Math Z Mathematische Zeitschrift

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Math. Z. 171, 51-73 (1980) Mathematische Zeitschrift 9 by Springer-Verlag 1980 Spectre conjoint d'op rateurs pseudo-diff rentiels qui commutent II. Le cas int~grable Yves Colin de Verdiere Laboratoire de Math6matiques Pures, Institut Fourier d6pendant del'Universit6 Scientifique etM~dicale de Grenoble, B.P. 116, F-38402 St. Martin d'Heres, France Dans cet article, nous poursuivons l'6tude entreprise dans \[8\] du spectre conjoint de plusieurs op6rateurs pseudo-diff6rentiels qui commutent. Soit X une variOt~ C a compacte de dimension d, on se donne sur X, d opkrateurs pseudo- diff~rentieIs P1,..., Pa d'ordre 1, autoadjoints par rapport /tune densit6 dx, qui d commutent, dont les symbotes ous-principaux sont nuls et tels que ~, P7 est j=l elliptique. On veut 6tudier le spectre conjoint de ces op6rateurs, non plus ~t l'aide de formules de traces comme dans \[8\], mais en utilisant les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov \[18, 9, 16\] et \[5\]: en effet, si pj d6signe le symbole principal de Pj, les fonctions pj forment un syst6me maximal de fonctions en involution et la fibre g6n6rique de l'application p=(pl, ...,Pal): T*X\O- , IRd\0 est un tore lagrangien.

  • spectre

  • symbole classique

  • structure symplectique

  • op6rateurs pseudo-diff6rentiels

  • tore lagrangien

  • action symplectique

  • r6sultat classique sur les coordonn6es actions

  • dites conditions de quantification


Publié le : lundi 18 juin 2012
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51-73
d'op rateurs pseudo-diff rentiels
commutent
II. Le cas int~grable
Yves Colin de Verdiere
Dans cet article, nous poursuivons l'6tude entreprise dans [8] du spectre
conjoint de plusieurs op6rateurs pseudo-diff6rentiels qui commutent. Soit une
compacte de dimension on se donne sur X,
P1,..., d'ordre autoadjoints par rapport /tune densit6 dx, qui
commutent, dont les symbotes sous-principaux sont nuls et tels que ~, P7 est
j=l
elliptique. On veut 6tudier le de ces op6rateurs, non plus l'aide
de formules de traces comme dans [8], mais en utilisant les conditions de
quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov [18, 16] et [5]: en effet, si pj
d6signe le symbole principal de les fonctions pj forment un syst6me maximal
de fonctions en involution et la fibre g6n6rique de l'application p=(pl, ...,Pal):
T*X\O-, IRd\0 est un tore lagrangien. Malheureusement, l'application est
rarement une fibration localement triviale et on doit essayer de faire des
hypoth6ses pas trop restrictives sur la nature des singularit6s du feuilletage
lagrangien ainsi obtenu: l'hypoth6se la plus simple que l'on semble amen6/t faire
est que l'alg6bre des fonctions homog6nes des pj admet des g6n6rateurs
dont les riots hamiltoniens sont 2rc-p6riodiques: les fibres de sont
alors essentiellement les orbites de Faction symplectique d'un tore: une telle
action est relativement facile &udier, car il s'agit de Faction d'un groupe de
Lie compact sur une vari6t6 et qu'on sait qu'une telle action se Une
lois 6tudi6e les hypoth6ses g6om6triques sur d, ce qui est l'objet des deux
premiers paragraphes, on s'attaque l'6tude du spectre. De fagon parall61e
l'alg6bre d, on introduit l'alg6bre des op6rateurs de la forme f(P~,...,P~) off
est un symbole classique et on cherche les g6n6rateurs de sr
s'inspirant des techniques de [27] et [7], on construit parmi les op6rateurs de sr
admettant qj comme symboles principaux, des op6rateurs de Qj de sr tel que
exp cj Id et donc Spectre ..., o~ #~TZd/4 est un
tain indice de Maslov. On 6tudie alors le spectre joint des on prouve que
=q(T*X\O), est un poly~dre c0nique au r6seau {#}: cela veut
dire en particulier que les points du rdseau ne sont pas sur le bord de mais
r6partis 6galement de part et d'autre de celui-ci. On prouve alors, qu'/t un
0025-5874/80/0171/0051/$04.60
si = Laboratoire C ~adapt6>> f j, opkrateurs B.P. (27ziQj) d conjoint d conjoint (Q1, Pures, d, Fourier a d'Heres, c p ~ Spectre d spectre + de {#} Q 2gd+ p C Institut Grenoble, F pseudo- F Cer- Martin 9 France by X diff~rentieIs Pj, 9, F
2g Qd)
<<bons>>
zur
~t
<<lin6arise>>.
(qj)~_<_j__<~
~~ zur
~t
1, Pa
variOt~
St. F-38402 116, de M~dicale et Scientifique
l'Universit6 de d6pendant Math6matiques
qui
1980 Springer-Verlag Zeitschrift
(1980) 171, Z. Math. Mathematische ensemble fini prbs spectre(Q1,..., Qe)---(;ge+ F, tousles points du spectre
(sauf peut ~tre un nombre fini) ayant la multiplicit6 cela permet d'introduire
comme dans [7], un indice absolu associ6 s],
i(~) F} Cardinal {spectre(Q ....
La relation avec les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov
est alors tr6s simple: si est un point de 2gd+{#}c~F, q-1(2) est un tore
lagrangien v6rifiant les dites conditions de quantification: un hombre fini pr6s
de points, on obtient ainsi une bijection entre le spectre joint des et
l'ensemble des tores lagrangiens Hqj-invariants satisfaisant les conditions de
quantification. Cette 6tude du spectre se fait l'aide de la forme normale du
paragraphe on utilise alors comme mod61es des alg6bres d'op6rateurs
construites partir d'oscillateurs harmoniques: l'oscillateur harmonique stan-
dard sur H=89 -~-+t ayant le spectre remarquable 89
Enfin, dans les deux derniers paragraphes, on 6tudie des applications des
r6sultats ou des techniques 6tudi6es au cas du spectre du laplacien sur une
surface de r6volution: on obtient alors une information trbs pr6cise sur le spectre
et sur la r6partition asymptotique des valeurs propres. On applique enfin tout
ceci l'6tude du spectre de 1;6quation de SchrSdinger sur ce qui permet de
pr6ciser certains rdsultats de [12, 27, et 8].
N.B.: Tousles op6rateurs pseudo-diff6rentiels et int6graux de Fourier seront
suppos6s classiques, c'est-5.-dire que leur symbole adment un d6veloppement
asymptotique en composantes homog6nes d'ordres entiers. Si est muni d'une
densit6 dx, le symbole sous-principal d'un op6rateur pseudo-diff6rentiel Pest
bien d6fini: c'est celui de l'op6rateur/3: f(dx) P(f)(dx) qui op~re sur les
densit6s. On le note sub (P), le symbole principal d'un op6rateur 6tant not6 p,
etc ..... On note le gradient symplectique d'une fonction sur une vari6t6
symplectique.
Forme normale pour des actions symplectiques de tores
Soit (Z, une vari~t~ symplectique de dimension 2d, (lR/2n2[) un tore; on
suppose qu'on s'est donn6 une action symplectique de sur Z. On veut &udier
une forme normale pour cette action au voisinage de l'orbite d'un point de Z.
Soit Y= G.z cette orbite qui est diff~omorphe un tore de dimension f. Soit
T* ((~/2 d- ~)d on d6finit une action symplectique
de sur muni de la structure symplectique canonique de la faqon suivante;
identifiant ~-r avec ~d-e de la fagon usuelle, on note (xl, ..., xt; --.,
z~+l, ...,za) un point de o, ..., un point de et on d6finit par:
.... (x, ..., (xl 0, ..., x~+ 0t; ~, ..., ~; zt+ ....
Sous les hypotheses prSc~dentes, il existe un homomorphisme
diffdrentiable p: et un diffdomorphisme canonique d'un voisinage U, G-
invariant de dans Z, sur un voisinage Go-invariant de (IR/2~7/)~ dans
~ q G G = = 1.1. ,0~), k S P /t n Colin (IR/2 ~o((0~ = ~ O + G o e + ei~ {p} G 89 z o de Z Uo, {p})c~ t Z X za)) ~ 7 Z 2 G fi A 2 = O , 1 o 1 Z , <<Cardinal Th@or~me G o o 1. o Y (01, Qe)} = 1 G - T*(1R
{0}
zae~O~).
]~o 0d)
~e; 41,
]~o ~), IR riTZ)
5.
co)
Hq
--*
IR,
5.
1,
Qz
,~
>~' c~ {2~
5.
1,
Verdiere Y. 52 Zo, tel que diagramme suivant commute:
G ~U
IZ
(on peut ehoisir de la forme ~eW, voisinage de t, ]z~[<e (e~>0
donnOs)).
Soit l'alg6bre de Lie de et la base canonique de chaque est
associ6 un champ de vecteurs hamiltonien sur Z, on suppose que ces champs
admettent des fonctions g6n6ratrices (on note les objets analogues pour
Faction de sur Zo: q~ pour q~-7[zi] o_1 pour i>#).
Corollaire existe des entiers et des tels que:
-1= jq~
j=l
Corollaire Si G=Go(k=d et que est g~n&iquement principale
matrice prdcddente est dans GL(d;
Corollaire Dans le cas on peut construire un et
prdc#dents restent vrais dans cette
Le mod6le homog~ne est obtenu en prenant dans l'ouvert ~:~0 et les
d4finis par:
qj ~j, <j
l. =~tqj 11~112)11~11 d+l<-J<--
06 (y~+ ..., "', sont les coordonn6es canoniques dans T*(IRd-r
Remarque 1.5. Le cas k=d=d est le r6sultat classique sur les coordonn6es
actions angles.
Preuve de Soit le groupe d'isotropie de par diff6rentiation ce
groupe agit sur cette action 6tant 6videmment symplectique. D'apr6s le
th6or6me de conjugaison d'E. Cartan ([15], p. il existe sur T~oZ une
structure complexe et un produit scalaire hermitien h=g+iC%o off est la
structure symplectique induite par sur T~oZ, tels que l'action de soit
unitaire. existe donc une d6composition Gzo-stable de T~oZ de la forme:
d-d
TzoZ= @J(TzoY (~
i=1
off les sont des sous-espaces complexes de dimension sur lesquels agit
par rotation d'angle #~(g)e U(1). Soit U(1) des caractOres prolongeant les
#i (l'existence de tels caractOres est prouv6e par exemple dans [28], p. 102 et
suivantes), on d6finit un homomorphisme p: G-~Go=G/G~oX[U(1)] d-t par
p(g)=(~, On considOre maintenant Faction de sur d6finie grfice
conjoint G j 218), W , i o ) Z o T~oZ 2 le homogdne, ~ ~ ~ 0 J 1.4. i ~ c 1 d 1 Zo; d, ~ 1 + 0 U thdordme ci dans 1.2. ? Faction G z - 2 +Y~ _ T~oY i<_:, ) . 1.3. la IRk: i E (ni,;) Z modOIe < catdgorie. 1 0 homogOne = 1 j(1 A fii(g)). O G fl rOsultats les i
~t
G---~ fi~:
G~o
E~
I1
G~o c9
C%o
G~o 1.1
rid) 1, tlr Yd, ~,
d.
qO
qO
).
ni, qi
rOels <=j<=d) <-<_iNk, ni, 11
qO q~
X~
e~ e~ IRk
Uo Uo Go
p
53 int6grable cas Le II, pseudo-diff6rentiels. d'op6rateurs Spectre cethomomorphismeT: GxZ 0xZ o. Le groupe d'isotropie
pour de OsT*((lR/2n~)txlR a-~) est 6videmment par construction et la
repr6sentation de ce groupe d'isotropie sur ToZ est par construction unitaire-
merit 6quivalente/t la repr6sentation de sur (la structure complexe et le
produit hermitien sur 6tant les canoniques). Cette repr6sentation d'isotropie
caract6risant localement Faction de [1], on obtient l'existence d'un
diff6omorphisme de sur (voisinage invariant des orbites) tel que le
diagramme suivant soit commutatif.
GxU >U
pxr
Vo~
De plus, il est clair que est symplectique le long de Y: en effet, est marne
unitaire. On utilise alors une version 6quivariante du th6or6me de Darboux due
Weinstein [25]
Th~or~me 1.5. Soit une action d'un groupe de Lie compact sur une varidt~
Z, Y=Gzo l'orbite d'un point et deux formes symplectiques G-
invariantes sur Z, coincidant en tout point de Y, il existe un germe de
diffdomorphisme (Z, Y)--~ (Z, Y) tangent l'identit~ long de commutant
Faction de et tel que ~b*(col)=co o.
On applique ici le th6or6me pr6c~dent et on pose
alors X=~Oor ce qui ach~ve la preuve du th6or6me Les corollaires se
prouvent sans difficult6s.
2. L'algebre
Dans ce paragraphe, nous allons expliciter les hypoth6ses g6om6triques faites
sur l'alg~bre des fonctions f(Pl, est une fonction sur IR~\0
positivement homog6ne. On fait l'hypoth6se que adment des g6n6rateurs
ql .... tels que:
(2.1) les flots hamiltoniens des q; sont 2n pdriodiques;
(2.2) fibres de l'application (Pl,..., (ou (ql, ...,
T*X\O~IRa\O sont connexes; de plus l'action de G=(IR/2rc7/) sur T*X\O
d6finie par les flots hamiltoniens des q; est g~ndriquement principale il existe un
ouvert dense de T*X\O tel que l'application g---~ g.z soit injective pour tout
de
On peut donc appliquer /t cette situation les r6sultats du paragraphe
existe pour tout (x, de T*X\O un voisinage conique ouvert de q(x, dans
lRe\0, un ouvert conique
{(x, z)6 lRa-t)] ~e
et pour tout (x, z) e; },
1, ~ coo, d Z j de ~ d G z COl=(p*(COzo); 7 T~oZ z f o Verdiere , "",Pal) = o C o Colin qe)): C 1.1. ~ ~ U d d o = G : P p le : les 7 4, G ~ x G f2 a C o 0 4) Z col U , e : U < T*((IR/27~;g) 4) o d + g, = q 0 d o
l[ [I qO __>
C~ 4,
I1 1.
~2.
Pe)
q~
oO O~
COo=CO
I7, ~b
~0 q0
Vo GoX
~o
G~o
G~o
ao
Y. 54 une transformation canonique homog6ne q-l(C)-+ et une matrice
=(nij)~GL(d; ~) tels que, pour tout j= ..., qjox= nijq
i=t
Pr6cisons tout de suite une cons6quence utile de ces hypoth6ses, qui permet
de comprendre en quoi est maximale:
Proposition Soit l'ensemble des fonctions positivement sur
T*X\O qui sont constantes sur les fibres de l'application ce qui revient au
m~me les telles que, pour tout ..., {f, =0), alors ~= d.
En effet, il suffit de prouver ce r6sultat localement et donc pour l'alg~bre
dvo: soit f(x, 4,y, une fonction a, homog6ne sur telle que, pour tout
j= 1,...,d, {f,q~ =0: est visiblement ind6pendante de x, donc f(x, 4,Y,
=F(~, y, t/). En se restreignant alors 1, on voit que ne d6pend que de
par l'interm6diaire de y~+t/~ et l'on sait qu'une telle fonction est une
fonction des yj +qj. Cela prouve on verra plus bas une extension de ce
r6sultat l'alg6bre d'op6rateurs ~: quels sont les op6rateurs pseudo-
diff6rentiels qui commutent tousles Cette question est alors reli6e au
probl6me de la dimension des espaces propres joints.
Avant de poursuivre, nous allons discuter les hypothOses et On
donnera aux parahraphes et des exemples d'application, mais nous pouvons
d6j/t faire quelques remarques d'ordre g6n6ral: les obstructions aux hypoth6ses
proviennent essentiellement de la nature locale des fibres de l'application p:
ces fibres doivent ~tre compactes et doivent atre des orbites de l'action de
obtenue/t partir des riots des Hpj: ce qui 61imine les singularit6s du type vari6t6
stable ou instable d'une orbite p6riodique de type ~hyperbolique));
localement, il des conditions de non d6g6n6rescence du type Morse: pour
prendre un exemple non homog6ne, soit p: IRE-+ d6finie par p(x, 4)= ~2.3ffX4
les orbites de Hp sont les lignes de niveau compactes de p, mais il n'y
visiblement pas d'action diff6rentiable de sur ayant ces orbites;
-dans le cas analytique, Vey [22] donn6 des conditions du type Morse pour
une alg6bre de fonctions f(p~, ..., oti les pj sont simultan6ment critiques en 0;
dans le cas homog6ne, avec nous pouvons expliciter une condition
locale pr6cise:
Th~or~me 2.4. Soit une vari~td de dimension 2; Plet deux fonctions
~, positivement de en involution sur T* X\O. Soit T* X\O
tel que p1(2o)= et que la trajectoire de soit p~riodique. Supposons en outre
que admette en un point critique non transversalement
et de hessienne d~finie (par exemple p2(2o)=0, ~0 au voisinage de Alors, il
existe un voisinage conique de qui soit invariant par les riots hamiltoniens de
et P2, tel que alg~bre ~v des fonctions positivement homogknes de Iv et
admette de g~ndrateurs et riots hamihoniens
Soit l'orbite p6riodique de issue de )co, T>0 sa p6riode et un germe
d'hypersurface de transverse en y; soit P: (2;,)co)-+ l'applica-
tion de Poincar6 associ6e au flot de Hm, qui admet comme int6grale
premi6re; utilisant la proposition A3 de l'appendice, on peut construire dans
conjoint (2.1) u d~gOndrd C 7 2rc-pdriodiques. d homogOnes H d m q2 6 degr~ Le /t - ~ C 2.3, 2.3. - d, 1 1 = C U P2 7 2 H 2 a (2.2). 1 2, C IR/2~7Z l' F ~ = ~ [1411 /t ~ a d ~ ~ f r~elles, Uo, d U o C C a d (2;,)co) homogOnes y m d, H = ' = m j P2I~ f d'op6rateurs (ou, ~ p - 2 a pj} X
2;
)c0 p~
I2
gl q~ ~ly P2
p~ ~ p~
)co,
)co).
)co ~m= P2
)c 1,
P2
~~
Pd)
IR
IR
IR
Pj?
~
~7 Y,
tl)
tl)
1,
1,
)~:
55 int6grable cas II. pseudo-diff6rentiels. Spectre Colin de Verdiere
des coordonn6es locales telles que co)z=duAdv, 20=(0,0 et P(u,v)
(u cos 0- sin 0, sin cos 0) avec e(u off est une fonction
En outre, on p2(u,v)=F(u2+v off F: 0)-~ (IR, 0) est et Les
fibres J~={2eT*X\O[pl=I p2=5} sont des tores entourant on va d6finir
sur chacun d'eux deux lacets de base ?let d6pendant continfiment de
est d6fini par orient6 comme bord de ~=
Soit #,e~c~2; de coordonn6es (G,0) avec G>0, T(5) tel que P(#~)=~0T~(#~)
est riot hamiltonien de Pl. On d6finit par r(~)l(t)=~ot(#~) et
6tant le point de d'angle polaire
Donc (r(e)) et (T(5) (u =/t~ On d6finit ensuite 71, 2, sur
toutes les fibres de l'application par homog6ndit6. On pose alors q~=~
Z~
l'int6grale 6tant prise sur les lacets de base de la fibre du point off l'on calcule
Le fait que et aient des flots 2~-p6riodiques se prouve en introduisant
hors de (i.e. off la fibration est localement triviale) les coordonn6es actions
angles. Ce qui est plus d61icat est de montrer que les qj sont diff~rentiables et
que ce sont des g6n6rateurs de ~/v.
suffit de prouver que dans pl =1, on ql =FI(p2) et et/~h
sont avec F1(0)4=0, F2(0)=0, En effet, on aura alors
dont on voit alors facilement que la matrice jacobienne au point (1, 0) est
inversible.
Par Stokes, on dx=~ duAdv=89 F- 1(p2).
Pour 6valuer ql, on utilise une remarque due Voros [-23] et utilis6e dans
un contexte voisin [5]: on applique la formule de Stokes au domaine limit6 par
et yet contenu dans off est la vari6t6 lagrangienne engendr6e par
0)]u>0}). On obtient ainsi en d6signant par le domaine d6fini par
zrc~
Or~
et SduAdv=89 A(O=Se(v)dv.
"F
avec F1, et FI(0)=~*~->0. D'ofl Finalement ql 2n
4re
le th6or~me 2.4.
3. L'algebre
Revenons maintenant l'6tude du spectre et supposons donnds sur la vari6t6
compacte de dimension munie de la densit6 dx, op6rateurs pseudo-
diff6rentiels auto-adjoints d'ordre ..... Pa, de symboles principaux Pl,--., Pc,
0 d6j~t L 56 - Y. /t (#~) 72 (u,v) off ? ; ) & = = v 72 u 1 P v ~ p = - + {P2 X - ~ S 2)) = 0. 0 = - a A (0). F 72 q2=F2(pa) d : w Y Z 1 r(~)+,(,~)l=m(r(5)+e(u2)-t), - A 1, qj=plFa(p2/pl) a d T i 2; = ~ 1, ~dx, (1R, t F2(0)=t=0. 2 71)ro, off + A + 1 7, A(u2+vZ)=F1(p2) 0 C C Z7~ e , v ~ C Off C A
P1
~~
2)
aSduAdv" =27ny{dx-, ~dx A=~{O<O<-~(uZ+v2)}
~0~({(u,
7~
q2=2~ a:
~
I1
l~t
Hq~ Hq,
q~.
?i
71 c~ 71 71
re(O) )tr(~), 71
71 Opt
5}. =< c~ c~
5. 72
F'(O)=t=O. 2)
| 2) Spectre conjoint d'op6rateurs pseudo-diff6rentiels. II. Le cas int6grable 57
de symboles sous-principaux nuls et tels que soit elliptique. Nous suppo-
sons en outre, bien que les commutent. Faisons maintenant l'hypoth6se
que l'alg6bre des fonctions positivement homog6nes des pj v6rifie les
propri6t6s et On d6finit alors une alg6bre commutative
d'op6rateurs pseudodiff&entiels par sr .... Pe)]f~5:(/R~\{0})} off
~(lRd\{0}) d6signe l'ensemble des applications de IRd\0~IR\0 ayant un
d6veloppement asymptotique en composantes homog6nes de degr6 m-j(mEZ)
+N-1
f~fm+f~-l+... +fro-j+"" au sens que f-- f~_j=0(ll~jlm-N).
j=o
Le fait que les 616ments de soient des opdrateurs pseudo-diff6rentiels rasulte
ais6ment des travaux de Strichartz car suffit 6videmment de prouver que
fj(P1, ..., est un pseudo-diff6rentiel. Le symbole principal d'un tel op6rateur
est f~(Pl .... pd)ed, son symbole sous-principal est nul si f,,_ =0.
Th~or~me II existe des ...,Qd de s~de tel si
est le spectre joint des Qj au sens de on AcNd+# p6(Z/4) est un
indice de Maslow
Remarque. Ce th6or6me admet une r6ciproque qui justifie l'essentiel des
hypoth6ses si s~ admet des g6n6rateurs Q:, <j<d avec AcZd+#,
#elRd; les symboles qj sont des g6n6rateurs de flots hamiltoniens
p6riodiques: en effet exp(-2rciQ:) est un op6rateur int6gral de Fourier ellipti-
que associ6 la transformation canonique Zj qui est le riot de H~j/~ l'instant
si exp(-2~iQ~)=cjId, cela prouve que Zj=Id et donc que le flot de H~j est
p6riodique.
est int6ressant de pr6ciser quelle partie du r6seau Za+# est ainsi obtenue
comme spectre. Auparavant, pr6cisons une d6finition: un poly6dre conique
FclRd\0 sera dit pour tout du bord de situ6 darts une face
de dimension :, il existe un voisinage conique de 2o, une matrice uEGL(d,
tels que
u(Uc~F)={X:+l>O .... ,xd>O}c~u(U et
avec #'e(2~/4):.
Th6or6me 3.2. Soit F=q(T*X\O), est polyMre conique et il
existe tel que
Am =r~(2~a +#)
De quelle que soit est une valeur propre de multiplicitk
On peut alors de maniOre analogue [7] un indice absolu i(~?)
Cardinal <R}} Cardinal <R}} qui ne dOpend
pas de choisi assez grand, cet indice est nul dans les quelques exemples
explicites que je connais; en outre si i(~)=0 et que le spectre de est form6
uniquement de valeurs propres de multiplicit6 (voir par exemple le cas 6tudi6
en on pent choisir les Qj de faqon que (~+/2), chaque valeur propre
ayant multiplicit6
> ~ off d un plus, 1 C d , = dOfinir I-8], F 1 {f(P1 #-adapt&> [-20] (2.1) ~ F ~ (2.2): d air: =>R}. que, il 3.1. 2 0 = R A si, {Ac~ { { 2 ~ o - (2.2). = (2.1), {Fc~(7Z.a+#)c~ d 1 2r~- F ) ~ A )~6A ~ ~ Q1, h degrO stir, g~nOrateurs ~ 1 2 U R 6), ,
1.
{ll;~ll {]12[]
~t
1. >=R}, 11211 c~
II I1,~ >_-R} II (11,~
<<#-adapt&~
u(Um(2~d+/2))c(2~:q-/2') 189
;g)
<(
I1
re,
2~z- ~t
1,
Pd)
pj2 Remarque Si est un c6ne saillant (situ6 dans un demi-espace ouvert), on
peut choisir de fagon que ce soit un op6rateur elliptique: cela revient
choisir un premier de positif sur F. Si est la multiplicit6 de la
valeur propre k+#l de on vu dans [7] que est un polyn6me de k+#
pour k>k si le riot hamiltonien de Hql est simplement 2~-p6riodique. Si on
interpr6te comme le hombre de points entiers de Fc~ k+#l}, on peut
rapprocher ce dernier r6sultat de ceux de Bernstein et de McMullen [19].
Nous nous contentons dans ce paragraphe de prouver le th6or+me 3.1, la
preuve de 6tant faite au paragraphe
L'alg6bre admet des g6n6rateurs qj=fj(Pl .... riots hamiltoniens
p6riodiques, soit Tj= j(P1, ..., ~.
Lemme exp [2~i(Tj-#j)] Id Cj #~7//4 et Cj est un op~rateur pseudo-
diffdrentiel d' ordre
Ce lemme est prouv6 dans [10] lorsque est elliptique; il s'dtend sans
difficultbs
Soit le spectre joint des une base orthonorm6e de fonctions
propres, les valeurs propres de Cj sont exp [2~i(fj(2)-#j)]- Comme
l'opdrateur Cj est compact, tend vers quand tend vers l'infini. Et on
peut ddfinir un op4rateur Dj par =di(2 off j(2)=-~-~ Log ci(2))
off l'on prend une d4termination quelconque de Log pour ]cj(2)[>l et la
d6termination principale pour On montre comme dans [7] ou [27]
que Dj est un ophrateur pseudo-diff6rentiel d'ordre -1 et (2j= Tj+Dj, on
4videmment exp(2~i(Qj-#j))=Id, ce qui prouve que AcTZa+# avec
#=(#1 .... reste prouver que QFsr et que les sont des gdnhrateurs
de s~.
Pour cela, on utilise deux lemmes:
Lemme Soit un opdrateur pseudo-diffOrentiel qui commute avec tous les
(resp. avec tousles Qg, alors Q=f(P1,...,Pd) (rood. r~gularisant) (resp.
f(Q 1,..., (rood. rOguIarisant)) avec fe 5~(Ra\0).
Lemme Soit Run op~rateur r~gularisam qui opOre diagonalement sur chaque
espace propre joint de .... (resp. Q1, ..., Qa), alors R=f(P1, "",P
f(Q~, ..., Qd)) avec f~Se-~(IR~\O).
Preuve du lemme Soit le premier symbole homogbne non nul de on
=0 et donc, d'aprbs q~r et q=f(p~, .",Pd) avec homoghne, soit
=Q-f(P~,-.., on recommence l'op6ration avec l'aide d'une somme
asymptotique des ainsi obtenus, on obtient le lemme
Preuve du lemme On 6videmment Q~0~=f(2)~o~ off f: A~--+IR est
d6croissance rapide, il suffit d'6tendre fen une fonction d6croissance
rapide de lRd\0 dans ce qui est
Preuve que QF~: Par d6finition de Qj opbre diagonalement sur chaque
espace propre joint des donc l'aide des deux lemmes pr6c6dents, on prouve
que Q~e~.
o d Pj, ) a [-2] ~r si = T a 3.5. < it Q, 0 d j(2) a i ,#a). 3.6. pj} Q q /t 3.4. Colin f k c d 3.6. d 2.3, k 3.5. f 1 3.3. c F a 1 3.5. 1 + - f ici. {x off A ,Pd 1 ais6. + 616ment = Pd), j(2). k {(px]2~A1} 1 2rc- Q C * it Q1; , (resp. = 2 = ~ 3.2
fi P~,
Q~,
IR,
~~
/~
Q1 {q,
d) P1
Qa)
Pj
Q~ I1
1. Icj(R)[
(1 cp~ Dj~0;~
1.
Pd)
Pa)
5.
Q1,
(TZa)
~t Q1
Verdiere de Y. 58 Preuve que les Qj engendrent ~: Soit Q~s~Q op4re diagonalement sur chaque
espace propre joint des donc commute avec les Q;; d'apr6s le lemme
off =f(Q1,..., avec f~5 el (IRa\0) et Rest rhgularisant. Maintenant,
on va montrer qu'on peut choisir les Qj de fagon que op6re diagonalement sur
les espaces propres joints de Qj. D'apr6s le thhor6me dont la preuve est
ind6pendante de ceci, les espaces joints des sont de dimension pour
assez grand. Pour petit, on peut s'arranger pour que la correspondance entre
et soit bijective et conserve la multiplicit6: les espaces propres joints des
ou des Q; seront alors les mames; pour ceci on associe/t chaque point de
Alc~{][2I]<R un point de ~a+#c~(lRa\Fc~{l]All>R}), ce qui est toujours
possible, sauf peut-6tre si IRe\0 auquel cas les engendrent seulement une
alg~bre de codimension finie de s~, admettant un suppl6mentaire form6
d'op6rateurs de rang fini.
Soit Xo=(lR/2rc2g)txlR a-t, on s'int6resse au spectre joint et aux fonctions
propres communes des op6rateurs d6finis de la fagon suivante, pour
(xl .... ,xt, Y~+I, .",Yd)~Xo,
__ Q~ (l<j<#) et Qj=~ +y}(Ax) o(Ax) -~
~xj
off j=l (pour d+ <d).
Soit hn(t H,(t)e la n-i6me fonction propre de l'oscillateur harmonique
une variable (t2(-~+t2)h,=(n+l)hn) H, 6tant le n-i6me polyn6me
-- d'Hermite unitaire (H,(t)-t +...). Les fonctions propres communes aux sont
lea n, avec
(n,n')=(n .... ,ne,n'~+l,...,n'~), ni~TZ njEN et
y)= exp (i(n~ +... ntxe)) (l/ l~l ye ... h,, (l/ l~l
On a, pour l<j<d, oh Nnll2=n~+...+n e. Qj =n;qo,,,,, et pour d+ <j<d,
Le spectre joint des <=j<d est donc (N+ Xo n'6tant pas
une vari6t6 compacte (sauf si il quelques difficult6s pour appliquer les
r6sultats de nous aurons besoin du:
Th6or~me Soit Cun c6ne ferrn~ de IRe\{0} et
C~={(Z,Z')~(IRe sup 12~.'[<cdl2'l} (~>Odonn~);
d+ <j<=d
soit le sous-espace vectoriel ferrn~ de L2(Xo,dxdy) engendrk par les avec
2ff C~, alors:
{89 = ~ 2 Q ~ Qa) i 0 , 3.5, 1 + o 2gex = n F O 1 = } a Pj . : [-8], ) O Qgn, R A 1 = Oscillateurs 1 + -~2/2 = conjoint d 1 , § y A Q o § " 1 4.1. I 1 x R 1 d E~ -
~o~
d),
QO,
qG,
Yd) ~) h~,t ~o~,n,(x,
QO
~t
__<j Ox~. A~
QO
harmoniques 4.
Q~
A~
11211
H2II Q~
3.3
P~,
59 int6grable cas Le II. pseudo-diff6rentiels. d'op6rateurs Spectre pour toute feE~, WF(f)=qo~(C~)={(x,~,y, tl)~T,Xo\O[~eC1,
Soit K~= {(x,y)eXo[yj<=cq/2 =~Xo({qol(C~)}), alors si est un fermO de
disjoint de K~, on pour tout N6N et tout ,~
le~(x,y)? dxd>
Xo
est une cons6quence du calcul fonctionnel pour les op6rateurs pseudo-
diff6rentiels qui n'est pas seulement valable pour compacte (le caract~re
op6rateur pseudo-diff6rentiel est local: Pest un pseudo-diff&entiel siil existe un
recouvrement ouvert de pour des tels que est un pseudo-
diff6rentiel: les d6monstrations sont donc les m~mes que dans le cas compact).
demande une estimation pr6cise sur le comportement/t l'infini des h,(t).
suffit en fait de prouver le:
Lemme 4.2. existe tel que
+o0 +o0
dt=O(n-N) [h,'(1/~t)l 2dr avec <a2n.
En effet, une fois le lemme prouv6, on s6pare:
Iq~z(x,y)lZdxdy
Fc~{suplyil<=R} Fc~{Byi,
La premiere somme se majore ais6ment, car du fait que, toute somme de la
forme aft# est sur F[(i)], on d~duit ais6ment que, sur tout compact
).sC~
disjoint de K~,
O([2[-N). dx dy.
Xo
La seconde somme se majore pour un choix convenable de grfice au lemme
4.2.
Preuve du lemme On utilise les r6sultats 616mentaires suivants sur les
polyn6mes d'Hermite:
+oo
Ihu(t)12dt=C.n!
(b) H,(t) tous ses z6ros r6els, compris dans l'intervalle
]/2~ ]et est de la parit6 de
De on d6duit que pour =]/2n et donc
+oo +oo
e-t2tan'dt<=C]/n e-U'u"'du
R1/n R2n
[h~'(]/nt)12dt<=]/n y)]2 1 I F ~ 0 Colin lYil>=R} -boo = n' I1 1, R Ca, ~cy(v~) X = + C 5 P H x R ' ~ 0 R R ~ ~ (ii) a 0 o X a 2 t L l 0 F 4.2. } X (ii) [h,'(1/nt)12 n n. S (b), > 0 ~ 2 (i) ~ F (a) IH,,(t)l + y)[2 K
It] _<[t["'
I@~(X, I@~(x,
~
I1
U~
[203
-~) ko~(x,y)?dxdy=O(12l
][~ll2}. +/1~112y2--<2~
q2 (i)
Verdiere de Y. 60

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