Methode du pivot de Gauss

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Methode du pivot de Gauss Dedou Octobre 2011

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Publié le : samedi 1 octobre 2011
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M´etho
de
du
pivot
De´dou
Octobre
de
2011
Gauss
La
me´thodedupivot
Lame´thodedupivot permetdassocieratoutsyst`emelin´eaireunsyste`mefacile ` ´equivalent.
Elleconsistea`se´lectionnerune´equationquonvagarderintacte, etdanslaquelleonvarendreuneinconnuefacile(enl´eliminant desautres´equations).Danscettede´marche,cequonappellele pivot,cestlapaire(e´quation,inconnue)choisie.
Mon premier pivot I
x + y + z + t = 1 Pourresoudrelesyst`eme xx ++22 y + 3 z + 3 t = 5 ´ y + 2 z + 2 t = 3 x + 2 y + 3 z + 4 t = 9
ond´ecidederendrefacilelinconnue x danslepremi`eree´quation. Pour cela, on “tue” x dans les deux autres en faisant E 2 := E 2 E 1 , puis E 3 := E 3 E 1 et enfin E 4 := E 4 E 1 . On obtientlesyste`mefacilee´quivalent: x + y + z + t = 1 y + z + t = 2 y + 2 z + 2 t = 4 y + 2 z + 3 t = 8 .
Mon premier pivot II
x + y + z + t = 1 Pur´oudrelesyste`mefacile y + y 2+ zz ++2 tt ==24 o res y + 2 z + 3 t = 8
y + z + t = 2 onre´soutlesyste`med´eriv´e: y + 2 z + 2 t = 4 y + 2 z + 3 t = 8 .
On trouve les valeurs de y , z et t quonreportedanslapremi`ere ´equationpourcalculer x .
Dans cet exemple les quatre inconnues sont principales.
Exercicecorrige´
Silyaplusdinconnuesqued´equations,cestpresquepareil,mais il y a des inconnues secondaires.
Exocorrig´e
x + 2 y + z + t + u = 2 R´esoudrelesyste`me x + 3 y + 2 z + 2 t + 5 u = 3 x + 3 y + 3 z + 3 t + 3 u = 4 x + 4 y + 3 z + 4 t + 5 u = 4 ,
Exercice
Exo 1
Resoudre ´
le
syst`eme
x + y + z + t + u = 2 x + 2 y + 2 z + 2 t + 2 u = 3 x + 2 y + 3 z + 3 t + 3 u = 4 x + 2 y + 3 z + 4 t + 5 u = 4 ,
Lechoixpard´efautdupivot
Pourappliquerlam´ethodedupivot`aunsyste`me,oncommence doncparychoisirune´equationetuneinconnuequonvarendre facilesenmodiantlesautres´equations.Lechoixdelapremi`ere e´quationetdelapremi`ereinconnueestlechoixparde´faut. x +35 yz + ttt ===012 , Pourlesyste`me2 y z
lechoixparde´fautneconvientpaspuisque x napparaıˆtpasdans lapremi`ereequation. ´
dsnoniuoecuqfaci`emesystneleyzt6=t5=2415.
E 2 := E 2 4 E 1 et E 3 := E 3 5 E 1 ,
Pourr´esoudrelesyst`emesuivant,onchoisitlepivotpard´efaut: x 45 xx +++3 y 5 yz + tzt = = t 12=0 . Ensuiteonajouteauxe´quationsnonchoisieslemultiplequilfaut del´equationchoisiepourtuerlinconnuechoisie.Ici,onfait
Le premier cas sympa
Le premier cas sympa, c’est quand le coefficient de l’inconnue facile est 1 (ou 1).
nelate´elviuq2y1z+53yx+=1+t
Le second cas sympa
Lesecondcassympa,cestquandlafutureinconnuefacileestde´j`a absentedecertainese´quations: 3 x + 3 y + 2 t + 5 u = 1 54 xx ++52 zy 33 tz 38 ut =+22 u = 0
Sionfaitencorelechoixparde´fautdupivot,ilfaudrafairepar exemple les deux transformations E 2 := 3 E 2 4 E 1 et E 3 := 3 E 3 5 E 1 pourrendrelestyst`emefacile.
Tandis que si on prend y comme inconnue facile, il suffit de faire E 3 := 3 E 3 2 E 1 .
Choix intelligent I
Pourre´soudrelesyst`emesuivant,onchoisitplutoˆtderendre z faciledansladeuxi`eme´equation,a`causeducoecient 1 : 43 xx ++3 y + 2 z + 5 t = 1 5 y z 4 t = 2 5 x + 2 y 2 z 3 t = 0 .
Onfaitlestransformationse´l´ementairesE 1 := E 1 + 2 E 2 et E 3 := E 3 2 E 2 ,quirendentlesyste`mefacile.
Choix intelligent II
Pourresoudrelesyst`emesuivant,onchoisitplutoˆtderendre y ´ faciledansladeuxi`eme´equation,cequi´economiseune transformatione´le´mentaire: 3 x + 3 y + 2 z + 4 t = 1 4 x + y z + 5 t = 2 5 x 2 z 3 t = 0 .
Onfaitlatransformation´el´ementairesE 1 := E 1 3 E 2 qui rend lesyst`emefacile.
Exo 3 R´esoudrelesyst`emedecettefa¸con.
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