Maıtrise de Mathematiques Statistiques

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Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 7. Tests statistiques : construire et evaluer 7.1. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soient ?0 > ?1. Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H : ? = ?0 contre A : ? = ?1. Indiquer le test de niveau ? ?]0,1[ pour ? = ?0. Application : ?0 = 10, n = 25 et ? = 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour ?1 = 9? 7.2. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soit ?0 un reel fixe connu. On veut tester H : ? 6 ?0 contre A : ? > ?0. a) Montrer que le test de rapport de vraisemblance est ?(x) = { 1 si √ n(x? ?0) > c 0 sinon, ou c est une constante. b) Ecrire la fonction puissance ? : R? [0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c) On veut que ?(?0) = 0,1 et que ?(?0 + 1) = 0,8. Montrer qu'alors c = 1,28 et n = 5.

  • animaux mesuree au bout

  • montrer par calcul direct

  • constante

  • choix de la constante

  • memes conditions

  • region de rejet

  • puissance au point

  • test en ?


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Mihai Gradinaru
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MaıˆtrisedeMath´ematiques2003-2004 Statistiques 7.Testsstatistiques:construireete´valuer 7.1.Soit (X1, . . . ,Xn)nleiotanhlcieo´l-dnN(θ,1) et soientθ0> θ1. Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H:θ=θ0:contre Aθ=θ1. Indiquer le test de niveauα]0,1[ pourθ=θ0. Application:θ0= 10,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour θ1= 9?
7.2.Soit (X1, . . . ,Xn)nnahce´-ondetillloiN(θ,1) et soitθ0e´leurnnO.utueve´xnnoc tester H:θ6θ0:contre Aθ > θ0. a)Montrer que le test de rapport de vraisemblance est 1 sin(xθ0)> c φ(x) = 0 sinon, o`ucest une constante. ´ b)Ecrire la fonction puissanceβ:R[0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c)On veut queβ(θ0) = 0,1 et queβ(θ0+ 1) = 0,8. Montrer qu’alorsc= 1,28 etn= 5. d)On ne fixe plusn. Trouvercpour que le test soit de niveauα]0,1[ pourθ6θ0. S’agit-il d’un test u.p.p. contreθ > θ0? e)Application :θ0= 9,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test enθ1= 10?
7.3.Soit (X1, . . . ,Xn)n-hce´itnallondeloiN(θ,1) et soitθ0urne´lexerstettuevnO.unnoce´ H :θ>θ0contre A:θ < θ0. Montrer que le test de rapport de vraisemblance est 1 six < θ0gα/ n ψ(x) = 0 sinon, ´ o`ugαest telle que P(G > gα) =α, avecGvariable gaussienne standard. Ecrire la fonction puissance de ce test et montrer que ce test est de niveauαpourθ>θ0et u.p.p. contreθ < θ0.
7.4.Soit (X1, . . . ,Xn)nednoiol-´echantillN(θ,1) et soitθ0.unOocnnevtunruel´e´ex construire des tests pour tester H:θ=θ0contre A:θ6=θ0. a)cOrn´eit{θ=θ0}={θ6θ0} ∩ {θ>θ0}. Utiliser l’exercice7.2pour construire un test 0 deθ6θ0contreθ > θ0avec une constantecet ensuite l’exercice7.3pour construire 00 un test deθ>θ0contreθ < θ0avec une constantec.End´eduirequige´raleedno √ √ 0 00 rejetdutestrecherch´eest{n(xθ0)> c} ∪ {n(xθ0)< c}. Que devient ce test 0 00 lorsqu’on posec=c >0? b)Construire directement le test du rapport de vraisemblanceφet comparer avec le test trouve´aupointpre´c´edent.Quelestlechoixdelaconstantepourqueletestsoitde niveauαpourθ=θ0. c)Montrer par calcul direct que ce test satisfait les conditions suivantes Eθ[φ(X)] =αet 0 Eθ0[(X)] =αEθ0[Xustlree´aplriuerd´ed].Entsetsnastiganudusqsilduaturco biais de niveauαpourθ=θ0u.p.p. contreθ6=θ0. Dessiner le graphe de sa fonction puissance.
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2 2 7.5. i)Soit (X1, . . . ,Xn)nt´n-acheollilednioN(θ,σ). On suppose queσest inconnu. Construire les tests de rapport de vraisemblance pour tester respectivement a)H :θ6θ0contre A:θ > θ0; b)H :θ>θ0:contre Aθ < θ0; c)H :θ=θ0contre A:θ6=θ0. Pre´cisercestestspourquilssoientdeniveauα= 0,05 lorsquen= 25. ii)noituopsemeˆseuqiolrMlaN(1).
2 2 7.6.Soit (X1, . . . ,Xr)rilonahce´-ednollitN(m1) et (Y1, . . . ,Ys)sntillondeloi´-ceahN(m2). 1 2 Lesdeuxe´chantillonssontinde´pendants. 2 2∗ ∗ a)On poseθ= (m1,m2,σ ,σ)R×R×R×R. Construire le test de rapport de 1 2+ + c2 2 vraisemblance pour tester H:θΘ0contreθΘuΘ,`o0={θΘ :σ=σ}. 0 12 2 22 b)On suppose cette fois-ci qu’en effet,σ=σ=:σmaconnisineL.uarapte`meserdarans 1 2 2ce casθ= (m1Construire le test de rapport de vraisemblance ,m2)R×R×R+. c pour testΘ ,ou` Θ={θΘ :m=m}. er H:θΘ0contreθ0 01 2 Pre´cisercestestspourquilssoientdeniveauα= 0,1 lorsquen= 10.
7.7.Soit (X1, . . . ,Xn) unnrmnoealndlooielceahtnli´-N(0,1). P 15 2 a)Construire un test deθ= 1 contreθ >1. Sin= 15 et six= 6,8, effectuer i=1i le test niveau 5% pourθ= 1. Calculer approximativement la puissance de ce test en θ= 2,3,4,sttel-issannpuietesce.Cenlrseistcoifanosdleabsttdseoiela`5ededial u.p.p. contreθ >1? b)Construire le test u.p.p. contreθ6= 1 au niveau 5% pourθ.see´nnodsemeˆmsleurpo=1
7.8.Soit (X1, . . . ,Xn) unntlneliioocleadhnsnt´i-eded´e
f(x,a) = (1/a) exp(x/a)1l[0,[(x), a>0.
a)Quel est le test u.p.p. contrea > a0au niveauαpoura6a0. b)erejiondr´egntlarutsopecetteedlaCelucppraxirotimamevea0= 1,n= 50 etα= 0,05. Quelle est la puissance au pointa= 2? c)reop59,0edtnocalruˆmmeseocDnalsseio,s´enditndnsiossiuecnaerispenua= 2, quelletaillede´chantillonfaut-ilpr´evoir?
7.9.SoitpR. On observe unnnsit´e-´haectnlioldnleioeded + 2 f(x,p) =p xexp(px)1l{x>0}. a)Quel est le test le plus puissant contrep=p1de niveauαpourp=p0? b)Quel test proposez-vous pour testerp=p0contrep > p0oup6=p0?
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7.10.seinetaoiuerror´tdnpeenti´edmoits:laneltocvirx¸eeruerrounnOnohcocstitep02ti sousformedecacahue`tescruesetlautresousformedecacahue`tesgrill´ees.Onveutsavoir silefaitdegrillerlescacahue`tesauneetsurlaugmentationdepoidsdespetitscochons. Laugmentationdupoids(encentainesdegrammes)desanimauxmesur´eeauboutdune semaineest(premie`relignepourlecascrues,xe´ll,se,xu`ialedourlemepgriecasy):   62 56 61 58 60 44 56 60 56 63 . 53 51 62 55 59 56 61 54 47 57
a)rivaesedt´liga´exuedselsnadsecnasaunllonanti´echicesrPe´5u.%viaeesrl-hyTesterlpoth`eses. b)tpectnaE-acanltl´eerdleessvcaalit´deeggarliireeputquloe-fceninroinas´edcr,es cahue`tesauneinuencesurlacroissancedespetitscochons(onferauntestauniveau 5%).
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