Maıtrise de Mathematiques Statistiques

Publié par

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 6. Intervalles de confiance 6.1. Soit (X1, . . . ,Xn) un n-echantillon de loi P?, ? ? ?. Trouver des fonctions pivotales et ensuite deduire des intervalles (ou regions) de confiance de coefficient de securite 1?? ? [0,1] pour le parametre ?. a) ? = R et P? = N (?,1) (loi normale avec variance connue); b) ? = R?+ et P? = N (0,? 2) (loi normale avec esperance connue); c) ? = R? R?+ et P? = N (m,? 2) (loi normale); d) ? = R+ et P? = E(?) (loi exponentielle). 6.2. Soit (X1, . . . ,Xn) un n-echantillon de loi uniforme sur [0,?], ? ? ?. Trouver une fonc- tion pivotale et ensuite indiquer un intervalle de confiance pour ? de coefficient de securite 1? ? ? [0,1]. 6.3. Soit (X1, . . . ,Xn) un n-echantillon de loi P?, ? ? ?. Trouver des intervalles de confiance asymptotiques pour ? de coefficient de securite 1? ? ? [0,1].

  • parametre ?

  • opinion favorable

  • loi normale

  • estimation de la proportion de personnes favorables

  • intense campagne d'explication en faveur

  • coefficient de securite

  • intervalle de confiance


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 33
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Mihai Gradinaru
MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 6. Intervalles de confiance
1
6.1.Soit (X1, . . . ,Xn) unnch´e-nollitnaPioledθ,θΘ. Trouver des fonctions pivotales et ensuitede´duiredesintervalles(oure´gions)deconancedecoecientdese´curite´1α[0,1] pourleparam`etreθ. a)Θ =Ret Pθ=N(θ,1) (loi normale avec variance connue); 2 b)Θ =Ret Pθ=N(0cevaelamnare´pseorinlo)(nnuececo); + 2 c)Θ =R× N(m,σ) (loi normale); R+et Pθ= d)Θ =R+et Pθ=E(θ) (loi exponentielle).
6.2.Soit (X1, . . . ,Xn) unnsumeorifunoielndollitnahce´-[r0],θΘ. Trouver une fonc-tion pivotale et ensuite indiquer un intervalle de confiance pourθ´ecurit´eeocedsedtneic 1α[0,1]. 6.3.Soit (X1, . . . ,Xn) unn´e-anchllitednoPiolθ,θΘ. Trouver des intervalles de confiance asymptotiques pourθe´1´scerutidentiecoeecdα[0,1]. a)Θ = [0,1] et Pθ=B(1) (loi de Bernoulli); b)Θ =R+et Pθ=P(θ) (loi de Poisson).    2 m1σ0 1 llon de loiN. 6.4.Soit ((X1,Y1), . . . ,(Xn,Yn)) unn-naite´hc2,2 m20σ 2 2 2 a)On suppose queσ=σ(inconnues) et on veut trouver un intervalles de confiance de 1 2 coecientdese´curit´e1α[0,tr`eepelrmara1uop]θ=m1m2. On pourra d’abord indiquer la loi de la fonction pivotale q   2 2 Tn(θ() =XY)θ /S+S . X Y b)esetiancsvar´edeurinuoevturtnoevncodeesllvaerntecnaneOnppsuge´tilapesolsul 2 2 decoecientdese´curit´e1α[0,erte1]pourleparam`τ=σ /σ. On pourra d’abord 1 2 indiquer la loi de la fonction pivotale 2 S 0,X Tn(τ) =τ . 2 S 0,Y 6.5.Soit (X1, . . . ,Xn) unndnoliolehaecilnt-´N(θ,1) (voir aussi l’exercice6.1.a). Montrer quelintervalleale´atoire[X1,X+ 1]contientθtecnouclaarelteC.e´uqlitibobaenrpvecua probabilit´ed´epend-t-elleden? Trouver ensuite le plus petitnpour garantir un intervalle de confiance pourθde longueur au plus 1/ueeqosppsuonSientdecideco49,.5´t0eucirsee´ 2 2 la loi estN(θ,σ), avecσinconnu, trouver le plus petitnpour garantir un intervalle de confiance pourθde longueur au plusσ/´sedtneie´tiruce.900,oec4dec 6.6.Soit (X1, . . . ,Xn) unnmrofruse0[-e´hcantillondeloiuni],θΘ et soitXn= max{X1, . . . ,Xn}(voir aussi l’exercice6.2). On veut construire deux types d’intervalles ale´atoirescontenantθ: [aXn,bXn], 16a < bet [Xn+c,Xn+d], 06c < d. Calculer
Mihai Gradinaru
Pθ(θ[aXn,bXn]) ainsi que Pθ(θ[Xn+c,Xn+dpr´equeler?f´er.)eL]
2
2 6.7.Soit (X1, . . . ,Xn) unn´e-dleltoniianlcohN(m,σin-,o)tressontrapxe`maelu`ueds 2 connus.Trouverunintervalledeconancedecoecientdese´curit´e1α, pourσen termes de deux constantesa,b >0 (voir aussi l’exercice6.1 b). Trouver les conditions qui doivent satisfaireaetbpour que l’intervalle soit le plus court possible. Donner ensuite les valeurs deaetblorsqueα= 0,1 etn= 3. Comparer l’intervalle obtenu avec celui qu’on trouve en 2 utilisantlesler´eelyα/2tel que P(Y >yα/2) =α/2,Yχ(n1).
6.8.Soit (X1, . . . ,Xn) unnelndloiloitnahce´-B(1). Reprendre la partie a) de l’exercice 6.3anqut´tieeitunasilaltnθ(1θ) a la place deX(1X) pour rechercher l’intervalle de confiance.
n 6.9.Soienta,b:RRtelles quea(x)6b(x) pour toutx, et Pθ(a(X)6θ) = 1α1 et Pθ(b(X)>θ) = 1α2. Calculer Pθ(a(X)6θ6b(X)).
Mihai Gradinaru
3
6.10. a)naite´hclae´llnoredeatoi´el´10prstnemevenepe´dnistsentdauedr´tienonpUupalitno distribu´eesuivantuneloinormale.Lesvaleurssont:
1,19; 1,08; 1,18; 1,13; 1,16; 1,20; 1,15; 1,13; 1,10; 1,14.
Calculerlintervalledeconanceauniveau5%delespe´ranceetdelavariancedela population. b)urnsioatbulosglepxeenUtnemire´ltat´esuvantssuiasodilenelrsnne´:s
centres des classes: 6;8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26
effectifs des classes: 2;6; 13; 17; 17; 38; 10; 17; 6; 5; 2. Calculerlintervalledeconanceauniveau5%delespe´ranceetdelavariancedela population(distribue´esuivantuneloinormale).
6.11.ecnannnre.soDc¸nog5radecoalletervuninusecneenian0nassevl`06e2ˆequreteSur400 pourlaproportiondegarc¸ons,auniveau5%et1%.
6.12.ibleposscatmodileaoidnagndupeaesr`90derep0nnosusseenurOanaftinuos Constitution.Lesopinionsfavorablesrepre´sentaient40,1%desre´ponses. a)rupo5%e9ncaonecudaevinedeuqitotpmanceasylledeconintnreavreimenuretD´ laprobabilite´duner´eponsefavorable. ` b)A la suite d’une intense campagne d’explication en faveur de cette modification on va denouveaufaireunsondage,maisavecpourobjectifl´evaluationdelecacit´edela campagne et non l’estimation de la proportion de personnes favorables. La campagne aurae´te´vraiment efficacesi l’opinion favorable est devenue majoritaire. Combien de personnesdevra-t-oninterrogersionveutdie´rencieravecdesrisquesde5%lessi-tuations:lacampagnenaeuaucuneecacite´contrelacampagnea´ete´vraiment efficace”?
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.