Liberte des systemes homogenes

De
Publié par

Liberte des systemes homogenes Dedou Octobre 2010

  • decomposition lineaire

  • liberte des systemes homogenes

  • relations de dependance

  • e3 ?


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
Lecture(s) : 14
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 19
Voir plus Voir moins
Lib
ert´e
des
t` sys emes
D´edou
Octobre
homoge`nes
2010
Relationsded´ependance
Unerelationdede´pendance(lin´eaire)entreparexemplequatre ´ ations E 1 E E 3 , E 4 ,cestunee´galit´edelaforme equ , 2 ,
aE 1 + bE 2 + cE 3 + dE 4 = 0
ou` a , b , c , d sont quatre nombres. Ici,le0dedroiterepre´sentel´equationde´bile0=0.
Exemple Lestrois´equations
( E 1 ) x y = 0 , ( E 2 ) y z = 0 , ( E 3 ) x + z = 0
ve´rientlarelationdedependance ´
E 1 + E 2 + E 3 = 0 .
La relation de d´ ndance triviale epe
Larelationded´ependance0 E 1 + 0 E 2 + 0 E 3 + 0 E 4 = 0, qui est toujours vraie, n’est pas comme les autres, elle ne contient aucune information.Onlappellerelationded´ependance triviale . Onsint´eressedoncseulementauxrelationsdede´pendancenon triviales.
Exo 1 Trouvezunerelationded´ependancenontrivialeentrelestrois e´quations
( E 1 ) x y = 0 , ( E 2 ) 2 y z = 0 , ( E 3 ) 2 x + z = 0 .
D´ecompositionslin´eairesetrelationsded´ependance
Supposonsparexemplequonaquatree´quations E 1 , E 2 , E 3 , E 4 avec E 2 combinaisonlin´eairedesautres
E 2 = 3 E 1 5 E 3 + π E 4 .
Onconvertitcetted´ompositionlin´eaireenrelationde ec de´pendancenontrivialeenmettanttoutlemondedumˆeme ˆ cot´e:
E 2 3 E 1 + 5 E 3 π E 4 = 0 .
Exo 2 Convertissezlade´compositionlin´eaire E 3 = 3 E 1 E 4 en relation ded´ependance.
Relationsded´ependanceetd´ecompositionsline´aires
Inversement,sinosquatre´equationsv´erientlarelationde d´ependancenontriviale
4 E 1 + 5 E 3 π E 4 = 0 ,
onpeutconvertircetteinformationende´compositionline´aire,par exemple :
E 3 = 45 E 1 + π 5 E 4 .
Exo 3 Convertissezdedeuxfa¸consdi´erenteslarelationded´ependance π E 1 + 2 E 3 3 E 4 =0ende´compositionlin´eaire.
Monpremiersyst`emelin´eaili´ re e
Lesyste`meline´airesuivantauxinconnues x , y , z , t 2 x 742 yyx ++233 zzy ++44 ztt ===000
atroise´quationsetsonrangnestquedeux.Eneet,sestrois e´quations,not´ees E 1 , E 2 , E 3 sontrelie´esparlarelation E 3 = E 1 E 2 . Onditquecesyst`emeest li´e . On dit aussi qu’il est de´pendant .
Exo 4 Ecrivezunautresyste`meli´edetroise´quationshomog`enesa`quatre inconnues.
Monpremiersyst`emeline´airede´quationsinde´pendantes
Lesyst`eme
2 x +37 yy + 22 z 5 t = 0 z 4 t = 0 4 y + 3 z + 4 t = 0
atroise´quationsetsonrangestaussitrois(facile!). Onditqueces´equationssont inde´pendantes . On dit aussi que ce syste`meest libre .
Exo 5 Ecrivezunautresyst`emedetroise´quationshomog`enes inde´pendantes`aquatreinconnues.
Liberte´etinde´pendance,mˆemecombat
Onditquunsyst`emede´quationshomoge`nesestlibressi sonrangeste´gal`asonnombredequations. ´
Libre=independant=nonlie´. ´
Lie´=d´ependant=nonlibre.
Lesconditionsbˆetesdelaliberte´
Unsyste`mede´quationshomog`enesestli´essi unedeses´equationsestcombinaisonline´airedesautres.
Unsyst`emed´equationshomog`enesestlibressi aucunedeses´equationsnestcombinaisonline´airedesautres.
Donc
pourmontrerqueles´equations E 1 , E 2 , E 3 , E 4 sontind´ependantes il faudrait montrer que E 1 = xE 2 + yE 3 + zE 4 est impossible ; E 2 = xE 1 + yE 3 + zE 4 est impossible ; E 3 = xE 1 + yE 2 + zE 4 est impossible ; E 4 = xE 1 + yE 2 + zE 3 est impossible.
Laconditiondiaboliquedelalibert´e
Unsyst`emed´equationshomog`enesestli´essi sesequationsve´rientunerelationded´ependance non triviale . ´
Unsyste`mede´quationshomog`enesestlibressi saseulerelationdede´pendanceestlatriviale.
Donc
pourmontrerles´equations E 1 , E 2 , E 3 , E 4 sontind´ependantes il suffit de montrer x , y , z , t R , xE 1 + yE 2 + zE 3 + tE 4 = 0
x = y = z = t = 0 .
La diabolique avec des lambdas
Pour montrer les equations E 1 , E 2 , E 3 , E 4 sontinde´pendantes ´ il suffit de montrer x , y , z , t R , xE 1 + yE 2 + zE 3 + tE 4 = 0 x = y = z = t = 0 .
Pourmontrerqueles´equations E 1 , E 2 , E 3 , E 4 sontind´ependantes il suffit de montrer λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 R , λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + λ 3 E 3 + λ 4 E 4 = 0
λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0 .
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.