Liberte des systemes de vecteurs

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Liberte des systemes de vecteurs Dedou Octobre 2010

  • decomposition lineaire

  • relation de dependance piv1

  • relation de dependance triviale

  • relations de dependance

  • v3 ?


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Libert´edessyste`mesdevecteurs
D´edou
Octobre 2010
Relationsded´ependance
Unerelationded´ependance(line´aire)entreparexemplequatre vecteursv1,v2,v3,v4deRnemsecenut,eledorafga´et´li
av1+bv2+cv3+dv4= 0
o`ua,b,c,dsont quatre nombres. Ici,le0dedroiterepr´esentelez´erodeRn.
Exemple Les trois vecteurs
v1:= (1,1,0),v2:= (0,1,1), deR3vltneireecdnnaatioarel´epended ´
v1
+v2+v3
= 0.
v3:= (1,0,1)
Larelationdede´pendancetriviale
Larelationded´ependance0v1+ 0v2+ 0v3+ 0v4= 0, qui est toujours vraie, n’est pas comme les autres, elle ne contient aucune information.Onlappellerelationdede´pendancetriviale. Onsint´eressedoncseulementauxrelationsdede´pendancenon triviales. Exo 1 Trouvezunerelationded´ependancenontrivialeentrelestrois vecteurs deR3:
v1:= (1,1,0),
v2:= (0,2,1),
v3:= (2,0,1).
De´compositionslin´eairesetrelationsdede´pendance
Supposons par exemple qu’on a quatre vecteursv1,v2,v3,v4avec v2sreutsadereaioslnnie´ocbmniia
v2= 3v15v3+πv4.
Onconvertitcetted´ecompositionlin´eaireenrelationde d´dcenontrivialeenmettanttoutlemondedumˆem epen an e coˆte: ´”
v23v1+ 5v3πv4= 0.
Exo 2 Convertissezlad´ecompositionlin´eairev3 d´ependance.
= 3v1
v4
en relation de
Relationsded´ependanceetde´compositionslin´eaires
Inversement,sinosquatrevecteursve´rientlarelationde d´ependancenontriviale
4v1+ 5v3πv4= 0,
onpeutconvertircetteinformationende´compositionline´aire,par exemple :
4 v v35=1
π +5v4.
Exo 3 Convertissezdedeuxfa¸consdi´erenteslarelationdedependance ´ πv1+ 2v33v4.tisolnoie´nieria0e=´endmpco
Monpremiersyste`medevecteurslie´s
Lerangdusyst`emedevecteurssuivantest2:
v1:= (1,1,0),
v2:= (0,2,1),
v3:= (2,0,1).
En effet, on av3=2v1v2. Onditquecesyst`emeestl´ie. On dit aussi qu’il estpe´ddaennt.
Exo 4 Ecrivez
unautresyst`emeli´edetroisvecteursdeR3 .
Monpremiersyste`medevecteursind´ependants
Lerangdusyste`medevecteurssuivantest3(facile!):
v1:= (1,1,0),
v2:= (0,2,1),
v3:= (0,0,1).
Onditquecesyst`emeestlibre. On dit aussi que ses inde´pendants.
Exo 5 Ecrivez
vecteurs sont
unautresyst`emedetroisvecteursind´ependantsdeR3.
Liberte´etind´ependance,meˆmecombat
Onditquunsyste`medevecteursestlibressi sonrangest´egala`sonnombredevecteurs.
Libre=inde´pendant=nonli´e.
Li´e=d´ependant=nonlibre.
Lesconditionsbˆetesdelaliberte´
Unsyste`medevecteursestli´essi undesesvecteursestcombinaisonlin´eairedesautres.
Unsyste`medevecteursestlibressi aucundecesvecteursnestcombinaisonlin´eairedesautres.
Donc pour montrer que les vecteursv1,v2,v3,v4stnadnsontind´epe il faudrait montrer que v1=xv2+yv3+zv4est impossible ; v2=xv1+yv3+zv4 ;est impossible v3=xv1+yv2+zv4est impossible ; v4=xv1+yv2+zv3est impossible.
Laconditiondiaboliquedelalibert´e
Unsyste`medevecteursestlie´ssi ecteursv´rientunerelationdede´pendancenon triviale. ces v e
Unsyste`medevecteursestlibressi saseulerelationdede´pendanceestlatriviale.
Donc pour montrer que les vecteursv1,v2,v3,v4nadnstsontind´epe il suffit de montrer x,y,z,tR, xv1+yv2+zv3+tv4= 0x=y=z=t= 0.
La diab
olique avec des lambdas
Pour montrer que les vecteursv1,v2,v3,v4soepd´innttnsnead il suffit de montrer x,y,z,tR, xv1+yv2+zv3+tv4= 0x=y=z=t= 0.
ntind´ependants
Pour montrer que les vecteursv1,v2,v3,v4so il suffit de montrer λ1, λ2, λ3, λ4R, λ1v1+λ2v2+λ3v3+λ4v4= 0λ1
=λ2
=λ3
=λ4= 0.
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