi étudiée par Al Khwarizmi, « Cha-
pitre V : Des carrés et des nombres qui équi-Dans certains groupes la réduction et un
valent à des racines ».début de résolution amène à l’équation :
3) Les groupes qui ont choisi : x– 2, x – 1, x,2x – 8x = 20 .
x+ 1, x + 2, obtiennent l’équation :
Dans quelques groupes la discussion sur sa 2 2 2 2 2(x – 2) + (x – 1) + x = (x + 1) + (x + 2)
simplification amène à la proposer ainsi :
2qu’ils transforment en : x – 12x = 0 , ou en :
2x = 8x + 20 2x = 12x , encore une des formes d’équations
étudiées par Al Khwarizmi, « Chapitre I : Des
qui est une des six formes d’équations étu- carrés égaux à des racines ».
diées par Al Khwarizmi dans son ouvrage
Kitab al jabr wal muqabala composé entre 813 4) Les élèves qui ont étudié x– 1, x, x + 1, x + 2,
2et 833 [2], « Chapitre VI : Des racines et des x+ 3, parviennent à l’équation x = 10x + 11 ,
nombres égaux à un carré ».
5) Enfin les derniers arrivent avecx– 3, x – 2,
2x– 1, x , x+ 1, à l’équation x + 13 = 14x.Un premier échange rapide est fait avec
la classe sur les travaux effectués, limités Bilan en classe : Nous procédons alors à
par une équation qu’on ne sait pas résoudre. une dernière comparaison au tableau des
On pourrait s’arrêter là, mais je fais remar- différentes méthodes de calculs utilisées
quer que nous avons naturellement choisi par les groupes. Celle-ci met en évidence
comme inconnue le premier des 5 nombres et des calculs plus longs à écrire par la métho-
je suggère qu’un autre choix des inconnues pour- de de quatrième et les élèves observent que
rait mener à une équation plus intéressante, les développements sont plus courts à écri-
c’est-à-dire qu’on pourrait peut-être résoudre. 2 2re sous la forme x + 2bx + b . Ils remar-
Les élèves proposent assez facilement à la quent aussi que l’on procède toujours de la même
classe de partir du plus grand des cinq nombres, 2manière pour développer (x + b) comme
on regarde sur les trois possibilités restantes 2(x – b) . J’établis avec eux les deux identités :
et on répartit le travail entre les groupes (ou
2 2 2(x + b) = x + 2bx + bà l’intérieur des groupes).
et
2 2 2(x – b) = x – 2bx + b . Certains élèves signalent qu’on peut
même prendre le deuxième nombre comme On termine en remarquant qu’on obtient des
inconnue, ou le quatrième. Ce qui nous donne équations qu’on ne sait pas pour l’instant
deux possibilités supplémentaires. résoudre.
55REPERES - IREM. N° 57 - octobre 2004
LE PROBLEME
DES 5 CARRES
2Suit une phase « synthèse de cours – ver une solution à l’équation x + 28 = 16x.
2exercices d’application simple », répartie sur Réfléchir à la dernière équation x = 12x.
trois séances, avec la forme générale des déve- Vous travaillez par groupe de deux.
2 2loppements du type (ax + b) , (ax – b) et
(ax + b)(ax – b) , suivie d’exercices d’entraî- Les réponses prennent parfois l’allure
nement, y compris un temps avec l’usage d’un d’un petit organigramme, ou d’une suite des
exerciseur (SMAO3\activités numériques\calcul nombres trouvés dans les étapes consécu-
littéral\développement). Nous terminons par tives comme dans un tableau non tracé.
les reconnaissances de développement de car- (annexe A5). Certains ont codé la démarche,
rés, et des égalités à compléter pour préparer quand ils ont voulu l’appliquer à l’équation de
la troisième étape. notre problème, mais pas immédiatement.
Mon passage dans les groupes les a confortés
dans ce choix. Il s’avère que cela devient net-
5. — Troisième étape : la résolution tement plus lisible.
des équations. Utilisation de l’histoire
des mathématiques. Selon la méthode V ou VI, ils retrouvent
une ou les deux solutions déjà vérifiées à
Je donne aux élèves les deux méthodes l’aide du tableur. Avec ces méthodes, ils vali-
des chapitres V et VI du livre d’Al Khwaris- dent leur compréhension en résolvant les
2 2mi (annexe A4) concernant les équations équations x = 10x + 11 et x + 13 = 14x.
2 2x = 3x+ 4 et x + 21 = 10x. Je présente rapi-
dement ce mathématicien. (annexe A7) Pour les groupes qui ont eu le plus de dif-
ficulté, je procède à une analyse des méthodes
Je traduis avec eux la première phrase de d’Al Kwharizmi, pour faire apparaître les
chacun des deux textes, en précisant le sens étapes du calcul suivantes. Mon but est de les
de chacun des mots carré – racine – nombre. préparer à la réflexion ultérieure sur la fac-
Nous transformons ensemble ces deux phrases torisation, en transformant les écritures dans
en les deux équations ci-dessus. les équations.
« Carré » désigne bien un nombre carré incon- Voici les étapes :
2 nu, soit x , « racine » désigne la mesure du côté — identification du coefficient de x, dont on
du carré ou encore l’inconnue x, « nombre » prend la moitié,
désigne un nombre entier connu. — le calcul du carré de cette moitié,
— le calcul d’un nouveau nombre entier, qui
Consigne : Vous devez analyser et noter les est un carré,
étapes de la méthode donnée par Al Khwa- — le calcul de sa racine carrée,
rizmi pour trouver une solution à l’équation — le calcul de x par addition de cette racine
2x = 3x+ 4. carrée avec la moitié trouvée au début.
Vous essaierez alors en parallèle de trouver
par le même procédé une solution à l’équa- Analyse de cette phase
2tion x = 8x + 20 .
Faites de même pour la deuxième métho- Il y a trois difficultés :
2de avec l’équation x + 21 = 10x et trou- — l’analyse d’un texte descriptif d’une démarche
56

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.