Marches aleatoires et applications a la finance

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Marches aleatoires et applications a la finance Marc et Francine DIENER 14 fevrier 2000

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Publié le : mardi 1 février 2000
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Marches al´eatoires
et applications a` la finance
Marc et Francine DIENER
14 f´evrier 20002Table des mati`eres
1 Contrats d’option et leur couverture 5
1.1Optionseurop´ennes....................................... 5
1.2 Un mod`ele binaire a` une seule ´etape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Un mod`ele a` deux ´etapes; couverture dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Equations aux diff´erences d´eterministes 9
2.1Tauxconstant........................................... 9
2.2Tauxvariable........................................... 10
2.3 Equation aux diff´erences infinit´esimale et ´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4Actualisation........................................... 11
3 La marche de Wiener 13
3.1 Deux points de vue compl´ementaires sur la marche de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Les trajectoires W(ω) et leur probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Les variables al´eatoiresW ............................... 15t
4 La marche al´eatoire de Cox, Ross, et Rubinstein 17
4.1 Trajectoires (espace des ´etats) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 La probabilit´e de calcul, et les marches Π et Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
∗4.3 Marches al´eatoires associ´ee au bruit-blanc (δW ) ................... 20t∈]0..T]t
5 Esp´erances conditionnelles 21
5.1 Un nombre appel´e esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Une v.a. appel´ee esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Une marche al´eatoire appel´ee esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Application au prix d’une option europ´eennes 27
6.1 Couverture dynamique et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Application : le formule de Cox, Ross, et Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 Vers la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 La formule de Black et Scholes 31
7.1 Rappels d’asymptotique infinit´esimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 Calcul asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2.1 Asymptotique de a.................................... 33n
7.2.2 Asymptotique de ................................... 34a Rp a−1 n−a7.2.3 de I(a,p):= t (1−t) dt .................... 340
7.3 Preuve de la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
1Notes du cours de Licence Mass de Marc et Francine Diener a` l’Universit´e de Nice-Sophia-Antipolis sur les marches
al´eatoires appliqu´ees a` la finance. Ce cours avait ´et´e pr´ec´edemment assur´e par Imme van den Berg. Nous reprenons de
nombreuses id´ees introduites alors.
3`4 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Contrats d’option et leur couverture
1.1 Options europ´eennes
Notons S la cote (le prix), `a l’instant t, d’un actif sur un march´e donn´e.t
L’exemple le plus naturel d’actif est sans doute celui d’une action cot´ee en bourse, comme l’action Micsft ou Netscp sur
le NASDAQ ou AmOnLne sur le NYSE. Mais cela peut aussi ˆetre le cours d’une mati`ere premi`ere ou d’un produit agricole
tel 50.000 livres de boeuf sur le march´e de Chicago.
Nousverronsauchapitre3(etlessuivants)unmod`elemath´ematiquepourS=(S ) .Nouspouvonst t∈T
n´eanmoins poser d`es `a pr´esent la d´efinition suivante : On appelle option (europ´eenne) sur S, de date
d’´ech´eance T, un contrat souscrit `a la date t = 0, assurant au souscripteur, le paiement d’une somme
ϕ(S ), ou` ϕ est une fonction donn´ee.T
L’option Call est l’option qui assurea` son d´etenteur de pouvoir acheter, `a la date d’´ech´eanceT,l’actif
+ +S a` un prix maximal K; on a donc ϕ (s)=(s−K) ,ou`x vaut x six>0 et 0 sinon. L’optionCall
Put assure a` son d´etenteur de pouvoir vendre, a` la date T, l’actif S au prix minimum K; on a donc
+ϕ (s)=(K−s) . Le nombre K s’appelle le prix d’exercice (ou strike) de l’option.Put
On retrouvera, `a la figure 1.1 la description des deux options les plus courantes : l’option Call et l’option Put. Les
contrats d’option sur actions ont eux-mˆeme fait l’objet d’une n´egociation en bourse au d´ebut des ann´ees 70 sur le Chicago
Board of Trade (CBOT). Il y a donc ´egalement un prix de march´e des options telles que le Call et le Put.
Le propre d’un contrat d’option tient a` ce que, a` la date t = 0 de souscription, la valeur de ST
n’est pas connue. Il convient de comprendre un tel contrat comme un contrat d’assurance. Le vendeur
de l’option est l’assureur, l’acheteur l’assur´e : il s’agit d’un contrat de transfert de risque moyennant un
prix. A la diff´erence des contrats d’assurance de sinistre pouvant intervenir avec une probabilit´e et ou`
l’assureur r´eduit le risque qu’il a pris en diversifiant ses risques, on dispose aujourd’hui de mod`eles et
de calculs math´ematiques suffisamment efficaces pour que l’assureur puisse - dans les limites du mod`ele,
bien entendu - vendre sans risque un unique contrat, moyennant un certain travail bien d´ecrit qu’il devra
effectuer tout au long de la dur´ee du contrat. Ce travail consiste a` g´erer un portefeuille de couverture
selon une strat´egie que nous allons d´ecouvrirprogressivement.Dans ce chapitre, nous consid´ereronsdeux
situations tr`es simples montrant le m´ecanisme essentiel. Le cas g´en´eral s’obtient par simple r´ep´etition
en grand nombre du m´ecanisme, et une mise en forme (= mise en “formules”) au moyen du langage des
marches al´eatoires et du calcul y affairant.
Le point essentiel pour l’approche expos´ee ici est que le march´e soit “liquide”, c’est-`a-dire que l’on puisse acheter ou
vendre l’actif, au prix indiqu´e, en quantit´e arbitraire. Ceci est bien entendu une id´ealisation, un achat en grande quantit´e
sur une courte p´eriode provoquant g´en´eralement une hausse et analogue pour une vente. Les premiers contrats d’option
´etaient des contrats sur cours agricole.
Exercice 1.1 Apr`es avoir ´etudi´elad´efinition d’un Call et d’un Put, indiquer comment au moyen d’achat
et vente de Call et Put synth´etiser les options d´efinies par les fonctions de pay-off de la figure 1.2.
1.2 Un mod`ele binaire `a une seule ´etape
Soit S un actif valant 120 `a la souscription du contrat et dont on est assur´e qu’il ne pourra, a` la date
d’exercice, que prendre l’une des deux valeurs 180 ou 60. A noter qu’on ne dispose d’aucune information
surlesprobabilit´esde chacunedecesdeux issues.Voici commentassurer,sansrisque,un contratd’option
europ´eennede fonctionde paiementϕ. C’est l’id´ee,fondamentale,deporte feuille decouverture,compos´e
56 CHAPITRE 1. CONTRATS D’OPTION ET LEUR COUVERTURE
ϕ (S) ϕ (S)
SK K S
Fig. 1.1:Fonction de paiement d’un call et d’un Put : l’option Call est l’option qui assurea` son d´etenteur
de pouvoir acheter, a` la date d’´ech´eanceT, l’actifS a` un prix maximalK.SiS ≤K, l’option aura doncT
une valeur nulle pour t = T.SiS >K, l’option vaudra S −K pour t = T, c’est-`a-dire la diff´erenceT T
entre le prix maximal convenu K et le prix effectif S de l’actif `a la date T. Pour une option Call, onT
+ +a donc ϕ (s)=(s−K) ,ou`x vaut x six>0 et 0 sinon. L’option Put assure `a son d´etenteur deCall
pouvoir vendre, `a la date T, l’actif S au prix minimum K. En examinant successivement les cas S ≥KT
+et S <K, il est facile de voir que ϕ (s)=(K−s) . Le nombre K s’appelle le prix d’exercice (ouT Put
strike) de l’option.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Fig. 1.2: Fonctions de pay-off de quelques options standard : (a) straddel, (b) strangel, (c) bull spread,
(d) bear spread, (e) butterfly spread, (f) condor.` ` ´1.3. UN MODELE BINAIRE A DEUX ETAPES; COUVERTURE DYNAMIQUE. 7
de a actifs et b unit´es mon´etaires (euros, par exemple). A la date T, la valeur Π de ce portefeuille seraT
Π =aS +b (1.1)T T
a` supposer que b ne soit pas porteur d’interˆets. Nous voulons que
Π =ϕ(S ) (1.2)T T
+ −et comme S ne peut prendre que deux valeurs S = 180 et S = 60, la relation (1.2) est ´equivalenteT
au syst`eme

+ +aS +b = ϕ(S )
(1.3)− −aS +b = ϕ(S )
Les inconnues sont a et b; ce syst`eme admet une (unique) solution ssi le d´eterminant de sa matrice est
non nul, c’est-`a-dire
+ −S −S =0,
ce qui est pr´ecis´ement le cas ici.
++Prenons l’exemple d’un Call de prix d’exercice K = 80. On a ϕ(S)=(S− 80) , donc ϕ(S )=0
−+ +ϕ(180) =(180−80) = 100, et ϕ(S )=ϕ(60) = (60−80) = 0; le syst`eme devient donc0

a180+b = 100
(1.4)
a60+b =0
d’ou` la sloution a=10/12 et b = −50 < 0. En pratique, le portefeuille de couverture doit comporter
a=10/12 d’actifs et une dette (b<0) de |b| = 50, somme que le financier emprunte pour constituer
son portefeuille a` la date t = 0, lorsque S vaut S = 120. Soit Π la valeur du portefeuille. A t = 0, ce0
portefeuille vaut donc Π , avec0
10
Π =aS +B = 120−50= +50.0 0
12
Le financier assurant, sans risque, ce contrat doit donc le facturer (hors frais...) au prix Π = 50, cette0
10somme, ajout´ee a` l’emprunt de 50, constituant la somme n´ecessaire a` l’achat de d’actifs. Dans ce12
mod`ele, simpliste, du comportement de S , le prix de l’option Call est donc Π = 50.T 0
Afin de bien assoirla compr´ehensionde cette d´emarche,observonsquelles sont les situations possibles
+ 10`a la date T (c’est une paraphrase du syst`eme 1.4). Si S = S = 180, les actifs valent 180 = 150;T 0 12
+ +le financier doit payer ϕ(S ) = (180−80) = 100 au d´etenteur de l’option, et il lui reste exactement0
− 1050 pour rembourser son emprunt. Si S = S = 60, les actifs valent 60 = 50; ici encore, il resteT 0 12
exactement de quoi rembourser la dette. Notons que pour que le syst`eme (1.4) admette une solution, il
− +suffisait que S =S , ce qui est pr´ecis´ement l’origine du sens du contrat : s’il n’y avait qu’un seul prix0 0
`at =T, il n’y aurait pas besoin d’assurance!
1.3 Un mod`ele binaire `a deux ´etapes; couverture dynamique.
Consid´erons une situation un peu plus ´elabor´ee. Soit un titre valant S = 80 et changeant deux fois0
de prix avant l’´ech´eance en T =2δt. Observons que dans l’exemple pr´ec´edent nous avions, `a t = δt,
+ 1 − 1S =S =S (1+ )ouS =S =S (1− ). Supposons qu’ici S suive un processus analogue :δt 0 δt 00 02 2
1 1S =S (1± ),S =S (1± ).δt 0 2δt δt2 2
Cela donne (figure 1.3)
S = 80 devient S =120 ou S = 40 (1.5)0 δt δt
S = 120 devient S = 180 ou S =60 (1.6)δt 2δt 2δt
S = 40 devient S = 60 ou S = 20 (1.7)δt 2δt 2δt
Reprenons le cas d’une option Call, avec date d’exercice T =2δt et prix d’exercice K = 80; `a noter
que K =S : on dit que c’est une option “`a la monnaie”.0
Observons que si S = 120 nous retrouvons l’exemple pr´ec´edent et comprenons que le portefeuille deδt
couverture, dans ce cas, doit valoir
Π (si S =120) = 50.δt δt
668 CHAPITRE 1. CONTRATS D’OPTION ET LEUR COUVERTURE
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 0.5 1 1.5 2
Fig. 1.3: Une patte-d’oie : ´evolution sur deux ´etapes d’un actif a` dynamique stochastique binaire, avec
S = 80 et S =S (1±0.5).0 t+δt t
Qu’en est-il si S = 40? Ici gu`ere n’est n´ecessaire de faire des calculs : par (1.7) S (si S = 40) vautδt 2δt δt
60 ou 20. Comme ces deux valeurs sont inf´erieures a` K = 80, on aura toujours ϕ(S (si S = 40)) =2δt δt
+(S (si S =40)−K) = 0, et donc2δt δt
Π (si S =40)=0,δt δt
puisqu’il n’y a plus rien a` couvrir dans ce cas.
Pla¸consnousa`l’instantt = 0;nouscomprenonsqu’ilnousfautcomposerunportefeuilledecouverture
(a ,b ) satisfaisant `a a S +b =Π , c’est-`a-dire au syst`eme0 0 0 δt 0 δt
+ +
a 120+b = a S +b =Π (si S =S )=500 0 0 0 δt δt0 0 (1.8)− −
a 60+b = a S +b =Π (si S =S )=0,0 0 0 0 δt δt0 0
± 5avec S :=S (1±0.5). On trouve imm´ediatement a = et b =−25, d’ou`0 0 00 8
5
Π =a S +b = 80−25= 25.0 0 0 0
8
R´esumons : cette nouvelle situation nous conduit `a une option dont le prix est Π = 25, auquel on ajoute0
5unmontant25qu’onemprunte,letoutservant`aacheter d’actifs`a80pi`ece.Si,pourt =δt,S a´evolu´ea`
8
5labaisseetqueS = 40, on solde leportefeuille; laparten actifsne vautplus quea S = 40=25,soitδt 0 δt 8
exactement de quoi rembourser la dette b = 25. Si, pour t =δt, S a´evolu´e `a la hausse et que S = 120,0 δt
5nous avons vu dans l’exemple pr´ec`edent que le portefeuille doit `a pr´esent comporter a = ; comme ilδt 6
5 5 5 10y a d´ej`a d’actifs dans le portefeuille, il convient d’en racheter − = au prix unitaire S = 120,δt8 6 8 48
10donc pour une valeur de 120 = 25, que l’on emprunte, ce qui porte la dette totale a` 25+25 = 50,48
comme dans le premier exemple, bien entendu.
Voil`a; c’est aussi simple que cela et cela s’appelle de la couverture dynamique, c’est-`a-dire que l’on
modifie la composition du portefeuille de mani`ere dynamique, un synonyme pour composition ´evoluant
en fonction du cours. Le cas g´en´eral consiste simplement `a passer d’un mod`ele `a 2 ´etapes a` un mod`ele `a
n ´etapes, et a` tenir compte du fait que les emprunts d’argents ne sont pas gratuits et sont soumis a` un
paiement d’int´erˆets. Pour ce faire, le langage des marches al´eatoires – ou r´ecurrences `a choix multiples
– est remarquablement commode. Nous allons mettre ce langage en place et reformuler la strat´egie de
la couverture dynamique dans ce cadre. Nous calculerons ´egalement la limite de Π lorsque n tends vers0
l’infini, ce qui nous donnera la fameuse formule de Black et Scholes, introduite ind´ependament par ces
deux auteurs d’une part, et Merton d’autre part, en 1973, ce qui valut le prix Nobel d’´economie a` ses
auteurs en 1997.Chapitre 2
Equations aux diff´erences
d´eterministes
Nous abordons ici le calcul avec les i-petits dans le cadre d’un probl`eme qui est souvent abord´e
0au moyen des ´equations diff´erentielles ordinaires y = f(t,y) : le calcul des int´erˆets compos´es et de
l’actualisation.
La monnaie est, notamment, la mat´erialisation d’un droit a` acqu´erir un bien. La finance traite de la
gestion de ce droit au travers du temps et des risques attach´ees `a l’organisme auquel on d´el`egue ce droit
pour une dur´ee que nous noterons Δt. Nous abordons ici le cas ou` l’on estime que ce risque n’existe pas.
La dette souverained’´etats jug´esstables est, actuellement, ce qui s’apparente le plus a` ce mod`ele. Notons
B et B un titre mat´erialisant un mˆeme droit, mais pouvant s’exercer a` deux dates distinctes t ett t+Δt
t+Δt, avec t≤t+Δt. On note R{Δt} le nombre tel quet
B =B (1+R{Δt}) (2.1)t+Δt t t
1La quantit´e R{Δt} s’appelle le taux d’int´erˆet, a` la date t, pour une dur´ee Δt. La question d’´elaborert
un mod`ele math´ematique r´ealiste de R{Δt} est un probl`eme difficile, objet de recherches actives. Noust
abordons ici la question plus facile pour Δt fix´e et R{Δt} une fonction (d´eterministe) de t. Sur unt
“compte ´epargne”, Δt est par exemple de 15 jours, avec R{δt}=0 pour 0≤δt<Δt.t
2.1 Taux constant
Soit r fix´e. V´erifions que (2.1) est satisfait par
rtB :=B e (2.2)t 0
o`u nous supposerons que B =0. Par (2.1) nous voyons que0
r(t+Δt) rtB e =B =B (1+R{Δt})=B e (1+R{Δt})0 t+Δt t 0
rtet donc, en simplifiant par B e = 0, nous avons0
rΔt ∗1+R{Δt}=e =: 1+R {Δt}t
∗o`u R {Δt} est ind´epentant de la valeur de t : nous disons que (2.2) est un mod`ele `a taux constant. Soit
k quelconque; par (2.1) on a
∗ r(t+kΔt) rΔt k ∗ kB (1+R {kΔt})=B =B e =B (e ) =B (1+R {Δt}) ,t t+kΔt 0 t t
d’ou,` en rapprochant les extr`emes
∗ ∗ kB (1+R {kΔt})=B (1+R {Δt}) , (2.3)t t
quiestlaformuledesint´erˆetscompos´esqui,pourkentiernaturel,afaitlesbeauxjoursdesmath´ematiques
financi`eres de l’enseignement ´el´ementaire.
1En finance, si Δt≤ 1an on parle de “taux d’int´erˆets a` court terme”, et sinon de “taux d’int´erˆets a` long terme”
9
66´ ´10 CHAPITRE 2. EQUATIONS AUX DIFFERENCES DETERMINISTES
Nous pouvons nous poser la question s’il existe un autre mod`ele que le mod`ele (2.2) pour lequel la
formule´el´ementaire des int´erˆets compos´es est vraie pour tout t, tout Δt=1/n, et tout entier k≥ 0. Soit
r ∗r tel que e =1+R {1},etT =kΔt =k/n.Ona
k k k∗ ∗ ∗ r rTn nB =B =B (1+R {kΔt})=B (1+R { })=B (1+R {1}) =B e =B e .T 0+kΔt 0 0 0 0 0
n
rTNous voyons donc que n´ecessairementB =e pour tout T =k/n rationnel, et donc aussi pour tout TT
r´eel si l’on suppose que la fonction T 7→B est continue. Il n’y a donc pas d’autre mod`ele que (2.2) quiT
satisfasse la relation ´el´ementaire des int´erˆets compos´es.
Exercice : Montrer, a` partir de la formule (2.1), la formule g´en´erale des int´erˆets compos´es suivante :
(1+R{kΔt})=(1+R{Δt})(1+R {Δt})(1+R {Δt})...(1+R {Δt}).t t t+Δt t+2Δt t+(k−1)Δt
2.2 Taux variable
Si le taux d’int´erˆet R{Δt} n’est pas constant avec t, il est utile de consid´erer le cas ouΔ` t est petit.t
Nous formalisons cela en consid´erant
δt>0 , un nombre i-petit fix´e. (2.4)
Il est naturel de penser qu’en premi`ere approximation le taux d’int´erˆet R{Δt} est une fonction lin´eairet
de Δt lorsque Δt est i-petit. Notons r(t) le coefficient de lin´earit´e. En d’autres termes, pour tout t limit´e
et tout Δt i-petit, nous postulons que
R{Δt}=(r(t)+/)Δo t,t
o`u /o est le symbole g´en´erique pour un r´eel infinit´esimal que nous ne souhaitons pas pr´eciser au del`a de
connaˆıtre son ordre de grandeur. A ce stade ´el´ementaire, nous supposerons que t7→r(t) est une fonction
standard. La formule (2.1) implique que
B =B(1+(r(t)+o/)δt). (2.5)t+δt t
et T =nδt sont limit´es et si la fonction t7→r(t) est en outre continue sur [0,T],Proposition 2.1 Si B0
alors
T r(s)ds+/o
0B =B e . (2.6)T 0
2.3 Equationauxdiff´erencesinfinit´esimaleet´equationsdiff´erentielles
Introduisons la notations
δB :=B −B . (2.7)t t t−δt
La relation (2.5) devient
δB =B (r(t)+/o)δt,t+δt t
et comme, au vu de la proposition 2.1, les solutions restent i-voisines des solutions de
δB =B r(t)δt, (2.8)t+δt t
2c’est par ce type de r´ecurrencesque nous mod´eliserons le coursB d’une obligation , ou plus pr´ecis´ementt
obligation `a z´ero-coupon.A noter que ceci peut encore s’´ecrire
δBt+δt
=r(t)B ,t
δt
etlaproposition2.1montrequelasolutiond’uneteller´ecurrencerestei-voisinedelasolutiondel’´equation
diff´erentielle
0B =r(t)B
T r(s)ds0telle que B(0) =B , puisque B e n’est autre que cette solution.0 0
2c’est-`a-dire un actif financier dont la valeur au cours du temps est connue, et qui est suppos´e sans “risque de d´efaut” :
si vous pr´etez B `a votre banque, celle-ci vous doit B apr`es un temps t. Il est important de comprendre que sur un march´et0
ouvert, il ne peut y avoir qu’un seul mod`ele de fait de placement sans risque en vigueur, sans quoi il y aurait possibilit´e
d’arbitrage, c’est-`a-dire d’enrichissement sans prise de risque.
RR

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