Maıtrise de mathematiques Statistique mathematique

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Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de mathematiques 1998 Statistique mathematique 4. Estimateurs sans biais 4.1. Soit (Xi, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (µ, ?2). a) A l'aide de (T1, T2) = ( ∑n i=1 Xi, ∑n i=1 X 2 i ) construire un estimateur sans biais pour le couple (µ, ?2). b) Rappeler quelle est l'information de Fisher. L'estimateur est-il effi- cace? Existe-t-il un estimateur efficace? c) Si on s'interesse au risque quadratique pour ?2 seul, construire un meilleur estimateur de ?2. 4.2. Soient (?i, i = 1, . . . , n) un n echantillon de loi N (0, ?2) et (xi, i = 1, . . . , n) une suite de reels connus. On observe Yi = ?xi + ?i, i = 1, . . . , n. a) Calculer l'information de Fisher du modele. b) En s'inspirant de la droite de regression, proposer des estimateurs de ? et ?. Sont-ils sans biais? Efficaces? 4.3. Soient (T1, . . . , Tk), k estimateurs sans biais d'un parametre ?, avec cov(Ti, Tj) = ?ij .

  • x0 de loi ?

  • couple de loi nor- male d'esperance et de covariance

  • estimateur sans biais de ?

  • estimateurs sans biais

  • estimateur sans biais


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Mihai Gradinaru
Maıˆtrisedemathe´matiques1998 Statistiquemathe´matique 4. Estimateurssans biais
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2 4.1.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnedolihce´nollitnaN(µ, σ). P P n n 2 ` onst stimateur a) A l’aide de (T1, T2) = (Xi, Xi) cruire un e i=1i=1 2 sans biais pour le couple (µ, σ). b) Rappeler quelle est l’information de Fisher.L’estimateur est-il effi-cace? Existe-t-ilun estimateur efficace? 2 c)Sionsinte´resseaurisquequadratiquepourσseul, construire un 2 meilleur estimateur deσ.
2 4.2.Soient (εi, i= 1, . . . , n) unnantillon´echioledN(0, σ) et (xi, i= 1, . . . , nesun)ervenobsus.Oocnneesled´riuetYi=αxi+εi,i= 1, . . . , n. a)CalculerlinformationdeFisherdumode`le. b)Ensinspirantdeladroiteder´egression,proposerdesestimateursde αetβ. Sont-ilssans biais?Efficaces?
4.3.Soient (T1, . . . , Tk),kseiasbanssurtematiar`mteersidnuapθ, avec cov(Ti, Tj) =σij. a)Parmilescombinaisonslin´eairesdesTi, trouver l’estimateur sans biais de variance minimale. b) Siσij= 0 pouri6=j, quelle est cette variance minimale? c) Application:si on dispose dekeialldstentdaenepd´innslolitnahce´ 2 2 ni,i= 1, . . . , k, de loisN(µi, σ), proposer un estimateur sans biais deσ. Est-il efficace?
4.4.Pour estimer la proportionp, inconnue, d’un certain type de pois-sondansunlac,ond´ecidedepˆecherjusqu`aobtenirnpoissons de ce type. SoitNProposer un estimateur dele nombre total de prises.p. Montrerque l’estimateur (n1)/(N1) est sans biais.Est-il efficace?
4.5.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unn´indlnltoohiaeelcP(λ). a)CalculerlinformationdeFisherdumod`ele. b) Proposer un estimateur sans biais ”intuitif” deP(XeduiEnd´=0).er un estimateur sans biais de variance minimale. c) Cet estimateur est-il convergent?Efficace?
4.6.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnanch´eram`depas2etrenoeditllmaamolgi et 1.
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a) Proposer un estimateur sans biais et efficace deθ. 2 b) On poseλ= 1. Calculerla borne de Cramer-Rao et montrer qu’il n’existe pas d’estimateur efficace deλ.
4.7.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnemrofinuiolednol0r[suechantil´, θ]. a) Proposer un estimateur exhaustif deθ. b)End´eduireunestimateursansbiaisdeθQu’yet calculer sa variance. a-t-il de remarquable?
2 4.8.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnednoiol´eanchlltiN(σ, σ). Montrerque ¯ Xn’est pas efficace.
2 4.9.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unnndloilnthaec´leioN(µ, σΦ est la). Si fonctiondere´partitiondelaloiN(0,settnde´rmuienerrseua)t,im1siaibsna 2 de Φ(µ/σ). Quelleest la borne de Cramer-Rao, lorsqueσest connu? lorsqueµest connu?
4.10.Soit (Xi, i= 1, . . . , n) unniolednolliet´nhacB(1, p), 0< p <1. ¯ a) Construire un estimateur dep(1plai)`aededX. Est-ilefficace? a b)Onsinte´ressea`estimerp,o`uanleynntˆoimeer.Soitelsetpuo P n Qa(x) =x(x1). . .(xa+ 1).Montrer queQa(Xi)/Qa(n) est un i=1 a estimateur sans biais dep. c) Trouver toutes les fonctions depadmettant un estimateur sans biais? d) Donner un estimateur dep/(1ppossible de construire un). Est-il estimateursansbiaisdecettequantit´e?
4.11.Soit (Xi, Yi, i= 1, . . . , n) unnnahcllite´upledeloondunconiro-maledespe´ranceetdecovariance,respectivement    θ1θ , , 2 θ θ1 +θ
ou`θIR. a)Montrerqueladensite´ducouplevaut
2 22 (1/2π) exp{−(1/2)[(1 +θ)(xθ)2θ(xθ)(yθ) + (yθ) ]}.
Donnerunestatistiqueexhaustive.Est-elleminimale?Compl`ete? P P n n ¯ ¯ˆ ¯¯ 11 b) On noteXn=n Xi,Yn=n Yietθ1= (Xn+Yn)/2. i=1i=1 ˆ Montrer queθ1est un estimateur sans biais deθet calculer sa variance. c)TrouverlinformationdeFisherdumode`le.
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ˆ d)Montrerquelecacit´edeθ1est au plus 4/5.
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4.12.Soit{ξn:n1}es,devar.centr´eaicneneud.i.i.a.vedetius 2 σnO´dein.reurelncartpecr´iusaet{Xn:n1}. SoitX0de loiρ, inde´pendantedelasuite{ξn:n1}. EnsuiteXn+1=θ Xn+ξn+1u`o, 0<|θ|<1. a) Montrer que{Xn:n1}rkovadmettantetsnuceahıˆenedaM uneloistationnairedontoncalculeralespe´ranceetlavariance.Onpourra n1n2 conside´rerlasuiteUn=θ ξ1+θ ξ2+. . .+ξn. R 0 b) On suppose que les v.a.ξnis´tenoltdanef´veriantf= 0, R ´ 02 (f /f)<bonOvres.juneusqacelˆıhanatnitsa`ln. Ecrirel’information deFisherassoci´eeettrouverune´quivalentquandn↑ ∞.
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