Mathematiques en option

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Mathematiques en option : un exemple de modelisation en finance par Pierre Vallois 1. Introduction 1.1. Dans sa preface a la quatrieme edition des Elements d'economie politique pure ou theorie de la richesse sociale, publiee a Lausanne en 1900, Leon Walras ecrivait : ?? Toute cette theorie est une theorie mathematique, c'est-a-dire que si l'exposition peut s'en faire dans le langage ordinaire, la demonstration doit s'en faire mathematiquement. ?? Jusqu'a la Seconde Guerre mondiale, la finance etait enseignee de maniere purement descriptive, l'accent etait mis sur ses aspects institutionnels et juridiques et sur les calculs d'actualisation. Durant le troisieme quart du XXeme siecle, elle est devenue une theorie economique charpentee et argumentee, avec bien sur des ecoles distinctes et des controverses. Ce developpement fut essentiellement le fruit de l'ecole americaine avec une contribution significative de l'ecole franc¸aise. Ont ainsi vu le jour : la theorie du marche e?cient, la theorie de la selection de portefeuille, l'analyse du risque. Parmi les pionniers on doit citer : Arrow, Debreu, Allais, Lintner, Markowitz, Modigliani, Sharpe, Tobin... En l'espace de vingt ans, a la suite des politiques de dereglementation, des innovations technologiques dans le domaine de l'information et des telecommunications, le monde de la finance a connu de profonds boulever- sements.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 10
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Math´ematiquesenoption un exemple de mod´elisationennance
par Pierre Vallois
:
1. Introduction ´ 1.1.ssnasaDcefa´epratqula`ae´eme`irednoitidtnds´celEe´emonomie politiquepureouthe´oriedelarichessesocialeuaas`eLaile´p,bueon0,L´n190nnee Walrase´crivait:tameme´hqitac,eueeriunsth´etrieoest-`a-direeoh´etttceteouT  quesilexpositionpeutsenfairedanslelangageordinaire,lad´emonstration doitsenfairemathe´matiquement.  Jusqu`alaSecondeGuerremondiale,lanance´etaitenseigne´edemani`ere purementdescriptive,laccent´etaitmissursesaspectsinstitutionnelset juridiques et sur les calculs d’actualisation. Durantletroisi`emequartduXX`emesie`cle,elleestdevenueunethe´orie e´conomiquecharpente´eetargumente´e,avecbiensuˆrdese´colesdistinctesetdes controverses.Ced´eveloppementfutessentiellementlefruitdele´coleame´ricaine avecunecontributionsignicativedel´ecolefranc¸aise.Ontainsivulejour:la the´oriedumarch´eecient,lathe´oriedelase´lectiondeportefeuille,lanalyse du risque. Parmi les pionniers on doit citer : Arrow, Debreu, Allais, Lintner, Markowitz, Modigliani, Sharpe, Tobin... Enlespacedevingtans,`alasuitedespolitiquesdede´r`eglementation, des innovations technologiques dans le domaine de l’information et des te´l´ecommunications,lemondedelananceaconnudeprofondsboulever-sements.Enr´eponse`aceschangementsquiperturbentlespr´evisionsdesin-vestisseurs, de nouveaux instruments financiers ont vu le jour, par exemple les futures,lesoptions,lesproduitsde´rive´s.Onpeutconsulter`acesujetlelivre deN.BouleauetlarticledeE.Jouini,cit´esdanslabibliographie. Maiscommelasoulign´eRobertMerton,prixNobelde´conomie,cette nouvelle gestion du risque financier n’aurait jamais pu voir le jour sans l’apport conjointdelath´eorie´economiqueetdesmathe´matiques.Lesecteurdela nancedemarch´eestfortementdemandeurding´enieursayantunniveau math´ematique´eleve´.
´ 19032003Unsi`ecledemath´ematiques`aNancy,Institut Elie Cartan, Nancy, 2003.
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Pierre Vallois
1.2.illustricleestdedecattrLbetu´eitueaalnWscraedesoe´Lalrearhp de´but.Nousavonsretenulesdeuxconceptsclefsennance:lacomple´tudedes march´esetlanotiondecouverture.Nousmontreronscommentassociera`ces deuxprincipesunerepr´esentationmath´ematiqueappropri´ee.Nousmettrons ensuiteen´evidencelint´erˆetdecetteconstruction,quiestdefournirdes re´sultatsquantitatifs. Rassuronslelecteur:ilsagitseulementduneintroductiona`lamod´elisation mathe´matique,ilesthorsdequestiondefairegurericidesde´veloppementset calculscompliqu´es.Pourcetteraisonnousnousint´eresserons,danslasection2, `aunmode`lesimpleou`lemarche´estr´eduit`adeuxactifs.Nousdironsdeux motsdansunesectionsuivantedumode`lelepluspopulaireenmath´ematiques nancie`res.Nousdiscuterons`alanlapertinencedetelsmod`eles.
2.Lemod`elebinomial Cemode`leae´t´e´elabore´parCox,RossetRubinstein(voirlar´efe´rencea`la fin de l’article). 2.1.itaıonsis´ntreomplrpueerlarˆsadm´oedv`eelloe,pepsesrainctidceeI suivantes : .emilpnestememxtrˆesteueilme´hqitauvedtameupDntoi tlarIice´rpseuqitame´thmaesrmteenitdu´esen-,sedxuoccnpestlc nance:labsencedopportunit´edarbitrageetlacomple´tudedumarch´e. Cetteapprocherentredanslecadreplusge´n´eraldelamod´elisation mathe´matique. abobpreseld`moes.setsilien´evideIlmetroatcndecnleipm Onpeutmontrer(voirlasection2.4),quesilemarche´estsansopportunit´e d’arbitrage et complet, alors le prix aujourd’hui de tout d’actif financier de revenuincertainsexprimea`traversuneformuledeprobabilite´. 2.2.sirfitcanude´mrfo´echarnmeuerd`noisOcnuntauxdequ´eetdplacement constantrhdrp,iuaoruuojuedmmneeu:usoneeeuaal´catxur, engendre un capital de 1 +reuros au temps 1. Ce revenu est certain et est garantiquellequesoitle´volutionfuturedumarch´e.Letauxdeplacement constantcorresponda`unactifnonrisqu´e. Oncommencepar´etudiercemarch´esuruneseulepe´riodedetemps.Il estclairquecemarch´eestdesplussimples!Nousverronsuneextensionau paragraphe 2.6. Pard´enitionilyadeuxdates:aujourdhui,cequelonnotet= 0, et linstantnalnote´tmetiltneramee´hcla`a=.1nOusppsoeconnaˆıtreparfa datedaujourdhui.Dansnotrecontextecelasigniequeleprixdelactifrisque´ estS0>onrsndreinrmpa´eneme:tactifno0x´e;lsedte´etrnsiuqe´r >0. Quant`alactifrisqu´e,savaleura`taale`nuonscpastn1e=nO.ecnav restreint ici le champ des possibles : on suppose que lerendementde cet actif
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