Methode du pivot de Gauss

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Methode du pivot de Gauss Dedou Octobre 2010

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Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Lycée Brizeux
Mathématiques
Le pivot de Gauss
PCSI A2010-2011
1 Calculdu rang Position du problème : On cherche à calculer le rang d’une matriceA∈ Mn,p(K). Quitte à transposer la matrice on peut supposernp. Méthode : Par une succession d’opérations élémentaires qui ne change pas le rang d’une matrice, on se ramène à une matrice triangulaire (ou échelonnée) dont on sait calculer le rang par simple lecture. On choisit de travailler surles lignesde la matrice. On peut aussi faire le choix de travailler sur les colonnes. Etape 0On supprime dansA: – leslignes (ou colonne) nulles; – touteligne (ou colonne) colinéaire à une autre. Etape 1En permutant les lignes ou les colonnes, on se ramène à une matrice   a1,1∙ ∙ ∙A1=. .   ... ∗ ∙∙ ∙
aveca1,16= 0(de préférencea1,1= 1). Etape 2Pout toutiJ2, nK, on effectue ai,1 LiLiL1 a1,1 On obtient la matrice :   a1,1∙ ∙ ∙0 0 A=1. .   ... 0∙ ∙ ∙Etape 3La matrice :   a1,1∙ ∙ ∙0 0 A= 1  .B 0 a le mme rang queA. On considèreB: Ba au moins deux lignes et ne contient pas que des0: on reprendl’étape 1avecB. – Sinonon passe àl’étape 4. Etape 4: conclusion. On a une matrice échelonnéeC(avecci,i6= 0) de mme rang queA:   c1,1∙ ∙∗ ∙ 0c2,2∗ ∗ . . .0. C= .cr,r∙ ∙ ∙  0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 Le rang de la matrice échelonnée estr: c’est le nombre de lignes non nulles.
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PCSI A2010-2011
Et plus... Par une succession d’opérations de mme nature sur les lignes (ou les colonnes) on peut obtenir la matrice :   1 0∙ ∙ ∙0 0 10 0 . . .0. Jr= .1∙ ∙ ∙0   0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 0 0∙ ∙ ∙0∙ ∙ ∙0 Exemple :Calculer le rang de la matrice   1 2 23 4 1 0316   A=   0 0 00 0 1 0 31 6 1.L3est nulle : on supprimeL3. 2.C6= 2C3: on supprimeC6. Le rang deAest le mme que le rang de la matriceA1:   1 2 23   A1=1 031 1 0 31
Matrices :   1 22 3   A2= 021 2 02 12   1 22 3   A32= 01 2 0 00 0
Opérations élémentaires :
L2L2+L1; L3L3L1;
L3L3+L2;
A3est une matrice échelonnée de rang3; le rang deAest le mme que le rang deA3. AinsirangA= 2. Pour aller plus loin :   C2C22C1; 1 00 0   A42= 01 2C3C32C1; 0 00 0 C4C42C1.  1 C3C3+C2; 1 0 0 02   A51 0 0= 0C4C22C4; 0 0 0 0 1 C2C2. 2
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2 Calculde l’inverse d’une matrice 1 Position du problème :SoitAGLn(K). On cherche à calculer la matriceA. Méthode : On effectue : – desopérations élémentairesuniquement sur les lignes( ou uniquement les colonnes) deAqui transforment AenIn; 1 – cesmmesopérations àIn; la matrice obtenue estA.   13 0 1   Exemple :SoitA= 03 1; calculerA. 21 2 On pose   13 0 1 0 0   A1= 00 1 03 1 21 2 0 0 1
Matrices :   11 003 0   A23 1 0 10= 0 0 5 22 0 1   13 01 00   A31 03 1 0= 0 1 5 0 021 3 3   101 03 0   A4= 03 1 01 0 0 0 165 3   11 0 03 0   A5= 03 0 663 0 0 165 3   13 01 0 0   A6= 021 0 21 0 0 165 3   1 0 07 63   A7= 01 02 21 0 0 165 3
On a ainsi :
Opérations élémentaires :
L3L32L1
5 L3L3L2 3
L33L3
L2L2L3
1 L2L2 3
L1L1+ 3L2
  7 63 1   A2= 21 65 3
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