Maıtrise de mathematiques Statistique

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Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de mathematiques 1998-1999 Statistique 6. Intervalles de confiance et tests 6.1. i) Un echantillon aleatoire de 10 prelevements independants est tire d'une population distribuee suivant une loi normale. Les valeurs sont : 1, 19; 1, 08; 1, 18; 1, 13; 1, 16; 1, 20; 1, 15; 1, 13; 1, 10; 1, 14. Calculer l'intervalle de confiance au niveau 5% de l'esperance et de la variance de la population. ii) Une experimentation sur les globulines a donne les resultats suivants : centres des classes : 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26 effectifs des classes : 2; 6; 13; 17; 17; 38; 10; 17; 6; 5; 2. Calculer l'intervalle de confiance au niveau 5% de l'esperance et de la varince de la population. 6.2. Sur 4000 naissances une enquete releve 2065 garc¸ons. Donner un inter- valle de confiance pour la proportion de garc¸ons, au niveau 5% et 1%. 6.3. On dispose d'un n echantillon de loi indiquee ci-dessous. Donner un estimateur sans biais du parametre. En deduire un intervalle de confiance de niveau ? pour le parametre.

  • opinion favorable

  • probabilite

  • erreur de premiere espece

  • region de rejet de l'hypothese h?0 contre h1

  • inter- valle de confiance pour la proportion de garc¸ons

  • scientifique traite de l'influence du rang de la naissance sur le developpement intellectuel

  • naissance

  • statistique exhaustive


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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Mihai Gradinaru
Maıˆtrisedemath´ematiques1998-1999 Statistique 6. Intervallesde confiance et tests
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6.1. i)tnisdne´lee´evemesttir´ependantshaecn´Unaloilntriotae´l´rp01ede dunepopulationdistribue´esuivantuneloinormale.Lesvaleurssont:
1,19; 1,08; 1,18; 1,13; 1,16; 1,20; 1,15; 1,13; 1,10; 1,14.
Calculerlintervalledeconanceauniveau5%delesp´eranceetdelavariance de la population. ii)atltuisssrlesu´eodase´nnubolenilavtn:staoiemtnelgssnruUn´erieexp
centres des classes :6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26
effectifs des classes :2; 6; 13; 17; 17; 38; 10; 17; 6; 5; 2. Calculerlintervalledeconanceauniveau5%delespe´ranceetdelavarince de la population.
6.2.noensnD.¸roc56ag-nterrunina00saisesnceeunˆuqnretee`le02evSru04 valledeconancepourlaproportiondegarc¸ons,auniveau5%et1%.
6.3.On dispose d’unnitnanollhce´u´iqcieelodendiinussoes-druneon.D estimateursansbiaisduparame`tre.Ende´duireunintervalledeconancede niveauαopelruparam`etre. P 80 i)P(θ;)palpcitaoinnmu:euqire´n= 80,xi= 759. i=1 ii)U[0].
6.4.agessondreunefaiserinO´d-iesnssspoxreupo´eoitsda`nnurueuqe bles.Onsaitparavanceque,grossi`erement,lesdeuxopinionssonta`peu pr`es´equilibr´ees. i)Combien de personnes faut-il interroger pour donner un intervalle de confi-ancedelongueurtotale0,05pourlaprobabilit´edunedesre´ponsesaurisque 5%? Justifiervos approximations. ii)imerere`ou(paprlinnasutterDguudtnioperpis,euvestteunardiutveon re´ponse,parexemple)lavaleur0,475delavaleur0,525,avecunrisquede 5% et une puissance de 99%, combien de personnes doit-on interroger?
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6.5.pesoislbenssrunu00personpr`esde9adnouaegiafasnutOn-idome cationdelaConstitution.Lesopinionsfavorablesrepr´esentaient40,1%des r´eponses. i)aoncnaneceasymptotiuqruiendtennirveeaavuldledceocneD´eretnemi 95%pourlaprobabilit´edunere´ponsefavorable.Pre´ciserlemode`leetles approximations. ` ii)A la suite d’une intense campagne d’explication en faveur de cette modifi-cationonvadenouveaufaireunsondage,maisavecpourobjectifle´valuation delecacite´delacampagneetnonlestimationdelaproportiondeperson-nesfavorables.Lacampagneaurae´t´evraiment efficacesi l’opinion favorable est devenue majoritaire.Combien de personnes devra-t-on interroger si on veutdie´rencieravecdesrisquesde5%lessituations:lacampagnenaeu aucuneecacit´econtrelacampagneae´t´evraiment efficace”?
6.6.Soit (X1, . . . , Xn) unne´-chantillondeloiN(θ, θ),θ >0. i)xeeusuahevittsE.erosesuntitaiqstrPpoet?lpe`cemoe-ll ii)e.eld`moudrehsiFednoitamnforrliouveTr iii)etD´decneesiaalbmimumdevreurdemaxetsmitareimenlrθ. Montrer quilestbiaise´,maisasymptotiquementsansbiais.Quelleestsaloiasympto-tique? P n 1 iv)Mtronquernge´ne´lareMn=Xin’est pas un estimateur (sans n i=1 biais) asymptotiquement efficace deθ. v)elruemlitseleueludonivea,dentest,e´nedQθ= 1 contreθ >1? Indiquer laformedesre´gionsderejet. vi)seruPersotpfoosned´runautretMndnqieulredsI.´esrongiorafdeme rejet. vii)seeddeceascnupsierlamparreco´esidnOntoiupsastteuxθ= 2.On se place dans le casnt`rsergnadcest-`a-dire,,n↑ ∞. Donnerune expression approch´eedelare´gionderejetetdelapuissancedupremiertest.
6.7.Soit (X1, . . . , Xn) unnnthaloilec-´snede´tilednedio f(x, a) = (1/a) exp(x/a)1I[0,[(x), a >0. i)nemieretD´medruetamitselrsembvraiumdeaximdeealcna. Cetestima-teur est-il efficace? ii)Qleuelestettsnufiro´mmenetpluspuissantdeaa0contrea > a0au risqueα? iii)Calculer approximativement la zone de rejet de ce test poura0= 1,
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n= 50 etα= 0,est la puissance au point05. Quellea= 2? iv)si´eunre,snsndioedec59,0iupenassDansllapourocdntioiseˆmmese contre-hypothe`seanthaec´edllaiete´rpli-tuafnollireiuolvl2=q?,
6.8.Soit (X1, . . . , Xn) unnmale-ch´enaitllnoedolniroN(0,1). ˆ i)Calculerθl’estimateur de maximum de vraisemblance deθun. Construire estimateur sans biais deθ. Cetestimateur est-il efficace, asymptotiquement efficace? ii)Construire le test le plus puissant deθ= 1 contreθ >1. Sin= 15 et si P 15 2 x= 6,Calculer approximativement8, effectuer le test au risque 5%. i=1i la puissance de ce test enθ= 2,3,4,5`aldiasedelbatedseislodeetinsser la fonction puissance. iii)Construire le test le plus puissant deθ= 1 contreθ6= 1.Effectuer le testaurisque5%pourlesmˆemesdonne´esquaupointpre´ce´dent.
6.9.lereunitriepedv´tafanOenduaisvepardunurpnpxuotirforud danslessupermarch´esetdautrepartsurlesmarch´eslocaux.Ondispose doncdedeuxse´riesdobservationsdetaillesnx= 9 etnyOn a obtenu= 21. P 9 2 commer´esultats,respectivementmx= 25,10, (ximx) =0,228, et i=1 P 21 2 my= 24,92, (yjmy1) =,ese`te(syhsehtoprstleteesndiquezl26.I j=1 sipossible)quondoitfairepourre´pondrea`laquestion:peut-onconclurea` l´egalit´edesprixdeceproduitdanslesdeuxtypesdepointdevente?
6.10.spleOns.engetaarxuednOoseddispr´ele25pemtne`evugnissna etonlesenvoiea`deuxlaboratoiresdi´erentespourundosagehormonal. Lesre´sultatssontfourniesdansuntableauetonobtientainsimx= 172,16, P 25 2 2 ,v= 311 my= 172,72,v= 2444,85y3,64, (1/25) (xiyi) =0,56 et x i=1 P 25 2 (1/25) (xiyi8) =,eszccorsena´ecid?Preriotaroli-tnoss2abslLe5. i=1 leshypothe`sesfaites.
6.11.Un scientifique traite de l’influence du rang de la naissance sur le d´eveloppementintellectuel.Enchoissantlesmeilleurscandidatsduncon-cursonconstatequesur568e´tudiantsprovenantdefamillesde2enfants, lesaˆın´ese´taientenproportionde66%. i)Sipealtsborplibae´tirdsahaausioichntaidute´nuuqruopxciueapmr quiproviennentdunefamillede2enfantssoitunaˆıne´,quellevaleurdep signifie-t-elle la non-influence?
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