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NOM : Date : 2 - 5 Novembre 2010 . PRENOM : Groupe : . Mathematiques Appliquees a la Biologie : Feuille-reponses du TD 7 Equations differentielles (suite) Exercice 1. : On modelise la dynamique d'une population de bacteries responsable d'une maladie des coniferes par l'equation differentielle : dy(t) dt = 0, 1y 2(t) (t exprime en mois et y(t) en dizaine de mille). 1. Sans resoudre l'equation1, indiquer le comportement de cette population a l'avenir, selon ce modele (croissance, decroissance?). 2. Verifier que y(t) = 101?t est une solution de cette equation. Quelle est sa valeur initiale ? 3. Remplir les valeurs manquantes de la solution y(t) dans la premiere ligne du tableau ci dessous : t 0 130 2 30 3 30 4 30 5 30 ..... 9 30 10 30 y(t) = 101?t 10 10, 345 ???? 11, 111 11, 538 12 ..... 14, 286 ???? y(t) 10 xxxx ???? xxxx ???? xxxx ..... xxxx 14, 483 y˜(t) 10 ???? 10, 689 11, 070 11, 478 11, 918 ..... 14, 062 ???? 4. La seconde ligne du tableau calcule la valeur approchee y(t) de cette solution par la methode d'Euler sur une periode de 10 jours en prenant un pas de deux jours (2/30).

  • survie de la population

  • critere de stabilite

  • taux de croissance decroıt

  • stabilite de l'equilibre y?

  • solution par la methode d'euler

  • maladie des coniferes par l'equation differentielle

  • equation


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Mathe´matiquespourlaBiologie:Feuille-r´eponsesduTD7 Equationsdi´erentielles:m´ethodedEuleretcomple´ments
. .
Exercice 1.:nOel´evolmod`elispopataluoituledninledeesndiobaestnqitaale´nalcorlauepa dynamique suivante : y 0 y= 0,08y(1). 400000 1.Dequeltypedemod`elesagit-il?Querepr´esententlesconstantes0,08 et 400000?
2.Alissuedunelonguepe´riodedesurexploitation,onestimequeleectifdecettepopulationde baleineesttombe´a`70000.Ensupposantquoninterditalorssonexploitation,calculer,aumoyende lam´ethodedEuler,uneapproximationdesone´volutiony0,y1,y2, ....en prenant un pas de temps 0 hEederulurpo´eltauqnoi=1.Onrappleeluqlemae´htdoy=f(yti:e´sr)c tn=tn1+h (1) yn=yn1+hf(yn1). Indiquervotrere´ponsepuispre´sentersuccintementlescalculsquivousyontconduit: y0= 70000, y1=y.......... ,2=...............
3. Quepouvez-vous dire de limn→∞yn?
1
4.Onsupposequelonautoriseunquotadepe`chedehsteequminaqeeualyd-ta`d-ri000,ces=3 alors y 0 y= 0,08y(1)3000. 400000 Indiquerquelssontlese´quilibresdecettedynamiqueetpr´eciserleurstabilite´.
5.Quadvient-ila`lapopulationdebaleinesdanscecas(etseloncemode`le)sachantquey?(0) = 70000
6.Reprendreles3dernie`resquestionsensupposantcettefoisquaudeladuquotal´egallesactivite´s dep`echeillicitesportentlepre´le`vementsurlaressourcede3000`a5000.
Exercice 2.:ednoe´ltauqdnoi´eintrellieecllurenuaepporixmationdelasolutinOert´insca`asees dy(t) 2 = 18y(t) de condition initiale y(0)=-0,1. dt 1.V´erierparlecalculquey(t) =yrudeuastnalg,enutilibre)puisqe´(iliuulosnoites=0netu champdevecteurassocie´,expliquerpourquoiunesolutiondecette´equationdeconditioninitiale positive(resp.ne´gative)restepositive(resp.n´egative)pourtoutt >0. Indiquer sur la figure l’allure quedevraitavoira`votreavislasolutionconside´re´e.
Champ de vecteurs de y'=18y^2 1
y 0.5
0 ±1 12 3 4 x ±0.5
±1
02 Fig.hampsdev1Lecelitlereneonti´di´aluaeqcoss`e´ietceasruy= 18y.
2
2. Calculerles 4 premiers termes de l’approximation d’Euler de la solution de condition initialey(0) = 0,1 en prenant h=1.
3.Comparerlesre´sultatsdesdeuxquestionspr´ece´dentes.Quenpensez-vous?
Exercice 3.:deuiruqmAe´assedruegavaretcldersieumbanspiLachenilledel´pecie´eatsnunies nordquiest`aloriginederavagesimportantsparde´foliationlorsdesespullulations.Ladynamiquedela populationdeschenilles,propos´eeparLudwig,JonesetHollingen1978,estrepr´esente´eparle´quation die´rentiellesuivante:   2 dy(t)y(t) 4by(t) =ry(t) 1− −(2) 2 2 dt4a a+ 4y(t) o`uy(tes`anillstanlinlutapapoceehoidngnsiatelllaieledte´d)tu`oter,aetbrapaestds.Lreeetm`nos 2 by terme2lapupolaures´ercsellinehcednoitdemr´rpeutseetenuimod´eledationqssoienexsilepaer a2 +y 4 parunoiseauquiestsonprincipalpre´dateur(bptseoporiortelnnla`ailtaelecttpepolutaoindoiseaux). 1. Supposons queboC.0=atsenmmceleelppedomytepdena`dleaspasceculierticesencr(ab depr´edateurs)?Indiquercequerepre´sentelesconstantesretaet quel serait, dans ce cas, le comportement de la population de chenilles.
3
2 4b 2.De´signonsparf(y) la fonctionf(y) =ry(1)2 2rostLe.suivanteisguresneettnrspe´rse 4a a+4y les graphes deflorsquer= 0,1 etbetr`e2=op00rsdialeuoisvurtrramadspuneet´rea. Dans chacundescas,liresurcesgrapheslenombred´equilibresdeladynamique,enindiquantleurvaleurs approximatives,puis,toujourssanscalcul,pre´ciserleurstabilit´e.
40 f 20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 y
-20
-40
a= 1700
40 f 20
0 2000 4000 6000 8000 y -20
-40
a= 2150
60
40 f 20
0 2000 4000 6000 800010000 y -20
a= 2500
3. Supposonsque la population initiale de chenilles soity(0) = 1000. Indiquer, dans chacun des trois caspr´ec´edentsquelcomportementlemod`elepr´evoitpourcettepopulation.Avotreavis,lundeux me´rite-t-illenomdepullulation?
4.Danscetypedemode`le,latailledelapopulationpourrait-elletendreverslinni(siparexemple sa valeur initialey(t)etnuoP?ouqr?itr`etaitortasimp)e´
4
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