Maıtrise de Mathematiques Statistiques

Publié par

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 8. Tests statistiques : modele lineaire, tests non-parametriques 8.1. On observe les variables aleatoires Xi = ? + ?ti + ?i, i = 1, . . . , n, ou (?1, . . . , ?n) est un n-echantillon de loi N (0, ?2) et t1, . . . , tn sont des reels connus. On veut estimer le parametre ? = (?, ?, ?2). a) Construire l'estimateur du maximum de vraisemblance pour ?? = (???, ???, ??2,?) de ? = (?, ?, ?2). b) Montrer que ??? et ??? sont sans biais et calculer leur variances. Trouver leurs lois. Montrer que si t = 1n ∑n i=1 = 0 alors ?? ? et ??? sont non- correlees. c) Construire le test de rapport de vraisemblance pour ? = 0 contre ? 6= 0 de niveau ? ?]0, 1[. Construire le test de rapport de vraisemblance pour ? = 0 contre ? 6= 0 de niveau ? ?]0, 1[. Application: n = 27 et ? = 0, 05. d) Ecrire des intervalles de confiance pour ?, pour ? de coefficients de securite 1 ? ? ?]0, 1[.

  • points au milieu des intervalles

  • test de ?2

  • contre ?

  • resultats de l'exercice precedent pour les donnees suiv- antes

  • ecrire des intervalles de confiance pour ?

  • coefficient de securite

  • loi gaussienne de parametres


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 20
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Mihai Gradinaru
MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 8.Testsstatistiques:mod`eleline´aire,testsnon-parame´triques
1
8.1.seavirbaboesvrletoireslneOsal´eaXi=β+γti+εi,i= 1, . . . , n,uo` 2 (ε1, . . . , εn) est unnahtn´-ceoindelilloN(0, σ) ett1, . . . , tntnossel´esrde 2 connus.Onveutestimerleparame`treθ= (β, γ, σ). ˆ a)Construire l’estimateur du maximum de vraisemblance pourθ= ∗ ∗d2,2 c c (σγ ,β ,) deθ= (β, γ, σ). c c ∗ ∗ b)Montrer queβetγsont sans biais et calculer leur variances. Trouver P 1n ccleurs lois. Montrer que sit= =0 alorsβetγsont non-n i=1 corr´el´ees. c)Construire le test de rapport de vraisemblance pourβ= 0 contreβ6= 0 de niveauα]0,1[. Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα]0,1[. Application:n= 27 et α= 0,05. ´ d)Ecrire des intervalles de confiance pourβ, pourγde coefficients de se´curite´1α]0,rusteuir1[on.C(ruopecnioegr´neaonecndβ, γ) decoecientdes´ecurit´e1α]0,1[. Application:n= 27 etα= 0,05.
8.2.-ivsues´ennodselruoptnede´cedlxereicecrpe´uerlesr´esultatspAqilp antes : t15 20 25 305 10 x0,10 0,21 0,30 0,35 0,44 0,62 etα= 0,prusdi´eveouvoz-ruedP.50eralavelXent0= 17.
8.3.iaObnloebssaelrvelesvarse´taioerXi=β+γ(tit) +εi,i= 1, . . . , n, 2 ou`(ε1, . . . , εn) est unnanti´ech-iedolllnoN(0, σ),t1, . . . , tndentsoslee´rs P 1n connus ett0.= = n i=1 a)Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα]0,1[. ´ b)Ecrire des intervalles de confiance pourγe´tis´deurecccoideetsen 1α]0,1[.
8.4.ussee´nnodselruotpenedc´´eprceciiv-edlxereseluatstuerlesr´Appliq antes : t3,80 3,72 3,67 3,60 3,54 x1,36 1,23 1,09 0,82 0,61
Mihai Gradinaru
etα= 0,uvPo5.0rile´rdeuopszev-eeurdavalXent0= 17.
2
8.5.siarappanutnesueeqrvseesacsfle06f0cne´nOboio.sUnstlad´ee certainnombredefoisindiqu´edansletableausuivant: 1 2 3 4 56 100 94 103 89 110 104 Au niveauα= 0,´eesiledters1tes.e´uqurtt
8.6.esipuletedecp`esenUvtee-iouge,rosuleurs:rtrorsioceptuvaio olet.Lexp´eriencemontrequecescouleursapparaissentavecprobabilit´es, 1 38 respectivement ,et .Un statisticien commande 60 tulipes au hasard 12 1212 etilrec¸oit6rouges,18roseset36violets.Testerlavalidit´edumode`leau niveauα= 0,05.
8.7.ed`01a00tnon´tseLmaisonatsetsitvededrioougrsopeueiqundrend seulement des qualificatifs : TB pour points entre 90 et 100, B entre 75 et 89, M entre 60 et 74, F entre 50 et 59 et enfin I pour points entre 0 et 49. Lecorrecteuraimeraitavoiruner´epartitiondunombredepointsobtenus deloigaussiennedeparame`tres75et81.Apre`savoircorrige´iltrouve: T BB M F I 3 1210 4 1 Testerlhypothe`seducorrecteurauniveauα= 0,05.
8.8.t:anivsuauleMˆemequolrtebaeutsoipn n690 90< n6100 100< n6110 110< n6120 120< n6130n >130 10 1823 22 189 2 Pour estimermetσon pourra prendre les points au milieu des intervalles ainsi que 65 pour le premier intervalle et 160 pour le dernier.
8.9.On observe les temps de panne d’une machine. On utilise un appareil qui donne en fait les logarithmes de ces temps de panne. Les observations sont: 2,88; 3,36; 3,50; 3,73; 3,74; 3,82; 3,88; 3,95; 3,95; 3,99; 4,02; 4,22; 4,23; 4,23; 4,23; 4,43; 4,53; 4,59; 4,66; 4,66; 4,85; 4,85, 5,16. 2 a)erstl`adeaiundevnOettudestteχthpohylsediolaleuqese` logarithmesdestempsdepanneestuneloinormaledeparame`tres log(50) = 3,iance0,2912etvarar´dcemo.5nOopruresopRen in-tervallesayantchacunlaprobabilite´1/4.Montrerquepourlaloi N(3,912; 0,25) il s’agit des intervalles ]− ∞; 3,575], ]3,575; 3,912], 2 ]3,912; 4,249] et ]4,249;[. Appliquer le test deχveniplauusnua` petitque0,3,ainsiqua`unniveauplusgrandque0,4.
Mihai Gradinaru
3
b)onn´mesdsmˆendleofsiteetiacseemsuerqteesatnvio-calnrOreep loiestuneloinormale,maissansconnaˆıtrelesparam`etres.Montrer que4,150et0,2722sontdesestimationssansbiaispourlespe´ranceet lavariance.Ond´ecomposeRteinalrvsqleauualcevˆmsesemeopnit pr´ece´dent.Calculerlesprobabilit´esdecesintervallespourlanouvelle 2 loi et appliquer ensuite le test deχeuqt72,0sulpitepniunauve.`a Pr´eciserlenombrededegre´sdelibert´e. c)opvoetruS-vonrimthpose`eersthyltUlisireudKolmogorletestde pointa)neivorpsnoitavreoielundntnese-t,csobsueleireq`a-dN(3,912; 0,25).
8.10.petyecsdr´´eleeauopspelrtiteje´drAeteuneUmngasanievdnedxu B.Leproprie´taireobservequeleshommesetlesfemmesnache`tentpasau hasardetilveutsavoirsilyainde´pendanceentrelesexedelacheteuret lamarquedec´ere´alesachete´e.Ilbaˆtitletableausuivant: A B Homme 96 Femme 1316 2 Construire un test deχecteoccnuler.dind´ependan
8.11selued´r:atsttetronnoypesoistlppatnostese´uqiraxteuDtsenemit
traitement A traitement B
gu´erison 280 220
ame´lioration 210 90
e´tatstationnaire 110 90
2 Construire un test deχemenraitnttssodtie´ope´omohne´gsierstle´eurditu di´erents?
8.12.testersicecaracte`ersetnOeurvseobt`acarnciof12eretuevnO.s deloinormaledeparam`etres2et1parletestdeKolmogorov-Smirnov: 0,3; 0,7; 0,9; 1,2; 1,4; 1,4; 1,5; 1,5; 1,6; 1,9; 2,0; 2,1; 2,1; 2,3; 2,5; 2,6; 2,7; 3,0; 3,8; 3,9; 4,0.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.