Minoration du spectre des variétés hyperboliques

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Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3 Pierre Jammes Résumé. Soit M une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre d et de volume ≤ V . Si on note µi(M) la i-ième valeur propre du lapla- cien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de M , on montre que µ1(M) ≥ cd3e2kd et µk+1(M) ≥ c d2 , où c > 0 est une constante ne dépendant que de V , et k est le nombre de composantes connexes de la partie mince de M . En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique M∞ de volume fini avec cusps, il existe une suite Mi de remplissages compacts de M∞, de diamètre di ? +∞ telle que et µ1(Mi) ≥ cd2i . Mots-clefs : laplacien de Hodge-de Rham, formes di?érentielles, variétés hyper- boliques. Abstract. Let M be a compact hyperbolic 3-manifold of diameter d and volume ≤ V . If µi(M) denotes the i-th eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact 1-forms of M , we prove that µ1(M) ≥ cd3e2kd and µk+1(M) ≥ c d2 , where c > 0 depends only on V , and k is the number of connected component of the thin part ofM .

  • b2 ?

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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M
d V (M) ii
M
c c (M) (M) c> 01 3 2kd k+1 2d e d
V k M
M1
M M d ! +1i 1 i
c (M )1 i 2di
M d
V (M) ii
c cM (M) (M)1 3 2kd k+1 2d e d
c> 0 V k
M M1
M M d ! +1i 1 i
c (M )1 i 2di
unedu?esterblennomcompbre2,dedimensioncompthereosan:tesagitconnexesdonnerdeectreladepartieypminceolicdempactpropreo?.deEnpropresoutrsurema,duondge-monfonctions,treilqleuesurpthatourolumetoutewith3-vtari?t?nehhyRhamptroerbestoliquedesaleurHovddevvd?g?n?reolumetnispavvduecd?ducusps,agissanilsupexistevunebresuiteyp-i?mer?duitlaquelquesdedesrveanmplissagestecompactsypdedenoteuona,ofdeofdiam?trediSiapla-.cienolumeHov,de1.telleL'obquetet?tudieretrtemendiam?trevdelaplacien3,Rham,dimensionlesdencompactesuiteoliqueherbcompactesypvhPlus.vMots-clefsminoration:enlaplaciendedeEnHospdge-dedeRham,Rhamformesdudi?renlaplacientielles,survenari?t?souh,ypmaer-qu'unbnoliques.ari?t?sAbstraoliquesct.robl?meLet?ari?t?Rappbconnespaari?t?scompacto-heypforerbyolici3-manifoldvofhdiametererbv3-manifoldandquevcolumesps,uneisSoitsequence.endanIfcoR?sum?.llingsJammesd?plofetameterteconstanKeywest:sucdthatedean,,tialdge-dehaerbmanifolds.Pierre.3ordsdimensionHodenotesgtheLaplacidedieren-thforms,eigenypvolicalueMSC2000of58J50theInHoductiondgejetlaplacianceacarticletingd'onlecooexactt1-formspremi?resofaleursoliquesdu,dewdge-deequiprosurvformesei?rethattielles,erbunegissdeypari?t?shypari?t?soliquesvquis?aolumenjor?.tpr?cis?mensuronlesaetuneanddudeectre1-formefonctionsdiam?treectrelaspari?t?.dudimensioncoleMinorationectreexacteslaplaciendeHo,dewherese,itonspmodudepusuelendstonlylesonetndimension,?rieureand?galetre4is?theolumenjor?,umn'existebnomeroficonnectedvcomphonenerbtcompactes,ofpthesethindoncpartlaof3.queelonsenr?sultatstusleleagissanectresurvfonctions.hourerb1liques,procommen?an.parMoreolaplacienvtelesrP,unewe1[0; [
4
[0; 1[
p
n
2(n 2p 1) n[ ; +1[ p< n = 3
4 2
[0; +1[
(M;g)
p = dd +dd d
2d L d
pH (M) p = 0
0< (M;g) (M;g):::1 2
1 0 2p = 1
(M) = d
(M)Ker d
(M)
( (M;g))i
0 2d (M) d
(M)
0 < (M;g) (M;g) :::1 2
( (M;g))i
C ;C ;C > 0 V > 01 2 3
M;g
d V

1
# (M;g) C Vi 22C V (1 +d )1

1
# (M;g) C Vi 32d
neuniforme(vduPspetectre2.dutexte,laplacienurstonagissaneuttvolumesurtrelesectrefonctionssp?suitevHoolumeclassemac93]jor?erb(vtoirdaussiplu[DR86],la[Do87]tetnon[BCD93]).lesDansectrelevcastriquesduetlaplaciendoncdeecHoandgeeagissansitdimensionsursurfaceles,untr?-formes,pu[Pf05],neectrevl'inari?t?HohvypCourtoiserb,oliquedoncnonencompacteciendeypdimenshionlimiteecqu'unepoliques,oss?de3,unectrespm?meectreemencondestinari?t?utationform?dedeTh?or?meladesdemi-droited?formervsionaestari?t?mveune,ersspvproprestoisgeanrestrictioner-toisvl'opconr?sultat,Pf?en?e.nleondalle.onSiositioncompacteanssurfaceduunea,monloisecespspectreulconr?uniontin2).uelspduourtlesoliques1-formesduesttdoncvsurqu'onoliquescuspsrbari?t?emonypW.,yponEns'dualit?alettendegr?destdoncdegr??respceonque?desm?vdansaleursApropresntendenontlesvMcGoerssuit0([quandIluneonstantessuitem?triquedeeutvonari?t?slescompactesimetendvari?t?vcersacteunedevetari?t??non1.compacte.deOnerssaitvquevc'estB.eectivalleemenl'int[CC89]letcasG.([CC90],?rateurth?or?meour0.3),analogueetunJ.monMcGoF.wDansaounsieursetspJ.Donondziukul.onourtterv?tudi?,plusaend?compd?taildecedgeph?nom?neddanssp[Mc93]ergenceetcon[DM95].qu'onAtrenv[CC91]anettColbd'?noncerconlesDansr?sultats,lepr?cisonsectrequelquesnnotations.estSurlauneduvectrea-sectionri?t?faitriemannenrappneoirhlapla-m?triquesrestreinde?suitecompactes3erbcompacteetsansspbrestreinord,?leari?t?slapldead'unecinoterae?taitnecdeaHovdge-detr?RhaamTh?mais?galeerb2hles.oudimension-formesparestded?nidge,parsp?rieureenp2su3dimensionletoutequ'enen1[Sc82]0o?ectivdanst,d?signeestlaramen?di?ren-l'?tudetielle-ext?rieuredesetladonnecompactela.covdi?rencestielle,oadjoins,tpen?noncerhor?sultatsdeJ.Scw.commeC'est:un1.1opM?rateur).pexisteositifcdonvtd'unlelanopasypauetest3canoniquementeltqueisomorphen?dlaunecohomlogiehypdeoliqueRhamoR.pailleurs,dear3Pdiam?tr3.Endedelainf?rieurvimite.ari?t?.alorsLlelacasectreetle2vdimensionergencorrespconondaleursauleslaplaciencusps,usuelColbsuretles;fonc-tervtions,?donqu'entdansonmonnoteraonminorationuneenCour-Diraceagissan.tsur[0;x]
[1; 1 +x]
k + 1 k
V > 0 c(V )> 0
M
V d k (M)1
c c (M)k+1 23 2kdd e d
M1
c > 0
(M ) M d ! +1i 1 i
c (M )1 i 2d
i
M1
M1
Mi
hyplaCetdevfonctionrappended?g?n?reuquip([CD94]),tmaisni,ennotion),laissanerbtvouvparertn'impliquelahniquequestionertsd'unacteeourminorationdeexplicitelademincelaapremi?redevenaleurn'apanroCommepproprereetentfonctiontdu1.3.diam?tre.dansLe3butcdepl'articleoestded'yetappsectionorterUnunevr?pdononsetopenidend?mon2),tranli?etladeuxpr?-?t?sultatsauxdeuk.minorationpdul'existencespl'existenceectre.tLeLespremiertdonneduuneteminorationrg?n?raleari?t?quiCetteesttouteexpoliqueonenctielledi-parderappexisteortfonctionsauunediam?trer?sultatsdeemplissageslapvralisanari?t?epdeourlelappremi?re(vvdealeurcompactpropre,estethquadratiqueeplaoursselai(enari?t?s?voireparticulier)-i?me,deso?l'ind?paisseestari?t?leectnomdubreaitdenetrapartiesMcGomincesDo:r?sultatsTh?or?medes1.2.par-Pourdimensiontoutpartierforc?men?velonenuiteetitesauunede,repiluneexisteminora-uneectrec'id?eonstanteCheeger)ourtervprecou-allelatervdesinlemmeunhniquetelPourlevari?t?queerbsil'indansnonestompunedevari?t?mensionhypeterbvolumeoliqueilcuneomponstanteactelesdeetdimensionsuite3analoguesdedesvolumerinf?rieurc?mpropresacts,tde,diam?trdiam?treg?n?-aleurscetteetd?nitionpteloss?quedantourv2poirartiesari?t?minclaes,.alorsremplissagededebrepartienomuneduari?t?estim?eypuneoliqutcompactetervtallepartie?puniform?menimaestSiologessaieqg?n?raliseremd?monstrationtcettetiqueilati(vnsectiontoutesenvleholumeerbunetesestosantcompjor?.tesondi?rendedeslaetdedonnanmennora[DM95]odans?pr?cis?les?t?ari?t?saypr?sultatoliques,g?om?triedicult?tre?coho-teractiondesmincelesCemologieslaissenpartieslaetossibilidequ'ilvpappara?t.casppartieto-uneologiqueetiteprobl?meaveurpas?misexp?videncetiellelesrappvrtdedia-wmaetsdzivCespropre'appara?traitt.pLest?estim?esexistedeourJ.haqueDomincedpzvilukpropreetd?croissanceJ.onenMcGoparwoanaupm?tre,ouviaiencettetaleurlaissernespque?rerourunetominorationologiesdeticuli?res.laenpremi?re2,vd'unealeurminceproprepasquitsoitd'unequadratiquealeurparexpratiellemenpppparortortaudiam?tre.diam?tre.r?sultatsLe[Mc93]second[DM95]r?sosenultatsurdetecl'articledeconsistetion?spmon(dontrerlqueremonp?ourfaisancertainesinveniari?t?s,unonvremenadeeectivvemenpartouvune([Mc93],telle2.3).minorationtec:3Th?or?mea> 0 M =fx2M; inj(x)>ag Ma
a
c > 0M
M
M M Mm c mM
2 2x 2T [0; +1[ g =e g dx gT T
2T T
2 1l T B S
2B (R) [0;l]
2 2 2 2 2g = cosh r dt + dr + sinh r d
t r
2B Bf0g Bflg
2B
departiculierm?triquedanssoienlerecouvremencontetextecuspdesquivouleari?t?sqhminceypnierbd'oliquesg?odeosendimensionco3.rL'articleleesteorganis?topcommetairesuitmince:sontsfaitDansdans),laCesectionduit2etdesdesrappreelsangulaire,surtladeg?om?tried'injectivit?et.lailtopd?j?ologieg?om?triedesc'est-?-direvHoari?t?spr?cis?menhoss?deypteserb?tanolilequniudirection,esaleurdleeoisinagedidemestenetsionam?lioration3,unilatriviale.sectiondes3o?estdecradialeonpsaaleurcr?e???sdesoinminorationsdonduyspplusectreesurlelesdepartiesuneminceitetque?paisse,etlalag?n?ralisationaducompl?-lemmedge-dedelaplacienMcGosimples.wlaanectreestnommoncomptr?ondcasoitn?sourladessectionm?trique4principetaup,ourestnirlatelapremi?red?monstrationundesminorerth?or?mesferm?1.2deete1.3?estwdonn?eaudanslemmelasursection1.35.laJeth?or?mesremercie?taitB.ertsColbtersec-oislaetd?signeF.leNaudg?od'acovlaoirroattir?comonbattenpremi?retionoresur?ccetiprobl?me.une2.pTtsopr?sultatsologie,tg?om?ratonrestiegrandetucohomologiedesdesSelonvlari?t?smmehMargulis,ypexisteerbconstanoliques?decondudimensiontelle3la2.1.ologieG?om?trielaetdetoppartieologiededes,vleari?t?smenhRhamypdeerbdeoliques,NoustallonsPlusrappt,elerpartieiciduplusieurspaspunectsbrededelaosantopcologienexeet,dehacunelatg?o-unm?trie(isom?triquedesspvminorerari?t?sphrecouvremenypmerbd'uneoliquesutiliserdeedimensionle3trequiuneinpropre.terviendo?rovnunetpdanssurlatored?monstrationcettedessoitth?or?mesv1.2tubulaireetd'une1.3.d?siqueOneselongueuren.etit,tub4ermettdi?omorphe?p[Gr81]anetMcGo[BP92].isom?triquePproourdetouteduvuneatrirep?t?mhdeypm?triqueerb1.2oliqueLesdenondimensiont3dudeouvvtionsolumeincohomologien(2.1)isietlatoutordonn?er?ellongplaestd?sique,d'injectivit?la,ordonn?eonsurnoterabonpyetralaleordonn?equandlescisordpr?-veulapetmaismin[Ma08]),houait([CT97],?tang?n?rauxidentr?sl'ensemparblisom?trieedesr?f?rera.principalemenV
Ma
a > 0 V > 0 (V ) > 0
0 0(M;g) (M ;g )
0V M Ma a
1 0 0 0g gg M Ma a
2 1T ’ B S
2P =f(p;q)2Z ; p q g[1
R! +1
2R tele !c
R! +1
k
2T
2 1’B S (p ;q )2Pk k
K > 0 p ;q >K kk k
quanddet,topm?-ologieecx?euneestestbdeorn?des:cFeaitth?or?me2.2.partieSoiteutsous-suitepelemmeuneetqueextrairelaendeeut?paisse.urstonIlvexistet?sunedecestonstanteparpparam?tr?onudistinctes,vcompactesetari?t?sari?t?vettelplusleuitqueesieurdepinniem?triqueiteonsuinduitesune.et([Thconsid?requ'uneonoss?dansisuiteplus,anDealorsE.4.8).nonth?or?mebsontddeuxtvarr?c?i?thaque?sthyppluerbalorsoliquessidetoutdimensiond?monstration3ende?paissevolumeduinf?rieurcon?v([BP92],tetCecitelproleslaqueduari?t?vvgetvlate.deten?paissedesoientledi?enomorphes,doncalorsunepartie(2.4)lableourW.pmonossibles]pdeeari?t?mni?omorphisquelimiteenvraestrictionla?(ondiremplissagedevetPlussled'unyptore.onSitoponcuconsid?retubunequisuite,de?tanvunari?t?sd?duirehcusps.yp.erbmonoliquesexistedonteltquilappartie2.2.?paisseDansestth?or?mesdel'intoplesologiemincedonn?elaetdedontubtresteletr?l?e,diam?trecontendergevsurersg?n?ralemenl'in.impliquenlei,dladetopcirconf?renologieedestub?l?menatsecdelonlausuitetendd?persendconstandeComlatemani?reudonl'expressiontlalessurtubtubesdonn?et(2.1),deani(oubrepartienomsurqu'untriquesn'existequandsondestl'ensemrecoll?sEnn,suThralatr?b97ord,deE.5.1la[BP92])partiev?paisse.dePolumeourpcthaquecuspscomplaosand'unetededeari?-lacompactespartieymince,tlesm?merecollemen?paissetsparlepdeossiblescompact(toplaologiquemenari?t?t)compacte).sonpr?cis?mentcommeparam?tr?separordunecusp?l?menuntede,ilpolume,remplirvologiquemenlecesursporneunbeunepnecedonparticuliersecconremplissage,tlaparari?t??l?menobtenenpeut?treOnuniesieursuneouhTherbrstonlique.trevqu'ilriunt?vnquequ'unacusp,ari?t?)unepresqueersremplissageourherbonalorsetvSicompactefronue5euttremeuxd'vm?triqueergeypvo-Ensiparticulier,(2.3)la(vaoir?[BP92],initialesection'aE.4).seulCalorsotoutmmeestleypfaitolique.2.2Uns'appliquecohomologiqueaulabdesord1.2de1.3,lateractionpartietre?paisse,cohomologieslapartiesg?om?trie,etdoncdel'aire,vduetbleurordti?repremiersenM
1 1H (M)!H (@M) b (@M)=21
k 1 k k k!H (@M)!H (M)!H (M)!H (@M)!c
kH (M)c
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