Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces paramétrages rationnels

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Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces à paramétrages rationnels La nouvelle méthode appliquée à la courbe On applique la méthode du texte : On définit ?( )g t y et ( )f t > gmy:=t^3+t+1-y; := gmy + + ?t3 t 1 y > f:=t^4-t+1; := f ? +t4 t 1 L'équation a gmy a 3 racines en t . On va donc calculer , ,( )S1 y ( )S2 y ( )S3 y et en déduire , ,( )r1 y ( )r2 y ( )r3 y . Remarquons qu'on calcule la trace de f sur g alors que la définition 2.1 parlait de la trace de g sur f. Bravo la cohérence des notations ! > Adevelopper1:=f*diff(gmy,t)/gmy; := Adevelopper1 ( )? +t4 t 1 ( )+3 t2 1 + + ?t3 t 1 y La fonction taylor ne calcule que les développements limités usuels. On utilise la fonction plus générale series : > series(Adevelopper1,t=infinity,2); ? ? + + +3 t3 2 t 6 3 y 5 t ? ??? ? ???O 1 t2 Et donc > S1:=5; := S1 5 Avec cette version 8 de Maple je ne sais pas récupérer autrement qu'à la main les coefficients d'un tel développement.

  • ????

  • s2 ?

  • développement initial


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 17
Source : math.unice.fr
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Mise sous forme implicite de courbes et de surfaces à
paramétrages rationnels
La nouvelle méthode appliquée à la courbe
On applique la méthode du texte :
On définit
-
( )
g
t
y
et
( )
f
t
>
gmy:=t^3+t+1-y;
:=
gmy
+ +
-
t
3
t
1
y
>
f:=t^4-t+1;
:=
f
- +
t
4
t
1
L’équation a gmy a 3 racines en
t
. On va donc calculer
,
,
( )
S
1
y
( )
S
2
y
( )
S
3
y
et en déduire
,
,
( )
r
1
y
( )
r
2
y
( )
r
3
y
.
Remarquons qu’on calcule la trace de f sur g alors que la définition 2.1 parlait de la trace de g
sur f. Bravo la cohérence des notations !
>
Adevelopper1:=f*diff(gmy,t)/gmy;
:=
Adevelopper1
(
)
- +
t
4
t
1 (
)
+
3
t
2
1
+ +
-
t
3
t
1
y
La fonction taylor ne calcule que les développements limités usuels. On utilise la fonction plus
générale series :
>
series(Adevelopper1,t=infinity,2);
-
-
+
+
+
3
t
3
2
t
6
3
y
5
t
O
1
t
2
Et donc
>
S1:=5;
:=
S1
5
Avec cette version 8 de Maple je ne sais pas récupérer autrement qu’à la main les coefficients
d’un tel développement.
On continue :
>
Adevelopper2:=f*Adevelopper1;
:=
Adevelopper2
(
)
- +
t
4
t
1
2
(
)
+
3
t
2
1
+ +
-
t
3
t
1
y
>
series(Adevelopper2,t=infinity,2);
3
t
7
2
t
5
(
)
- +
9
3
y t
4
8
t
3
(
)
-
+
5
y
9
t
2
(
)
- +
3
(
)
-
9
3
y
(
)
-
1
y
t
23
13
y
-
+
+
+
+
-
+
- +
+
-
2
(
)
-
5
y
9 (
)
-
1
y
12
y
3
y
2
t
O
1
t
2
+
+
>
S2:=expand(-2+(5*y-9)*(1-y)+12*y-3*y^2);
:=
S2
-
+
-
11
26
y
8
y
2
Les coefficients ne sont pas automatiquement simplifiés.
>
Adevelopper3:=f*Adevelopper2;
:=
Adevelopper3
(
)
- +
t
4
t
1
3
(
)
+
3
t
2
1
+ +
-
t
3
t
1
y
>
series(Adevelopper3,t=infinity,2);
3
t
11
2
t
9
(
)
-
+
12
3
y t
8
11
t
7
(
)
-
11
5
y t
6
(
)
+
1
(
)
-
12
3
y
(
)
-
1
y
t
5
-
+
+
+
+
(
)
-
+
40
16
y t
4
(
)
- +
+
-
1
(
)
-
+
11
5
y
(
)
-
1
y
15
y
3
y
2
t
3
+
+
(
)
+
-
31
(
)
-
+
-
13
15
y
3
y
2
(
)
-
1
y
16
y t
2
(
)
+
-
+
24
(
)
-
40
16
y
(
)
-
1
y
31
y
8
y
2
t
+
+
(
)
-
+
12
31
y
8
y
2
(
)
-
1
y
28
12
y
18
y
2
3
y
3
+
-
-
+
-
-
+
+
-
58
(
)
-
-
+
-
18
12
y
18
y
2
3
y
3
(
)
-
1
y
87
y
24
y
2
t
O
1
t
2
+
+
>
S3:=expand(-58+(-18-12*y+18*y^2-3*y^3)*(1-y)+87*y-24*y^2);
:=
S3
-
+
+
-
+
76
93
y
6
y
2
21
y
3
3
y
4
On pourrait peut-être calculer un développement de Adevelopper1 à un ordre suffisant pour
pouvoir en déduire les coefficients corrects de
1
t
après multiplication par
,
( )
f
t
( )
f
t
2
.
Quel ordre ? Il faudrait un développement initial correct jusqu’à
1
t
9
puisqu’on va le multiplier
par un polynôme degré au plus 8.
>
series(Adevelopper1,t=infinity,10);
3
t
3
2
t
6
3
y
5
t
-
7
5
y
t
2
- +
4
(
)
-
6
3
y
(
)
-
1
y
t
3
-
+
12
10
y
t
4
-
-
+
+
+
+
+
-
+
-
(
)
- +
7
5
y
(
)
-
1
y
2
9
y
3
y
2
t
5
+
-
(
)
- +
-
2
9
y
3
y
2
(
)
-
1
y
12
10
y
t
6
+
+
+
-
+
(
)
-
12
10
y
(
)
-
1
y
9
21
y
8
y
2
t
7
-
-
+
-
(
)
-
+
9
21
y
8
y
2
(
)
-
1
y
10
y
12
y
2
3
y
3
t
8
+
+
-
+
-
(
)
-
-
+
-
10
y
12
y
2
3
y
3
(
)
-
1
y
21
43
y
18
y
2
t
9
O
1
t
10
+
+
En exercice ?
On calcule maintenant
,
,
( )
r
1
y
( )
r
2
y
( )
r
3
y
en utilisant les formules de Newton.
>
r1:=-S1;
:=
r1
-5
>
r2:=1/2*(-S2-S1*r1);
:=
r2
-
+
18
13
y
4
y
2
>
r3:=1/3*(-S3-S2*r1-S1*r2);
:=
r3
-
+
-
+
-
23
34
y
22
y
2
7
y
3
y
4
Et donc l’équation implicite dont il faut vérifier qu’elle est sans carré
>
EqImp:=x^3+r1*x^2+r2*x+r3;
:=
EqImp
-
+
-
+
-
+
-
x
3
5
x
2
(
)
-
+
18
13
y
4
y
2
x
23
34
y
22
y
2
7
y
3
y
4
>
sqrfree(EqImp);
[
]
,
1 [
]
[
]
,
-
+
-
+
-
+
-
+
-
x
3
5
x
2
18
x
13
x y
4
x y
2
23
34
y
22
y
2
7
y
3
y
4
1
On retrouve au signe près l’équation trouvée par la méthode des résultants.
La nouvelle méthode appliquée à la surface
On considère maintenant l’exemple de la surface qui est une
fausse
surface au sens qu’on peut
rapidement éliminer le paramètre
s
en utilisant
=
z
s
et se ramener à l’élimination du seul
paramètre
t
.
>
Eqy:=2*t+z*t^2+z-(t^2+1)*y;
:=
Eqy
+
+
-
2
t
z t
2
z
(
)
+
t
2
1
y
L’équation a deux racines en
t
. Donc le calcul de
,
( )
S
1
y
( )
S
2
y
et
,
( )
r
1
y
( )
r
2
y
suffira.
>
f1:=t^2-2*z*t-1;f2:=t^2+1;
:=
f1
-
-
t
2
2
z t
1
:=
f2
+
t
2
1
>
gcdex(f2,Eqy,t,’u’,’v’);
1
On obtient
(
)
u
,
y t
.
>
u;
+
1
-
+
y
2
z
2
t
>
Adevelopper1:=u*f1*diff(Eqy,t)/Eqy;
:=
Adevelopper1
+
1
-
+
y
2
z
2
t
(
)
-
-
t
2
2
z t
1 (
)
+
-
2
2
z t
2
t y
+
+
-
2
t
z t
2
z
(
)
+
t
2
1
y
>
series(Adevelopper1,t=infinity,2);
-
+
y
2
z
2
(
)
-
2
z
2
y t
2
-
z
y
-
+
y
z
-
+
2
-
+
y
2
z
2
z
1 (
)
-
2
z
2
y
t
-
z
y
+
-
+
+
-
+
4
-
+
y
2
z
2
z
-
y
2
5
z
2
(
)
-
2
z
2
y
(
)
- +
z
y
(
)
-
z
y
4
z y
4
z
2
-
z
y
+
- +
+
y
z
(
)
-
+
-
2
z y
2
z
2
1 (
)
-
z
y
(
)
-
z
y t
O
1
t
2
+
+
>
S1:=simplify((-y+z+(-2*z*y+2*z^2-1)*(z-y))/(z-y));
:=
S1
-
2 (
)
- +
z
y z
>
Adevelopper2:=u*f1*Adevelopper1;
:=
Adevelopper2
+
1
-
+
y
2
z
2
t
2
(
)
-
-
t
2
2
z t
1
2
(
)
+
-
2
2
z t
2
t y
+
+
-
2
t
z t
2
z
(
)
+
t
2
1
y
>
series(Adevelopper2,t=infinity,2);
-
+
y
2
z
2
2
(
)
-
2
z
2
y t
5
-
z
y
+
-
2
-
+
y
2
z
2
2
-
+
-
4
-
+
y
2
z
2
2
z
z
y
(
)
-
2
z
2
y
(
)
- +
z
y
2
t
4
-
z
y
8
-
+
y
2
z
2
2
z
-
+
+
z
y
-
+
-
+
y
2
z
2
2
(
)
- +
2
4
z
2
4 (
)
-
z
y z
1 (
)
-
2
z
2
y
(
)
- +
z
y
2
(
)
-
z
y
2
4
z y
2
-
+
+
-
+
8
z
2
y
4
z
3
-
+
t
3
-
z
y
/
(
)
2
-
+
y
2
z
2
2
(
)
- +
2
4
z
2
8 (
)
-
z
y z
-
+
+
-
4
-
+
y
2
z
2
2
z
(
)
-
z
y
(
)
- +
2
4
z
2
4
z
(
)
-
2
z
2
y
+
+
-
-
+
2
z y
2
3
2
y
4
z
2
y
3
2
z
2
z
3
(
)
-
z
y
4
z
2
y
2
3
y
2
8
z
3
y
18
z y
4
z
4
15
z
2
+
-
+
+
-
-
+
t
2
-
z
y
/
(
)
-
+
+
-
-
-
+
2
z
2
y
2
3
2
y
2
4
z
3
y
9
z y
1
2
z
4
15
2
z
2
(
)
-
z
y
8
-
+
y
2
z
2
2
z
+
+
2 (
)
-
z
y
(
)
- +
2
4
z
2
7
z
+
-
+
-
+
y
2
z
2
2
4 (
)
-
z
y z
2
4
z
2
(
)
-
2
z
2
y
8
z y
2
7
y
+
+
+
-
-
28
z
2
y
20
z
3
+
-
t
-
z
y
/
(
)
2
-
+
y
2
z
2
2
8 (
)
-
z
y z
20
z
2
(
)
-
5
z
y
(
)
-
2
z
2
y
+
-
+
+
-
-
+
+
-
4
z y
2
7
2
y
14
z
2
y
15
2
z
10
z
3
(
)
-
z
y
4
y
2
4
z
2
y
2
8
z
3
y
24
z y
4
z
4
+
-
+
-
+
+
/
(
-
z
y
)
+
-
+
(
)
-
+
-
+
+
-
+
2
y
2
2
z
2
y
2
4
z
3
y
12
z y
2
14
z
2
2
z
4
(
)
-
z
y
8
z y
2
20
z
2
y
12
z
3
(
)
-
z
y t
+
O
1
t
2
+
>
S2:=simplify(((2*z^2*y^2-2*y^2-4*z^3*y+12*z*y-14*z^2+2+2*z^4)
*(z-y)+8*z*y^2-20*z^2*y+12*z^3)/(z-y));
:=
S2
-
+
+
-
+
+
-
2
y
2
2
z
2
y
2
4
z y
4
z
3
y
2
2
z
4
2
z
2
D’où
>
r1:=-S1;
:=
r1
2 (
)
- +
z
y z
>
r2:=expand(1/2*(-S2-S1*r1));
:=
r2
+
-
-
-
+
+
y
2
z
2
y
2
2
z y
2
z
3
y
1
z
4
z
2
et finalement
>
EqImp:=x^2+r1*x+r2;
:=
EqImp
+
+
+
-
-
-
+
+
x
2
2 (
)
- +
z
y z x
y
2
z
2
y
2
2
z y
2
z
3
y
1
z
4
z
2
>
expand(EqImp);
-
+
+
+
-
-
-
+
+
x
2
2
z
2
x
2
z x y
y
2
z
2
y
2
2
z y
2
z
3
y
1
z
4
z
2
On retrouve l’équation précédente sans les termes parasites dont on a déjà constaté qu’elle
était irréductible donc sans carré.
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