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de profil-urra-2012

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Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIEI:Calculdiff´erentiel.
Feuille Ie´nctiFoepluonsdsravisueel:sirbara´eeng´,lest´lic,setimitiunitno
1.1)Ge´ne´ralit´es.Fonctions de plusieurs variables, domaine de de´finition, image. Graphe, traces et courbes de ni veau. 1.2) Limite d’une application en un point.miLdetienulppau,inic´t.erPpoiricationenunpoint,sn(oest´´eioaterp´ gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul. 1.3)Continuit´e.onncitteiso,nfeioDn´seioaterp´(oest´´eirporP.selpmexettinuscontionfoncnoedisitmoopsnc, usuelles).
Exercice 1 D´etermineretrepre´senterlesdomainesded´enitionpourchacunedesfonctionssuivantes. p 1 2 a.f(x, y) =x+y.b.f(x, y2) = x+y.c.f(x, y) =p. 2 2 x+y p 2 2 1x44 + y d.f(x, y) =.e.f(x, y) = arcsin(x+y).f.f(x, y) =p. x+y 2 2 9xy p 2 g.f(x, y) =xsiny+ ln(x+ 5y).h.f(x, y) = ln(1xy).i.f(x, y) = ln(x+y) p 1 2 2 2 j.f(x, y, z) = 4xyz.k.f(x, y, z) =. x+y+|z|
Exercice 2 Dessiner (a` l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes : 1.f(x, y) = cosxnsavctioersesinttnele´emcesipe´rircr´e.Dioatndsnuqe´elcealps{y=k}. 2 2 2.f(x, y) = 4x+y. 3.f(x, y) =xy. Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement a`{z= 1}et{z=1}. 2 2 4.f(x, y) =xy.
Exercice 3 De´terminer l’ensemble image des fonctions suivantes : a.f(x, y) = cosxb.f(x, y) = ln(2xy+ 1).
2xy c.f(x, y) =y e.
2 2 d.f(x, y) =xy.
Exercice 4 De´terminer si les fonctions suivantes ont une limite en(x, y) = (0,0)et donner leurs valeurs si elles existent. 2 2 2 2 2 xy x2xy+y xy+y a..b..c.. 2 2 2 2 2 2 x+y x+y x+ 4xy+y 2 x y1 +x+y|xy| d..e..f.. 2 2 2 2 2 2 x+y xy x2xy+y  ! −|xy| 2 2 1 +x+y 2 2 x2xy+y y1/y g.eh.sinyi.|x|.j.|x|. y 2 6 2 2 (x+y)xy xy x+y k..l..m..n.. 2 2 6 8 4 4 x+y x+y x+y x+y 4 2 sinxsinysinxsinxysinx+ (1cosy) o..p..q..r.. 4 4 shxshycosychx xsiny4x+y
1
1cos(xy) s.. 2 y
3 3 x+y w.. 2 2 x+y
ch(xy)cos(xy) t.. 2 2 x y
3 3 xy x.. 2 2 x+y
sinxy u.. xsiny
2 2 2 2 [(x1) +y] ln[(x1) +y] y.. |x|+|y|
Exercice 5 Etudier la continuite´ des fonctions suivantes. ( 3 (x+2y) 2 2si(x, y)6= (0,0), x+y a.f(x, y) = 0si(x, y) = (0,0) ( sin(xy) siy6= 0, y b.f(x, y) = xsiy= 0 ( 2 x |y| esiy6= 0, c.f(x, y) = 0siy= 0 xy e1 2 2si(x, y)6= (0,0), x+y d.f(x, y) = 0si(x, y) = (0,0)
( 3 5 x y 2 2 2 (x+y) e.f(x, y) = 0   2 2 1 (x+y) sin xy f.f(x, y) = 0
4 4 sinx+ siny v.p. 4 4 x+y
α |y| z., 2 x+|y|
αR.
si(x, y)6= (0,0), si(x, y) = (0,0)
sixy6= 0, sixy= 0
Exercice 6 2 2 x y a.Ve´rifier que la fonction de´finie pour(x, y)6= (0,0)parf(x, y) =posse`de la proprie´te´ suivante :les 2 2 2 x y+ (xy) limites ite´re´eslim limf(x, y)etlim limf(x, y)seamsiixeensttstet´onalegfn’a pas de limite en(0,0). x0y0y0x0 1 1 b.e´ireqreualofcntiond´eniepourVxy6= 0parf(x, y) = (x+ysin) sin osplepa`sde´iteorrpivan´esute:aucune des x y limitesite´r´eeslim limf(x, y)etlim limf(x, y)n’existe maisfa bien la limite nulle en(0,0). x0y0y0x0
2
Feuille II:Calcul differentiel IMath 202 PC erD´´eivapseeitrsellrpuderm´nunsioctonsfelruoperdroreimee.nelltionirece´derevi.s´Dqieu 1 itnn,io´eit´e,ditnelibafidare´facontinusaires(lsn´nceseocdntioiape´tilelleitrad,l´eitbivari´e(Lnaetndit),coufsionsC). Proprietessurlasomme,leproduitdefonctionsdiff´erentiables. La diffe´rentielle :df=fxdx+fydyontin´liireauaeoellenudppaeacil.Ladiff´erentintL.pefennaegaltnZf(x0, y0) = fx(x0, y0)(Xx0) +fy(x0, y0)(Yy0). ruelmunsteseava`ar2vbliaecrldeasiFinpsuosimenestdesAccro´eor`emeThs,niFitsensimeccoredAs´tsegaliIn´eues.eriq applications au calcul d’incertitudes.
Exercice 1 Calculer,enchaquepointdeleurdomaineded´enition,lesde´riv´eespartiellesdepremierordrepourlesfonctionssuivantes. y x/y2 a.3.b.cos(x+y).c.arctan. 2 x 1 d.p.e.ysin(xz).f.tan(arctanx+ arctany). 2 2 1 +x+y+z
Exercice 2 Etudierlacontinuit´e,lexistenceetlacontinuite´desd´eriv´eespartiellesdesfonctionsd´eniespar: x|y| a.f(x, y) =p, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. 2 2 x+y 2 2 2 2 b.f(x, y) =x yln(x+y), si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. 1 p c.f(x, y) = (x+y) sin(p), si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. Discuter suivant les valeurs de l’entierpN. 2 2 x+y x 2 d.f(x, y) =ysin, siy6= 0,f(x,0) = 0. y 3 3 sin(x+y) e.f(x, y) =, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. 2 2 x+y xsinyysinx f.f(x, y) =, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. 2 2 x+y
Exercice 3 1.Calculer pour chacune des fonctions suivantes la de´rive´e directionnelle dans la direction donne´e : a.sinx+ cosyen(0,0)dans la direction du vecteur(cosθ,sinθ)avecθ= 0,π/6ouπ/3. 2 2 2 b.zxyen(1,0,1)dans la direction du vecteur(4,3,0). c.xyzxyyzzx+x+y+zen(2,2,1)dans la direction du vecteur(2,2,0). 2 2 3 d.xz+y+zen(1,0,1)dans la direction du vecteur(2,1,0).
2 2.Soitf:RRde´finie par : 3 y f(x, y) =p, si(x, y)6= (0,0),f(0,0) = 0. 2 4 x+y a.Montrer quefest continue en(0,0). −→2−→ b.Montrer que pour tout vecteurvnon nul deR, la de´rive´e directionnelle defen(0,0)suivantvexiste et la calculer.
Exercice 4 1/3 Ve´rifier que la fonctionf(x, y) = (xy)etsoctnniseue,quev´ri´esditrapseesellexf,yfexis`altentnimerogieualiaqs d´erive´edirectionnellenexistedansaucuneautredirection.
Exercice 5 p a. Ve´rifier que|xy|pasdiff´nestneelnerebait(0,0). b.Etudierladiff´erentiabilit´edesfonctionsd´eniesdanslexercice2.
3