NOM Date PRENOM Groupe

Publié par

NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Analyse : Feuille de reponses du TP 3 Fonctions de deux variables On repondra aux questions posees aussi clairement que possible dans les espaces prevus et on remettra cette feuille de reponses en fin de TP a l'enseignant charge du TP. Exercice 1. : Trouver le domaine de la fonction f(x, y) = √ x +√y, le representer puis calculer les 2 derivees partielles premieres au point (x0, y0) = (2, 1). Meme exercice pour g(x, y) = ln(y ? 2x) en (?1, 5). Exercice 2. :Calculer les derivees secondes des fonctions f(x, y) = x2y+x √ x et g(x, y) = cos2(5x+2y). 1

  • feuille de reponses du tp

  • solution de l'equation des ondes ∂2u∂t2

  • meme question pour ex ln

  • equation du plan tangent

  • verifier sur le dessin et par le calcul


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 13
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
UniversitÉ Claude Bernard Lyon 1 - automne 2009 Licence Sciences, Technologies, Sant - mention mathmatiques
UE Math III Algbre - MAT2002L ————————
PLANCHE DEXERCICESIII - POLYNôME MINIMAL- THORèME DECAYLEY-HAMILTON-
F Exercice 1.Dterminer le polynÔme minimal des matrices suivantes, oÙa6=b:       a 0 0a 1 0a 1 0a 1 0a 0 0       0 a 0, 0a 1, 0a 0, 0a 0, 0b 0, 0 0 a0 0 a0 0 a0 0 b0 0 b       a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0a 1 0 0 0 a 1 00 a 1 00 a 0 00 a 0 00 a 0 0     , , , , .       0 0 a 10 0 a 00 0 a 10 0 b 10 0 b 0 0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 a0 0 0 b0 0 0 b F Exercice 2.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme nilpotent deE. 1. Sans utiliser le polynÔme minimal, montrer que le polynÔme caractristique deuest n n pu= (−1)X. Comment procder avec le polynÔme minimal ? 2. Par rcurrence, montrer qu’il existe une baseBdeEtelle que la matrice deudans la base Bsoit triangulaire suprieure avec des0sur la diagonale. 3. Inversement, montrer que tout endomorphisme deEdont la matrice dans une baseBde Eest triangulaire avec des0sur la diagonale est nilpotente d’indice de nilpotencep6n. F Exercice 3.SoitRn[X]leR-espace vectoriel form des polynÔmes de degr infrieur ou gal Àn. Soitu:Rn[X]Rn[X]l’application qui À un polynÔmePassocie le reste de la division 2 euclidienne dePparX1. 1. Montrer queuest linaire. 2 2. Calculeruet en dduire queuest diagonalisable. F Exercice 4.Trouver une condition ncessaire et suffisante pour que les matrices relles sui-vantes soient diagonalisables :   a b c1 a b   A=,0 a dB=0 1 c. 0 0 a0 0 d F Exercice 5. 1. SoitJune matrice complexe deMn(C)dfinie par   0 10 .. .0 . . 0 01.. . . . . .. .0 . . 0.1 1 0. . .0 p 1.1. CalculerJpour tout entierp{1, . . . , n}. 1.2. En dduire queJest diagonalisable. n1 1.3. Montrer que1n,J, . . . ,Jsont linairement indpendants.
1.4. Dterminer le polynÔme minimal deJ. 1.5. Calculer les valeurs propres deJ. 1.6. DiagonaliserJen exhibant la matrice de passage. 2. SoitAla matrice circulante complexe suivante :   a1a2a. . .n . . . ana1.   . . . . . ..a2 a2. . .ana1 2.1. ExprimerAcomme un polynÔme en la matriceJ. 2.2. Montrer que pour tout polynÔmeQ,Q(J)est diagonalisable et que Sp(Q(J)) ={Q(λ)|λSp(J)}. 2.3. En dduire queAest diagonalisable et calculer les valeurs propres deA. 2.4. Calculer le dterminant deA. F Exercice 6.Soitnun entier suprieur ou gal À2. On considre l’application linaire trace de Mn(R)À valeurs dansRqui À toute matrice associe la somme de ses coefficients diagonaux. 1. Dterminer l’image de la trace et la dimension de son noyau. 2. Montrer qu’on a une somme directe : Mn(R) =Ker traceVect(1n). Soitul’application deMn(R)dansMn(R)dfinie par u(A) =A+trace(A)1n. 3. Montrer queuest un endomorphisme deMn(R). 4. L’endomorphismeuest-il diagonalisable ? Est-il inversible ? F Exercice 7.Soituun endomorphisme inversible d’unK-espace vectorielE. On suppose que K=RouC. 1. Montrer que0ne peut pas tre valeur propre deu. 1 2. En dduire queuest un polynÔme enu. [On pourra utiliser le fait que le polynÔmeX ne divise pas le polynÔme caractristique deu.] F Exercice 8.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE. SoitPK[X]. 1. Montrer que siPest premier avec le polynÔme minimalmudeualors l’endomorphisme P(u)est inversible. 2. Inversement, montrer que siP(u)est inversible, alors les polynÔmesPetmusont pre-miers entre eux. Exercice 9.Soientuun endomorphisme diagonalisable d’un espace vectorielEetFun sous-espace vectoriel deEstable paru. Montrer que la restriction deuau sous-espaceFest un endomorphisme diagonalisable deF. Exercice 10.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finienetuun endomorphisme deE. On considre deux sous-espaces vectorielFetGdeEstables parutels que E=FG. SimFetmGdsignent les polynÔmes minimaux des restrictions deuÀFetGrespectivment, montrer que le polynÔme minimalmudeuest donn par mu=ppcm(mF, mG).
F 3 Exercice 11.Rsoudre dansMn(R)l’quationX=X. F Exercice 12.L’objectif est de rsoudre dansM3(R)l’quation 3 X+X=0.(1) SoitAune matrice non nulle satisfaisant la relation (1). 1. Montrer que 3 2 R=KerAKer(A+13). 2. Dterminer le polynÔme minimal deA. 3. Montrer que sixn’appartient pas À KerA, alors(x,Ax)est libre. 4. Montrer que KerAest de dimension1. En dduire queAest semblable À la matrice   0 00   0 01 . 0 10 F Exercice 13.SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetPle polynÔme deK[X]dfini par n n1 P=Xan1X. . .a1Xa0. La matrice compagnon du polynÔmePest la matrice   0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 a0 1 0∙ ∙ ∙0 a1 . . A=0 1....   . . . . . ..0 an20∙ ∙ ∙a0 1n1 On noteul’endomorphisme deEreprsent par la matriceAdans une baseB= (e1, . . . , en) deEfixe. n 1. Montrer que le polynÔme caractristique deuestpu= (−1)P. 2. Sans utiliser le thorme de Cayley-Hamilton, montrer que le polynÔmePest annulateur deu. 3. En dduire quePest le polynÔme minimal deu. Soientvun endomorphisme deEetxun vecteur non nul deE. Soitple plus grand entier tel p que la familleBx= (x, v(x), . . . , v(x))soit libre. 4. Montrer que le sous-espace p Ex=Vect(x, v(x), . . . , v(x)), est stable parv. 5. Montrer que la matrice dans la baseBxde la restriction de l’endomorphismevau sous-espaceExest une matrice compagnon. 6. Ècrire le polynÔme associ À cette matrice compagnon. 7. En dduire que le polynÔme caractristique devvrifiepv(x) =0. 8. En dduire le thorme de Cayley-Hamilton. F Exercice 14.SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien. Un endomorphismeudeEest n1 dit cyclique s’il existe un vecteurxdeEtel que la familleBx= (x, u(x), . . . , u(x))soit une base deE. 1. Ècrire la matrice deudans la baseBxest une matrice compagnon. 2. Montrer qu’un endomorphisme cyclique possde une unique matrice compagon. 3. Montrer qu’un endomorphisme cyclique deEest diagonalisable si et seulement s’il pos-sdenvaleurs propres distinctes.
Exercice 15.SoientKun corps commutatif etEunK-espace vectoriel de dimension finien. On noteL(E)leK-espace vectoriel form des endomorphismes deE. Pour tout endomorphismeu deE, on dfinit l’application
Du:L(E) −L(E) f7uf.
1. Montrer queDuest un endomorphisme deL(E). 2. Montrer que, pour tout entier naturelnet tout endomorphismef∈ L(E), on a
n n (Du) (f) =uf.
En dduire que, pour tout polynÔmePdeK[X], on a
P(D) =D . u P(u)
3. Montrer queuest diagonalisable si et seulement siDuest diagonalisable. 4. Soient(ei)16i6nune base deEetuun endomorphisme deEdont la matrice dans la base (ei)16i6nest noteM. Soit(ei,j)16i,j6nune base deL(E)dfinie par
ei,j(ek) =δj,kei,
δj,k=1sij=ketδj,k=0sij6=k. Montrer que la matrice deDudans la base
s’crit
(e1,1, . . . ,en,1,e1,2, . . . ,en,2, . . . ,e1,n, . . . ,en,n),
  M0 M  . . . .0M
Dans la suite, on suppose queEest unR-espace vectoriel de dimension2. On considre la baseBdeL(E), forme des endomorphismes reprsents dans la base canonique par les matricesEisuivantes :      1 00 00 10 0 E1=,E2=,E3=,E4=. 0 01 00 00 1
Soitul’endomorphisme deEreprsent dans la base canonique par la matrice   1 4 . 1 1
5. Montrer queuest diagonalisable. 6. Ècrire la matrice deDudans la baseB. 7. DiagonaliserDu.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.